专题18 变量与函数的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题18 变量与函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、函数的概念及图象识别 类型二、函数的三种表示方法之列表法 类型三、函数的三种表示方法之解析式 类型四、函数的三种表示方法之图象法 类型五、动点问题画函数图象 类型六、从函数的图象获取信息 压轴专练 类型一、函数的概念及图象识别 1.抓住函数的核心定义：判断两个变量是否构成函数关系，关键看自变量 x 每取一个值时，因变量 y 是否有唯一确定的值与之对应。图像识别时，可使用**“垂直于 x 轴的直线”**快速判断，若直线与图像只有一个交点，则是函数图像。 2.学会从图像中读取信息：解题时，要能看懂横、纵轴代表的实际意义。关注图像上的关键点，如起点、终点、最高点、最低点以及与坐标轴的交点。这些点往往是解题的突破口。 例1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 【变式1-2】下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 类型二、函数的三种表示方法之列表法 1.读懂表格，明确变量：首先要看清楚表格的标题和列头，确定哪一列是自变量 x，哪一列是因变量 y。这是最基础也是最重要的一步。 2.利用表格，查找对应值：题目经常会问，当x等于某个值时，y是多少，或者反过来。这时候你只需要在对应的列里找到那个数，然后横向或纵向找到它的“搭档”就行了。 3.分析表格，发现规律：这是稍微进阶一点的技巧。通过观察表格中x和 y 的变化，可以尝试找出它们之间的函数关系。比如，看看y的变化量是不是和x的变化量成固定的倍数关系，从而判断它是不是一个一次函数。 例2．课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【变式2-1】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【变式2-2】梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 类型三、函数的三种表示方法之解析式 1. 明确自变量和函数：在一个解析式里，比如  y = 2x + 1 ， x  是自变量， y  是  x  的函数。要清楚哪个是“主动变化”的，哪个是“跟着变化”的。 2. 求函数值或自变量： - 已知 x，求 y：这是最基本的运算，直接把  x  的值代入解析式计算即可。 - 已知 y，求 x：这相当于解一个方程，把  y  的值代入，然后通过移项、合并同类项等步骤，求出  x 。 3. 确定自变量的取值范围：这是解析式法里特别需要注意的一点。要确保解析式有意义，比如分母不能为零，开平方的被开方数不能是负数。在应用题中，还要考虑实际情况，比如人数不能是负数或小数。 例3．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式3-1】某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【变式3-2】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．． 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．． 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里） 类型四、函数的三种表示方法之图象法 1.看懂坐标轴，理解横纵含义：拿到图像，第一件事就是看清楚横轴（x轴）和纵轴（y轴）分别代表什么。这直接关系到你能否正确理解图像所表达的实际意义。 2.掌握“找点读坐标”的方法：这是最核心的技能。想知道某个自变量x对应的函数值y，就在x轴上找到这个点，然后过这点作x轴的垂线，与图像的交点的纵坐标就是y值。反过来求x值也是一样的道理。 3.关注图像上的关键信息：图像的起点、终点、最高点、最低点，以及它与坐标轴的交点，这些都是解题的“题眼”。另外，图像是上升的还是下降的，也反映了函数值是随自变量增大而增大还是减小。 例4．将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的图象大致为图中的（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化的情况． (1)上午8时的温度是多少？16时呢？ (2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？ (3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？ (4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？ (5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？ 【变式4-2】如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 类型五、动点问题与函数图象 1.分段分析运动过程：动点不是一直按一个规律运动的。它可能会碰到边界、拐角或者其他点。你需要把整个运动过程分成几个阶段来分析，每个阶段里，动点的运动方向和速度通常是不变的。 2.找到变量关系，列出解析式：在每个运动阶段，找到自变量（通常是运动时间t）和因变量（通常是线段长度、图形面积y）。然后根据几何知识（勾股定理、面积公式等）列出它们之间的函数关系式。 3.匹配函数图像特征：根据列出的函数关系式，判断它的图像形状。一次函数是直线，二次函数是抛物线。再结合自变量的取值范围，就能锁定正确的图像了。 例5．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时， D．当时， 【变式5-1】如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【变式5-2】如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 类型六、从函数的图象获取信息 1. 看清坐标轴，理解代表含义：拿到图像，先别急着看线条。第一件事是看清楚横轴（x轴）和纵轴（y轴）分别代表什么。比如是时间和路程，还是数量和总价。这是理解图像的基础。 2. 掌握“读坐标”的方法：图像上的任意一个点  P(x, y)  都包含了两个信息。横坐标x是自变量的值，纵坐标y是对应的函数值。学会通过一个值，在轴上作垂线找到另一个值，是解题的关键。 3. 关注图像的关键特征：图像的起点、终点、最高点、最低点，以及它与坐标轴的交点，这些都是重要的信息点。另外，图像是上升还是下降，反映了函数值是随自变量增大而增大还是减小。 例6．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【变式6-1】为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【变式6-2】甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题： (1)图②中的自变量是______，因变量是______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)结合题意和图①，可知图②中：______，______； (4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为？ 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列图像中，不能表示是的函数的是（   ）． A．B．C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·三模）如图1，在中，，动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示．已知点在线段上运动，当时，有最小值，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 7．（24-25七年级下·广东佛山·期末）小明爸爸是个汽车爱好者，想了解一款汽车的耗油量情况．他将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 … 油箱剩余油量 50 44 38 … 可推测，汽车行驶时，油箱中剩余油量为 ． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ． 9．（24-25八年级下·北京密云·期末）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是 ． 10．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，中，，D是边上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段长为 ，线段的长为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． (1)抽水后，水池中还有水________． (2)在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)几小时后才能把满池水抽干？ 12．（24-25七年级上·广东中山·阶段练习）甲乙两城之间的高速公路上，行驶着下面几辆车．每辆车的平均速度与驶完全程所需的时间如下表． 车辆 大客车 小货车 小轿车 大货车 平均速度（千米/时） 90 75 100 60 时间（小时） 3.2 2.4 4 (1)如果用V表示车辆的平均速度，T表示驶完全程所需的时间．T与V成什么比例关系？再写出这个关系式． (2)王师傅从甲城开车走高速公路去乙城办事，想在3小时内到达．那么他开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 13．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是______，因变量是______； (2)陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米； (3)求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度． 14．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 15．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知点，及第一象限的动点，且，设的面积为S． (1)求S关于x的函数解析式． (2)求x的取值范围． (3)当时，求P点的坐标． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___ (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 546 17．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多长？不挂物体呢？ (3)若所挂物体质量为时（在弹簧的允许范围内），说出此时弹簧的长度？ 18．（2025·浙江舟山·二模）某地某天的温度随着时间的变化情况如图所示，结合该函数图象回答： (1)图中点表示的实际意义； (2)观察函数图象，当时，的值为多少？当时，的值为多少？ (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“天宫课堂”开讲后，引发了学生了解科学知识的新热潮．七年级班数学兴趣小组的同学通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 20 25 声音在空气中的传播速度/（） 340 346 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)在这个变化过程中，声音在空气中的传播速度随气温的增大而怎样变化？气温每升高，声音在空气中的传播速度就提高多少？ (3)当气温为时，声音在空气中的传播速度为多少？ 20．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 变量与函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、函数的概念及图象识别 类型二、函数的三种表示方法之列表法 类型三、函数的三种表示方法之解析式 类型四、函数的三种表示方法之图象法 类型五、动点问题画函数图象 类型六、从函数的图象获取信息 压轴专练 类型一、函数的概念及图象识别 1.抓住函数的核心定义：判断两个变量是否构成函数关系，关键看自变量 x 每取一个值时，因变量 y 是否有唯一确定的值与之对应。图像识别时，可使用**“垂直于 x 轴的直线”**快速判断，若直线与图像只有一个交点，则是函数图像。 2.学会从图像中读取信息：解题时，要能看懂横、纵轴代表的实际意义。关注图像上的关键点，如起点、终点、最高点、最低点以及与坐标轴的交点。这些点往往是解题的突破口。 例1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断． 【详解】解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数． 故选：C 【变式1-1】下列各曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义，判断解答即可． 本题考查了函数的定义的理解，正确理解定义中的一一对应原则是解题的关键． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y有唯一一个值与之对应关系， 故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有两个值与之对应关系， 故C符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 类型二、函数的三种表示方法之列表法 1.读懂表格，明确变量：首先要看清楚表格的标题和列头，确定哪一列是自变量 x，哪一列是因变量 y。这是最基础也是最重要的一步。 2.利用表格，查找对应值：题目经常会问，当x等于某个值时，y是多少，或者反过来。这时候你只需要在对应的列里找到那个数，然后横向或纵向找到它的“搭档”就行了。 3.分析表格，发现规律：这是稍微进阶一点的技巧。通过观察表格中x和 y 的变化，可以尝试找出它们之间的函数关系。比如，看看y的变化量是不是和x的变化量成固定的倍数关系，从而判断它是不是一个一次函数。 例2．课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格中信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意； C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意； D、当 时，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键． 【变式2-2】梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意； B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意； C、从第3天到第4天，周积分的增长量为分，因此选项C符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有分、分，分的不等，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提． 类型三、函数的三种表示方法之解析式 1. 明确自变量和函数：在一个解析式里，比如  y = 2x + 1 ， x  是自变量， y  是  x  的函数。要清楚哪个是“主动变化”的，哪个是“跟着变化”的。 2. 求函数值或自变量： - 已知 x，求 y：这是最基本的运算，直接把  x  的值代入解析式计算即可。 - 已知 y，求 x：这相当于解一个方程，把  y  的值代入，然后通过移项、合并同类项等步骤，求出  x 。 3. 确定自变量的取值范围：这是解析式法里特别需要注意的一点。要确保解析式有意义，比如分母不能为零，开平方的被开方数不能是负数。在应用题中，还要考虑实际情况，比如人数不能是负数或小数。 例3．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、函数的三种表示方法 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式3-1】某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【答案】(1)，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量 (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键； （1）由加热时间每增加，液体温度升高，可得则每秒液体升高的温度为，从而可得解析式； （2）直接根据每秒液体升高的温度为，再列式计算即可； 【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量； 加热时间每增加，液体温度升高， 则每秒液体升高的温度为，得， ∴y与t之间的关系式是，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量． （2）解：， 当时，， ∴该液体的沸点是． 【变式3-2】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．． 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．． 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里） 【答案】(1)刹车时车速，刹车距离 (2)20米 (3) (4)汽车是超速行驶，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加m，可得答案； （4）结合（3）的结论得出可得车速为，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， 当刹车时车速为时，刹车距离是20m； 故答案为：20； （3）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， 与v之间的关系式为：， 故答案为：； （4）解：当时，， ， ， 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 类型四、函数的三种表示方法之图象法 1.看懂坐标轴，理解横纵含义：拿到图像，第一件事就是看清楚横轴（x轴）和纵轴（y轴）分别代表什么。这直接关系到你能否正确理解图像所表达的实际意义。 2.掌握“找点读坐标”的方法：这是最核心的技能。想知道某个自变量x对应的函数值y，就在x轴上找到这个点，然后过这点作x轴的垂线，与图像的交点的纵坐标就是y值。反过来求x值也是一样的道理。 3.关注图像上的关键信息：图像的起点、终点、最高点、最低点，以及它与坐标轴的交点，这些都是解题的“题眼”。另外，图像是上升的还是下降的，也反映了函数值是随自变量增大而增大还是减小。 例4．将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的图象大致为图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断、一定错误； 用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变， 当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化． 故选：B． 【变式4-1】温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化的情况． (1)上午8时的温度是多少？16时呢？ (2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？ (3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？ (4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？ (5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？ 【答案】(1)上午8时的温度是，16时的温度是 (2)这一天的最高温度是是在 14时达到的；最低温度为，是在 4时达到的 (3)这一天的温差为，经过了 (4)4时到14时温度在上升，0时到4时和14时到24时温度在下降 (5)点A 表示0时温度为，点 B 表示16时温度为； 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获得有关信息． （1）根据图象求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）用最高点表示的温度减去最低点的温度即可求出温差；用最高点表示的时间减去最低点的时间求解即可； （4）根据图象的变化趋势求解即可； （5）根据横坐标，纵坐标的含义求解即可； 【详解】（1）解：上午8时的温度是，16时的温度是； （2）解：这一天的最高温度是，是在 14时达到的；最低温度为，是在 4时达到的； （3）解：这一天的温差为，经过了； （4）解：4时到14时温度在上升，0时到4时和14时到24时温度在下降； （5）解：点A 表示0时温度为，点 B 表示16时温度为； 【变式4-2】如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 类型五、动点问题与函数图象 1.分段分析运动过程：动点不是一直按一个规律运动的。它可能会碰到边界、拐角或者其他点。你需要把整个运动过程分成几个阶段来分析，每个阶段里，动点的运动方向和速度通常是不变的。 2.找到变量关系，列出解析式：在每个运动阶段，找到自变量（通常是运动时间t）和因变量（通常是线段长度、图形面积y）。然后根据几何知识（勾股定理、面积公式等）列出它们之间的函数关系式。 3.匹配函数图像特征：根据列出的函数关系式，判断它的图像形状。一次函数是直线，二次函数是抛物线。再结合自变量的取值范围，就能锁定正确的图像了。 例5．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图2中各个关键点的横坐标判断出动点在图1中的位置是解决本题的关键．理解当时，点可能在边上，也可能在边上是解决本题的易错点． 由图2中各个关键点的横坐标可得动点从点运动到点、、所用的时间，根据点的速度可得动点在相应时间内行走的路程，那么可得长方形各边长，即可判断A选项的正误；易得点在边上时，的面积最大，那么可得的最大值，可判断B选项的正误；当时，点在边上，可得的长，进而可得的值，可判断C选项的正误；当时，点可能在边上，也可能在边上，分别求得点的运动路程，除以速度即可得到t的值，即可判断D选项的正误． 【详解】解：由题意得：点从点运动到点、、所用的时间分别是， ∵点的速度为， ∴． ∴． ∵四边形是长方形， ∴．故A错误，不符合题意； 当点在边上时，的面积最大． ．故B正确，符合题意． 当时，点在边上，． ∴．故C错误，不符合题意． 当时，点可能在边上，也可能在边上． ①点在边上时， ， ， ②点在边上时， ∴点运动的路程为． ， 故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式5-1】如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 【变式5-2】如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)自变量是的长，因变量是的面积 (2)， (3)见解析 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）根据题意即可求解； （2）根据表格数据可得，，的高是，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）当时，，当时，，再根据三角形的面积公式可求解析式，根据函数的性质可得的面积变化情况． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积； （2）解：时，；时，， ，，的高是， 时，， ， 当时，， ， ，； （3）解：当时，， ，即； 当时，， ，即； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 类型六、从函数的图象获取信息 1. 看清坐标轴，理解代表含义：拿到图像，先别急着看线条。第一件事是看清楚横轴（x轴）和纵轴（y轴）分别代表什么。比如是时间和路程，还是数量和总价。这是理解图像的基础。 2. 掌握“读坐标”的方法：图像上的任意一个点  P(x, y)  都包含了两个信息。横坐标x是自变量的值，纵坐标y是对应的函数值。学会通过一个值，在轴上作垂线找到另一个值，是解题的关键。 3. 关注图像的关键特征：图像的起点、终点、最高点、最低点，以及它与坐标轴的交点，这些都是重要的信息点。另外，图像是上升还是下降，反映了函数值是随自变量增大而增大还是减小。 例6．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【答案】(1)0.125；0.5 (2) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； （2）由题意，得：， 解得：． 【变式6-1】为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 【变式6-2】甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题： (1)图②中的自变量是______，因变量是______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)结合题意和图①，可知图②中：______，______； (4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为？ 【答案】(1)乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差 (2)25，10 (3)1.5，10 (4)或 【知识点】从函数的图象获取信息、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （3）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差； 故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差； （2）解：由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故答案为：25，10； （3）解：由图可得， ， ， 故答案为：1.5，10； （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列图像中，不能表示是的函数的是（   ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”,据此逐项判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，选项B、C、D中y是x的函数，A中y不是x的函数， ∴B、C、D不符合题意， A符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的求法，根据题意列出等式即可解决问题； 【详解】解：由题可知：， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由于两个容器的大小不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段，再结合每个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形，得下面的容器的半径较大，上面的容器的半径较小， ∴函数图象的水面高度先随时间的增大而增长,且增长速度缓慢，再随着时间的增大而增长,且增长速度较快， 符合题意的是B选项， 故选：B． 4．（2025·广西南宁·三模）如图1，在中，，动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示．已知点在线段上运动，当时，有最小值，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点M的坐标与三角形的边之间的关系． 根据图2确定点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：如图，于点D， 由题意可知，当点P在边上时，y的值先减小后增大， 当时，，当时，y有最小值， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动到点C时，线段达到最大，即点M的位置， ∴点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， ∴点M的坐标为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实际情况作出选择即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象； b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的变化越来越大，故为第四个图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象． 综上，正确的顺序是， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 7．（24-25七年级下·广东佛山·期末）小明爸爸是个汽车爱好者，想了解一款汽车的耗油量情况．他将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 … 油箱剩余油量 50 44 38 … 可推测，汽车行驶时，油箱中剩余油量为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系．观察表格得：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，即可求解． 【详解】解：观察表格得：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少． 所以汽车行驶时，油箱中剩余油量为． 故答案为：20 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键． 根据菜园三边和为24米，可得到，变形即可得到y与x的关系式． 【详解】解：由题意可得，， 则有， 变形得： 故答案为： 9．（24-25八年级下·北京密云·期末）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】/④① 【分析】本题考查了函数图象获取信息，从函数图象获取信息是解题的关键： 看图象中轿车初始距甲地的距离，确定①正确．用货车行驶全程的路程除以总时间，得速度，故②错误． 先算相遇时间，再减去轿车行驶的时间，得休息，所以③错误．分别算出货车、轿车（行驶用时+休息）的时间，作差得，故④正确． 【详解】①由图象知轿车初始距甲地，故甲乙两地相距，正确． ②货车行驶，速度为，错误． ③相遇时货车行驶，用时；轿车行驶用时，休息时长为，错误． ④货车行驶全程用，轿车行驶全程（含休息）：行驶需，休息，总用时，，正确． 正确结论序号为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，中，，D是边上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段长为 ，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 先根据，，可得，，再根据当时，，可得，C、D重合，此时求得，从而可得，再当时，为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解． 【详解】解：从图象看，∵当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴当时，C、D重合， 此时，则CD=6， ∴当时，为以点A为顶点腰长为的等腰三角形， 如图： 过点A作于点H， 在中，，， ∴， 在中，， 故答案为：7，． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． (1)抽水后，水池中还有水________． (2)在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)几小时后才能把满池水抽干？ 【答案】(1)250 (2)时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量 (3)后才能把满池水抽干 【分析】本题考查了常量与变量：用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，且抽水，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得出时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量，即可作答． （3）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 故答案为：250． （2）解：在这一变化过程中，时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量． （3）解：根据题意，得． 故后才能把满池水抽干 12．（24-25七年级上·广东中山·阶段练习）甲乙两城之间的高速公路上，行驶着下面几辆车．每辆车的平均速度与驶完全程所需的时间如下表． 车辆 大客车 小货车 小轿车 大货车 平均速度（千米/时） 90 75 100 60 时间（小时） 3.2 2.4 4 (1)如果用V表示车辆的平均速度，T表示驶完全程所需的时间．T与V成什么比例关系？再写出这个关系式． (2)王师傅从甲城开车走高速公路去乙城办事，想在3小时内到达．那么他开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【答案】(1)与成反比例关系，关系式为． (2)开车的平均速度不能低于千米/时． 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断以及行程问题中速度、时间、路程的关系，熟练掌握反比例的定义和速度、时间、路程的关系式是解题的关键． （1）通过计算不同车辆平均速度与时间的乘积，判断与的比例关系，进而得出关系式． （2）先根据表格数据求出甲乙两城之间的路程，再根据时间求出最低平均速度． 【详解】（1）解：大客车： 小货车： 小轿车： 大货车： 因为（定值）， 所以与成反比例关系，关系式为． （2）解：由（1）知路程千米， （千米/时）， 答：开车的平均速度不能低于千米/时． 13．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是______，因变量是______； (2)陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米； (3)求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度． 【答案】(1)离开家的时间，离开家的路程 (2)， (3)千米/小时 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意，理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）观察图象，根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）先根据函数图象和题干信息得到陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶时间，再根据“速度路程时间”可得答案． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的路程． 故答案为：离开家的时间，离开家的路程； （2）解：由图象可知，陈辰家到安徽名人馆的路程是千米， 安徽名人馆到长临河古镇的路程是：（千米）， 故答案为：，； （3）解：（千米/小时）． 答：陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度为千米/小时． 14．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； （2）解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 15．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知点，及第一象限的动点，且，设的面积为S． (1)求S关于x的函数解析式． (2)求x的取值范围． (3)当时，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中的动点问题，函数与三角形的面积，二元一次方程，一元一次不等式组，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）根据题意画出图形，由可知，再由三角形的面积公式即可得出结论； （2）由点在第一象限，且得出x的取值范围即可； （3）把代入(1)中的关系式求出x的值，进而可得出y的值． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴，， ∴； （2）∵点在第一象限，且， ∴， 解得； （3）当时， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___ (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)放水时间和游泳池的存水； (2)624，468，390； (3)，取值范围为． 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识． （1）根据题意即可解答； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水量； （2）解：补充表格如下： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 546 （3）解：根据题意，得， 令，解得， 所以与的函数关系式为的取值范围为． 17．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多长？不挂物体呢？ (3)若所挂物体质量为时（在弹簧的允许范围内），说出此时弹簧的长度？ 【答案】(1)所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)物体质量为时，弹簧长，不挂重物时长 (3)此时弹簧的长度为 【分析】本题考查函数的表示方法，自变量与因变量的关系． （1）由题意可直接得出，弹簧的长度与所挂物体质量，所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）由表数据可直接得出； （3）通过观察表格，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加可得结论． 【详解】（1）解：由表可得，弹簧的长度与所挂物体质量，所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：由表直接可得，物体质量为时，弹簧长，不挂重物时长； （3）解：通过观察表格，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加， 则所挂重物为时，长度为． 答：此时弹簧的长度为． 18．（2025·浙江舟山·二模）某地某天的温度随着时间的变化情况如图所示，结合该函数图象回答： (1)图中点表示的实际意义； (2)观察函数图象，当时，的值为多少？当时，的值为多少？ (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． 【答案】(1)在时，温度为 (2)， (3)①某地某天在时，温度最低，为；②某地某天在时，温度最高，为 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，数形结合是解决问题的关键． （1）观察某天的温度随着时间的变化情况图象即可得到答案； （2）观察某天的温度随着时间的变化情况图象即可得到答案； （3）观察某天的温度随着时间的变化情况图象即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图中点表示的实际意义是在时，温度为； （2）解：由图可知，当时，；当时，； （3）解：由图可知，该函数的两条性质或结论： ①某地某天在时，温度最低，为；②某地某天在时，温度最高，为． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“天宫课堂”开讲后，引发了学生了解科学知识的新热潮．七年级班数学兴趣小组的同学通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 20 25 声音在空气中的传播速度/（） 340 346 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)在这个变化过程中，声音在空气中的传播速度随气温的增大而怎样变化？气温每升高，声音在空气中的传播速度就提高多少？ (3)当气温为时，声音在空气中的传播速度为多少？ 【答案】(1)自变量是气温；因变量是声音在空气中的传播速度 (2)声音在空气中的传播速度随气温的增大而增大； (3) 【分析】本题主要考查的知识点是变量的相关概念以及数据的变化规律分析． ()涉及自变量与因变量的定义，需要明确在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量； ()考查对数据变化趋势的观察与分析能力，通过表格中气温和声音传播速度的对应数据，总结出传播速度随气温的变化规律，并计算出单位气温变化下传播速度的提高量； ()基于()中得出的变化规律，进行简单的数学推理与计算，预测特定气温下声音的传播速度． 【详解】（1）解：自变量是主动变化的量，本题中气温的变化引起声音传播速度的变化， 因此自变量是气温； 因变量是随自变量变化而变化的量， 因此因变量是声音在空气中的传播速度． （2）观察表格数据： 气温每升高(如从到)，声音传播速度增加， 同理，其他温度区间(如到)均满足每升高速度增加， 因此，声音在空气中的传播速度随气温的增大而增大； 气温每升高，声音传播速度提高． （3）设气温为，声音传播速度为，根据规律可得： 代入： ， 当气温为时，声音在空气中的传播速度为． 20．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 【答案】(1)x，y (2)16 (3)的长为8，梯形的面积为26 (4)3或 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）直接观察图2，即可解答； （3）根据图象得出的长，以及此时面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点P在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出关于x的方程求解便可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y； 故答案为：x；y （2）解：由图2得：当时，； 故答案为：16 （3）解：由图象得：当时，点P运动到点C， ∴， ∴，即， ∴， 由图象得：当时，点P运动到点D， ∴， ∴， ∴的长为8，梯形的面积为26； （4）解：当点P在边上时，， 解得：； 当点P在边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小， 当时，有， 解得：， 综上所述，当的面积为12时，点P运动的路程为3或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $