专题11 线段的和与差及中点问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 类型二、线段中的单中点的计算问题 类型三、线段中的双中点的计算问题 类型四、线段中的多中点的计算问题 压轴专练 业 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 如下图，有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD 例1.(24-25七年级上江苏连云港阶段练习)在直线上，线段AB=5,线段BC=3,则线段AC的长 为】 【变式1-1】(24-25七年级下·内蒙古乌海期末)若点A,B,C在同一条直线上，如果线段AB=7cm,线 段BC=4cm,那么A,C两点之间距离是 【变式1-2】(24-25七年级上·广东深圳期中)在直线1上截取线段AB,BC,使AB=3cm,BC=1cm, 则线段AC的长为 cm. 【变式1-3】(24-25七年级上·全国期末)如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点.己知AE=8, AB=3BC,CE=4CD. (I)求BD的长； (2)求图中所有线段长度的和. 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、线段中的单中点的计算问题 把 条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如下图，有：4M=MB=号4 例2.(24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习)已知点C在直线AB上，若AC=4cm,BC=6cm,E为线段 AB的中点，则AE的长为」 【变式2-1】(24-25六年级下山东烟台期末)己知线段AB=10,直线AB上有一点C,AC:BC=1:4,D 为AC的中点，则BD的长为」 【变式2-2】(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)点C、点D在线段AB上，AD=BC. A C DB A C M D B 图1 图2 (①)如图1，请判断AC和BD的数量关系，并说明理由： (2)如图2，点M是AD的中点，BM=4AC,CM=2,求线段AB的长度. 【变式2-3】(24-25七年级上·湖南长沙阶段练习)已知点C在线段AB上，AC=2BC,AB=48,点D, E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE=I6,线段DE在线段AB上移动. A (I)求BC的长 (②)如图，当E为BC的中点时，求AD的长； (3)在(2)的条件下，如果在线段AD上取一点F,使得DF=DE,此时点F是线段AE的几等分点？请说明 理由. 类型三、线段中的双中点的计算问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模 型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：MN=二AC 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B N 图1 :M、N分别为AB、BC的中点， =。AB(中点定义)：BN=BC(中点定义 :MN=BM什BN, Mw-4B+8c-48+8c-号4c: ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， ✉B 图2 :M、N分别为AB、BC的中点， BM=4B(中点定义：BN=号8C(申点定义： MN=BM-BN, .MN-AB-BC-(AR-BC)-4C: ③当点B在线段CA的延长线上 C M AN 图3 :M、N分别为AB、BC的中点， :BM=AB(中点定义)：BN=BC(中点定义)： MN=BN-BM, :MN=-BC-14B-(BC-BA)-TAC: 2 例3.(2425七年级上·湖南株洲期末)如图所示，已知点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点. A M CNB (1)图中有 条线段： (②)若AC=10,BC=8,求MN的长度 【变式3-1】(24-25七年级上湖南衡阳·期末)如图，己知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm, D、E分别是AC、AB的中点.求： D E C (1)求AD的长度； 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求AE的长度； (3)求DE的长度； 【变式3-2】(24-25七年级上浙江杭州阶段练习)如图，点B、C在线段AD上，且 AB 3BC,CD 2BC. M M B C D B C D (I) () 1)如图(I)若点M为AC的中点，且AD=24.则BC=-,BM=-· (2)如图(IⅡ)若点M、N分别为AC、BD的中点，且AD=m,BC=n,求MN(用m、n表示) 【变式3-3】(24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习)【问题背景】 如图，己知线段AB=I6,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点. D BA N C D B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，求线段CD的长； (2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足CN=3AW, ①求线段DN的长； ®若点M是线段AB上的一点，CMAN,求DM的长 类型四、线段中的多中点的计算问题 条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2a,第1次操作：分别取线段AM和AN的中点 M,、N,;第2次操作：分别取线段AM,和AN的中点M2,N2;第3次操作：分别取线段AM2和AN2的 中点M,N:连续这样操作n次，结论：M-得a A NMNM N M N 证明：：M1、N,是AM和AN的中点 M=2AM,4W,=74N, 2 :M:N,-TAM-TAN-IMN-a, 2 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :M2、N2是AM和AW1的中点， AM,=24M,MN=24N, 六M,N,=2AM,-24W=2M,N=2a, 2 2 :M3,N,是AM2和AN2的中点， AM=AM,N,=号4N, 2 1.12 2 2 例4.已知线段48=9m,点C,D是线段AB上的点，且4C=号4B,点D是线段4C的三等分点，则 BD= 【变式4-1】如图，图中数轴的单位长度为1.若原点0为AB的四等分点，则C点代表的数为 B 【变式4-2】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长. M C N BA M NB 图1 图2 (I)根据题意，小明求得MN= (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始 深入探究。 设AB=α，C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答. ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN=】 ②如图2，M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=AC,BN=BC,求MN的长； ⑧若M,N分别是AC,BC的n等分点，即AM=IAC,BN=IBC,则MN= 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 物章 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，线段AB=DE,C为线段AE的中点，下列式子不正确的是() C D E A.BC=CD B.CD-TAE-DE C.CD-AD-CE D.CD-DE 2.(24-25七年级上湖北武汉·期末)点M,N,P在同一条直线上，MN=3,NP=1,则MP的长为() A.2 B.4 C.2或4 D.无法确定 1 1 3.(24-25七年级上陕西安康期末)如图，点B,D在线段AC上，BD=二AB=二CD,E是AB的中点， 3 4 F是CD的中点，EF=7.5,则AB的长为() A ED B F C A.7 B.8 C.9 D.10 4.(24-25七年级上·安徽六安·期末)如图，有公共端点P的两条线段PM,PN组成一条折线M-P-N.若 该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”.己知点D是折 线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=4,CE=6,则线段BC的长是() A.4 B.20或10 C.10 D.20或4 5.(24-25七年级上湖北武汉阶段练习)已知线段AB=8,点C是直线AB上一点（不同于点A、B).下 列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC=4;②若AC=2,则点C为线段AB的四等分点；③若 AC+BC=8,则点C一定在线段AB上；④若AC+BC>8,则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若 AC+BC=12,则AC=2.其中正确说法的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25七年级上·陕西西安期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度向点B运 动，M为AP的中点，N为BP的中点.以下说法正确的是() ①运动4s后，MW=12cm; 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②在点P运动过程中，2BM-BP值随着点P位置的变化而变化； ③当AN=6PM时，运动时间为2.4s. AM P B A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 二、填空题 425七年级上云南临沧期末)已知线段B=20cm,点C在4B的延长线上，AB号4C,则脸 BC=cm 8.(24-25七年级上湖北黄石·期末)如图，线段AB=10cm,点C为线段AB上一点，BC=3cm,点D,E 分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为 cm. A D E B 9.(24-25七年级上·江苏南京·阶段练习)已知点C在直线AB上，AC=10cm,CB=6cm,点M、N分别是 AC、BC的中点.则线段MN的长为 10.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=5,第一次操 作：分别取线段AM和AN的中点M,N;第二次操作：分别取线段AM,和AN,的中点M2,N2；第三次操 作：分别取线段AM2和AW2的中点M,N;…连续这样操作2024次，则线段M2o24N2o24的长度为」 丛水Y M M M 11.(24-25七年级上陕西西安阶段练习)如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在 线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭 头所示.若点CD运动时，总有MD=2AC,N是直线AB上一点，且4N-BN=MN,则M AB ACM BA M B 图1 图2 12.(25-26七年级上·河南郑州阶段练习)长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从-4到12）的一 条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）.若这三条线段 的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 7/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 go 折痕 剪断处 三、解答题 13.(25-26七年级上全国课后作业)如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且 AD =9cm,BC 2cm A CB D (I)线段AC的长为」 cm (2)若点E在线段AD上，AE=3cm,则线段BE的长为】 cm. 14.(2025七年级上·全国专题练习)如下图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点， DC=4BD. A E D (1)若AB=12,BC=15,求AD的长 (2)若AB=2BD,AB+DC=36,E是AC的中点，求BE的长， 15.(25-26七年级上全国·课后作业)如图，点C,D在线段AB上，且AC=CB,CD=DB. A C D B (1)点 是线段AB的中点，点C是线段 的三等分点. (②)AC是DB的几倍？AB是CD的几倍？ 16.(24-25七年级上·全国随堂练习)如图所示，直线AB上有一点P,M,N分别为线段PA,PB的中点， AB=14. A M P N B (I)若点P在线段AB上，且AP=8,求线段MN的长度. (②)若点P在直线AB上运动，请分别计算下面情况时MN的长度： ①当点P在AB之间；②当点P在点A左边；③当点P在点B右边. 你发现了什么规律？ 17.(24-25七年级上甘肃兰州期末)如图，在射线0M上有A,B,C三点，满足 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA=4cm,AB=12cm,BC=2cm·点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动；点Q从点C出发在 线段C0上向点0匀速运动（点Q运动到点0时停止运动），两点同时出发. oA B CM (1)当PA=2PB(P在线段AB上)时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，则点Q的运动速度为一 cms,(直接写出答案即可) (2)若点Q的运动速度为3cm/s,经过多长时间P、Q两点相距10cm? (3当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F,则OBP =一·（直接写出答案即可） EF 18.(24-25七年级上辽宁铁岭期末)已知点C在线段AB上，若AC=5BC或BC=5AC,则称点C是线 段AB的“五美点”. 【理解定义】 (1)若线段AB=6,C是线段AB的五美点”，则AC=; 【解决问题】 (2)如图，E在射线0M上，0E=12. OD K FEM E M (备用图) ①若点D、F均为线段OE的五美点”，且OD<OF,又K为线段DE的中点，求线段KF的长度： ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线OM向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个 单位长度的速度也沿射线OM向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、 E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程 9/9 专题11 线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 类型二、线段中的单中点的计算问题 类型三、线段中的双中点的计算问题 类型四、线段中的多中点的计算问题 压轴专练 类型一、线段的和与差的计算问题 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在直线上，线段， 线段， 则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键在于能够讨论C的位置进行求解．、、在同一条直线上，则可能在线段上，也可能在的延长线上，应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①如图，当在线段上时： ； ②如图，当在的延长线上时， ； 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，， ∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，， ∴， 综上所述，，两点之间距离是或． 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，根据题意，分两种情况：①当点在点的右侧时；②当点在点的左侧时．根据线段的和差计算即可得出答案．掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点在点的右侧时， ，， ； ②如图所示，当点在点的左侧时， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 故答案为：4或2． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期末）如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了线段的和与差，关键是分析出线段间的关系． （1）分析出占整条线段的比例求出长度； （2）列出以A、C、D、B、E这5个点为端点的所有线段，然后根据整合为已知两线段的长求解． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． （2）解：由（1）知．图中共有10条线段，分别为，，，，，，，，，，它们的长度之和为： ． 类型二、线段中的单中点的计算问题 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 例2．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，点在线段上或点在线段延长线上，利用线段和差和线段中点的意义进行求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： ∵ ∴， ∵E为线段的中点， ∴； 当点在线段延长线上时，如图： ∵ ∴， ∵E为线段的中点， ∴； 综上：的长为或， 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 【变式2-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 【变式2-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)24 (3)五 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据题意得，即可求出； （2）求出，再由E为中点求出，由求出，再根据求出结论即可； （3）首先求出，再求出，求出结论即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）， ∴ 又E为中点 ∴ ∵ ∴ 又 ∴； （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴点F是线段的五等分点． 类型三、线段中的双中点的计算问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 例3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，已知点在线段上，分别是的中点． (1)图中有______条线段； (2)若，求的长度 【答案】(1)10 (2)9 【分析】本题考查了线段条数的问题，线段中点的性质以及线段的和差计算； （1）分别以为端点，数出线段的条数，即可求解； （2）根据线段中点的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，图中线段有，，，，共（条） 故答案为：． （2）解：点、分别为、的中点， ，， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)求的长度； (2)求的长度； (3)求的长度； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出， （3）根据即可求出． 【详解】（1）解：∵，点D是的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， （3）∵， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【分析】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 类型四、线段中的多中点的计算问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例4．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【变式4-1】如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式4-2】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义可得，再结合已知和等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，解题的关键是根据题意分类讨论． 根据点的位置关系进行分类讨论，计算每种情况对应的线段长度即可． 【详解】解：若点在点左侧，， 若点在点右侧，， 故选：． 3．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，解题的关键是能根据题意得出方程．设，则，．根据线段中点的定义可得，．根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设，则，． 因为线段，的中点分别是，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以． 故选C． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点C是直线上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段的中点，则；②若，则点C为线段的四等分点；③若，则点C一定在线段上；④若，则点C一定在线段的延长线上；⑤若，则．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是熟练掌握线段和差的定义． 利用线段的和差逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵点C为线段的中点， ∴， 该选项正确，符合题意； ②若，点不在线段上时，则点C不是线段的四等分点，该选项错误，不符合题意； ③若，则点C一定在线段上，该选项正确，符合题意； ④若，则点C在线段的延长线或者反向延长线上，该选项错误，不符合题意； ⑤若，则或，该选项错误，不符合题意． 故正确选项为：①③， 故选：B． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·云南临沧·期末）已知线段，点C在的延长线上，，则线段 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， 点C在的延长线上， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义及线段的计算．根据题意先计算的长度，再求出和的长度，最终求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1.5． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差关系，分情况讨论是解题的关键．本题需分情况讨论点C在线段上或在的延长线上时的长度。利用中点性质及线段和差计算即可． 【详解】分类讨论：点C在线段上，点C在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 解：①当点C在线段上时， ， 由点M、N分别是的中点，得 ，， 由线段的和差，得； ②当点C在线段的延长线上时， ， 由点M、N分别是的中点，得 ，． 由线段的和差，得， 综上，MN的长或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．设运动时间为t，，，，，再加上已知条件，就可以得到，再分两种情况讨论计算，当N在线段上时，N在线段延长线上时，分别求出比值即可． 【详解】解：设运动时间为t， ∵，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 综上所述，或1． 故答案为：或1． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】2或4或6 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． (1)线段AC的长为 cm． (2)若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 【答案】(1) 5 (2)4 【分析】（1）先根据中点求出的长度，再用的长度减去的长度得到； （2）先求出的长度，再确定点的位置，求BE的长度． 【详解】（1）因为B为线段的中点，且， 所以 又因为， 所以． （2）由（1）知 所以 已知， 所以点E在之间，． 【点睛】本题考查了线段的中点性质和线段的和差计算，掌握以上知识是解题的关键． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】  (1)根据，可求得，据此即可求得答案； (2)先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点的有关计算问题，掌握线段和差关系和中点定义是本题的关键． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在线段上，且． (1)点________是线段的中点，点C是线段________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？ 【答案】(1)， (2)是的2倍，是的4倍 【分析】本题考查了直线，射线，线段，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论； （2）根据线段的中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，点是线段的中点， ， 是线段的三等分点； 故答案为：，； （2），， ， 是的2倍，是的4倍． 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，直线上有一点P，M，N分别为线段，的中点，． (1)若点P在线段上，且，求线段的长度． (2)若点P在直线上运动，请分别计算下面情况时的长度： ①当点P在之间；②当点P在点A左边；③当点P在点B右边． 你发现了什么规律？ 【答案】(1)7 (2)①7；②7；③7；规律：当在直线上时， 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的定义得出，的长是解题关键． （1）根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； （2）①根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； ②根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和差，可得答案； ③画图，同理可得的长，从而得规律． 【详解】（1）解：当在线段上，如图1， ，点是中点， ， ，， ， 又点是中点， ， ； （2）解：①点在之间， 是的中点，是的中点， ，， ； ②点在的左边时，如图2， 是的中点，是的中点， ，， ； ③点在的右边时，如图3， 是的中点，是的中点， ，， ； 发现规律：当在直线上时，． 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了线段的和差及中点，路程问题，列一元一次方程解决几何问题，动点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）根据中点的性质和线段的倍数关系求出线段的长度，然后根据速度公式进行求解即可； （2）根据题意，分两种情况进行讨论，即当点运动时和停止时，进行列方程求解即可； （3）根据动点分三种情况进行讨论，根据线段中点得出相等的线段，令，则，利用线段的和差表示出相关线段，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴， ∴，， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，， ∴， 根据题意得， ① 解得， ，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ② 解得， ∵， 该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； 综上，． 18．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $