专题10 立体图形的表面展开图的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题10 立体图形的表面展开图的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、补一个面使图形围成正方体 类型二、含图案的正方体的展开图 类型三、由展开图计算几何体的面积或体积 类型四、长方体无盖展开图的有关问题 压轴专练 类型一、补一个面使图形围成正方体 1.确定"邻居"：先在脑海里固定一个面作为底面。然后观察它周围的面，想象把它们向上翻折，看它们分别会成为"前、后、左、右"哪个面。 2.找到"空位"：折叠后，剩下没有被覆盖的那个位置，就是需要补上的"盖子"。 3.快速排除：记住一个快速排除法——正方体展开图里绝对不会出现"凹"字形或"田"字形。如果补上某个面后形成了这种结构，那它肯定是错的。 例1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【变式1-1】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【变式1-2】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 【变式1-3】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 类型二、含图案的正方体的展开图 1.找"邻居"：在展开图中，同一行或同一列且中间只隔一个面的两个面，在正方体中是相对的。相对的面在任何视图中都不会同时出现。这是最快的排除法。 2.动手"折一折"：找一个确定的面作为"前面"，然后在脑海中把它周围的面折起来。想象一下，"上面"、"右面"等位置的图案应该是什么样的。这个方法虽然花点时间，但最稳妥。 例2．小明用如图中的纸片折叠成了一个正方体的盒子，下列四个选项中正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠，理解展开、折叠前后的面、顶点间的关系是正确判断的前提与关键；根据正方体展开图的特征，折叠后各个面及顶点间的关系进行判断． 【详解】解：如图，当将其折叠后，点A与点B重合，点C与点D重合，阴影三角形的两个直角顶点重合在一起，并且与含有小圆面的四个顶点重合的点为C、D、E、F、G，点A、B不能与含有小圆面的顶点重合，因此只有选项B正确； 故选：B． 【变式2-1】下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据几何体中图案的位置结合正方体的表面展开图，即可得出结论，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【详解】 解：折叠后可得到图中的正方体，符合题意； 故选：B． 【变式2-2】如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， 选项A中的“”与“”是对面，不是邻面与原图不符，因此选项A不符合题意； 选项B中的展开图折叠成正方体后，“”的“尖”不指向“”面，而指向空白面，因此选项B不符合题意； 选项C中的展开图折叠成正方体后符合原图，因此选项C符合题意； 选项D中的展开图“”与“”是对面，不是邻面，与原正方体不符，因此选项D不符合题意； 故选：C 【变式2-3】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体表面展开图及空间想象能力，再验证正方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断，同时解决此类问题时，不妨动手实际操作，即可解决问题． 【详解】根据展开图的各种符号特征和位置，可得墨水在D盒子里面， 故选：D 类型三、由展开图计算几何体的面积或体积 1. 还原几何体：根据展开图的形状，判断它能围成哪种立体图形。比如，由6个长方形组成的展开图对应长方体；由1个扇形和1个圆形组成的对应圆锥。 2. 确定尺寸：在展开图上找到计算所需的关键尺寸。例如，计算圆柱时，长方形的一边是高，另一边是底面圆的周长；计算圆锥时，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长。 3. 套用公式：确定几何体和尺寸后，直接套用对应的表面积或体积公式进行计算。 例3．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 【变式3-1】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 【变式3-2】如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 【变式3-3】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤，④ (2)这个长方体包装盒的体积为 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了长方体的平面展开图以及列代数式，注意根据题意分析及解答问题． （1）通过结合立体图形与平面图形的相互转化，可以知道长方体包装盒的六个面分别是那两个面一一对应； （2）根据题意和题干图列代数式，根据所给数据计算即可解答． 【详解】（1）解∶根据长方体纸盒展开图可知，①与⑤是相对的，②与④是相对的，③与⑥是相对的； 故答案为∶⑤，④； （2）解∶由长方体的宽为，长是宽的2倍可以得到长方体的长为；由图可知①与④的高相同，所以长方体的高为． 长方体的体积为∶长宽高， 答∶长方体包装盒的体积为． 【变式3-4】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠； （1）根据长方体的展开图可得面D与面B相对，结合题意，即可求解； （2）根据题意求得，然后根据长方体的体积公式，即可求解． 【详解】（1）解：将展开图折叠成长方体后，其中面D与面B相对，要让折叠后的B在底面，则她应该剪去面D； （2）因为所有棱长的和是， 所以． 因为， 所以， 所以这个长方体收纳盒的容积为 类型四、长方体无盖展开图的有关问题 1.确定底面：无盖长方体展开图有多种形式，但通常有一个"盖子"是缺失的。你需要先找到那个单独的、或位于中间的长方形作为底面。 2.匹配长宽高：底面确定后，剩下的四个长方形就是侧面。其中，两个长方形的一边长度应等于底面的长，另外两个应等于底面的宽。剩下的那条边就是长方体的高。 3.计算面积：表面积是底面面积加上四个侧面面积之和。如果题目给了总面积和其中两个边长，也可以用这个关系来反求第三个边长。 例4．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 【答案】（1）12，864  （2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： 3cm； ∴长方体纸盒的表面积为． 【变式】【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键．根据几何体的展开图逐项判断即可． 【详解】解：A、左侧图形不能折叠成正方体，故本选项不符合题意； B、左侧图形中的圆形无法折叠成圆锥的底面，因此不能折成圆锥，故本选项不符合题意； C、左侧图形能折叠成圆柱，故本选项符合题意； D、因为三棱柱需要6个面，而左边的图只有5个面，因此不能折叠成三棱柱，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）下列展开图，能折叠成正方体的有（    ）个． A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，正方体的展开图可以分为11种基础形状，这11种基础形状可归纳为四种类型：“141”型、“231”型、“222”型、“33”型．掌握正方体的11种展开图是解题的关键． 【详解】正方体展开图中不存在“凹”字，“田”字形状，故②和⑧不符合题意，图⑦中形状不满足四种基础类型，所以⑦不符合题意，其他图均能折叠成正方体．共个． 故选：B． 3．（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段练习）一个正方体的平面展开图如图所示，折叠后可折成的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键． 根据图形的特征可知选项D的图形满足条件，即可得解． 【详解】解：一个正方体的平面展开图如图所示，可知阴影三角形的一条直角边与空心圆相邻，由此可知折叠后可折成的图形是． 故选：D． 4．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）在数学活动课上，老师要求用长为，宽为的长方形硬纸片制作一个无盖的长方体纸盒．小亮同学在长方形硬纸片上截去两角（图中阴影部分），使纸盒底面的四边形是长方形，且．那么他沿虚线所折成的无盖的长方体纸盒的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点．由展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无盖长方体纸盒的容积即可． 【详解】解：设，则， 由题意可得：， 解得：， ， 长方体纸盒的高为：， 则所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； 故选：C． 5．（24-25七年级上·湖南常德·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用；由正方形的表面积得，，，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；能表示出所求几何体的表面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图是多个几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称是： 【答案】圆锥，正方体，四棱锥，长方体（四棱柱） 【分析】此题主要考查了立体图形的展开图．识记立体图形展开图的基本特征是解决问题的关键． 根据圆锥，正方体，四棱锥，长方体的展开图特征回答． 【详解】解; 这4个几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体是圆锥，正方体，四棱锥，长方体（四棱柱）． 故答案为：圆锥，正方体，四棱锥，长方体（四棱柱）． 7．（25-26七年级上·重庆·开学考试）用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 【答案】 208 2 【分析】本题主要考查了长方体表面积的计算以及图形的拼接问题． （1）要使拼成的大长方体表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，这样拼接后大长方体的表面积就减少得最多； （2）先分析小长方体不同面的面积，确定拼接方法，再计算大长方体的表面积，最后确定拼法的种类． 【详解】解：小长方体的长，宽，高分别是6，4，2，根据长方形面积公式，可得小长方体三个不同面的面积为： 长为6，宽为4的面的面积：； 长为6，宽为2的面的面积：； 长为4，宽为2的面的面积：； 要使拼成的大长方体的表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，即把长为、宽为的面拼在一起； 根据分析，四个小长方体拼在一起，拼接时每两个小长方体拼接一次，就会减少2个面的面积，四个小长方体两两拼接，一共拼接3次，总共减少（个）面的面积， 一个小长方体的表面积为：， 四个小长方体的表面积之和为：， 减少的6个长为6、宽为4的面的面积为：， 大长方体的表面积最小为：； 根据分析，把四个小长方体拼成一个大长方体，需要把长为、宽为的面拼在一起，此时的拼法有2种：可以拼成一个尺寸为的长方体或一个尺寸为的长方体； 故答案是：；． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：设长方体一个上表面的面积为，一个右表面的面积为，一个前表面的面积为， 因为图1的表面积为，即， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得，，． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在课题学习中，老师要求用长为24厘米，宽为16厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．          甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，，折成纸盒的容积为； 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体的展开图，掌握长方体的展开图，根据题意列方程是解题的关键． 根据长方体的展开图的特点可直接求出甲，乙的长，宽，高，进而求出容积，设丙长方体的高，根据及长方体的展开图的特点可列出方程，即可求出丙的长，宽，高，进而求出丙的容积，再根据大小排序即可． 【详解】解：由题意知：甲长方体的宽为，高为，长为， 折成纸盒的容积为， 乙长方体的宽为，高为，长为， 折成纸盒的容积为， 设丙长方体的高， ， 宽， 由题意得， 解得：， 丙长方体的高为，宽为，长为， 折成纸盒的容积为， ， 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；1 (2)， 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的侧面积为：； 该几何体的体积． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图． (1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体； (2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． （1）根据正方体的展开与折叠解答即可； （2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定相对面，再根据相反数的定义求出x、y的值． 【详解】（1）解：如图所示．（答案不唯一，任选两种即可） （2）解：根据题意，得，即， 因为， 所以． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积和表面积； (2)如果，分别求包装盒的体积和表面积． 【答案】(1)； (2)体积为720，表面积为516 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方体的体积与表面积公式是解题的关键． （1）利用长方体的体积公式和面积公式解答即可； （2）将的值代入（1）的代数式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：饮料包装盒的长，宽，高分别为：，6，15， 包装盒的体积为：； 包装盒的表面积为． （2）解：当时， 包装盒的体积为； 包装盒的表面积为． 14．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示． (1)求长方体的体积． (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积． 【答案】(1)该长方体的体积为 (2)将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，一元一次方程的应用； （1）设该长方体的高为，则根据题意得，，再解方程进一步求解即可； （2）分三种情况求解表面积：方案一：的面重叠在一起：方案二：的面重叠在一起：方案三：的面重叠在一起：再比较即可． 【详解】（1）解：设该长方体的高为， 则根据题意得，， 解得：， 宽为：， ∴该长方体的体积为：， 答：该长方体的体积为． （2）解：方案一：的面重叠在一起： 表面积为：， 方案二：的面重叠在一起： 表面积为：， 方案三：的面重叠在一起： 表面积为：； ∵， ∴方案一所用材料最少，此时纸箱的表面积为． 答：将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为． 15．（2024·广东·模拟预测）综合实践 【材料阅读】汕头澄海被誉为“中国玩具礼品之都”，每年各个玩具生产厂家需要大量各式各类的包装盒．澄海某中学七年级学生到纸盒包装工厂开展“制作正方体纸盒”的实践活动，他们利用长为a，宽为b的长方形纸板设计并制作出正方体纸盒(纸板厚度及接缝处忽略不计)，有以下两种设计方案： 方案一：(设计无盖正方体纸盒)如图1，当时，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形纸板，再沿虚线折起来就可以做成一个棱长为m的无盖的正方体纸盒； 方案二：(设计有盖正方体纸盒)如图2，当时，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形纸板和两个同样大小的正方形纸板，剩余部分折起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体纸盒的棱长大小一样． 【问题解决】（1）根据方案一的操作，当时，无盖的正方体纸盒的体积为 ； （2）根据方案二的操作，请你在图2中画出一种符合要求的设计图； 【实际应用】（3）如图3，将一张长为，宽为的长方形纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折起来可以得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值． 【答案】（1）64；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了正方体的展开图等知识，熟练掌握正方体展开图的特点，是解题的关键． （1）根据图形可以直观得出； （2）将左侧两个角减去两个长方形，右侧两个角减去两个正方形； （3）根据正方体的11种展开图中分为3类，横排至少4个面，得出正方体的棱长最大是，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴无盖的正方体纸盒的体积为； （2）如图2， （3）如图3， 因为正方体的11种展开图中分为3类，横排至少4个面， ∴正方体的棱长最大是， ∴表面积最大为：． 16．（24-25七年级上·福建三明·期末）【情境】数学活动课上，王老师开展了“制作长方体纸盒”的实践活动，王老师给每个小组分别发了一张边长为的正方形纸板． 【操作】如图1，小明所在小组很快就利用老师发的纸板制作出了一个无盖的长方体纸盒；如图2，小琪所在小组利用老师发的纸板制作了一个有盖的长方体纸盒． （1）当，时，根据图1方式制作的无盖长方体纸盒的底面积为_______；根据图2方式制作的有盖长方体纸盒的体积为_______． （2）当，时，制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的多少倍？ 【探究】课后，小琪想将所在小组的有盖长方体纸盒的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形． （3）若，，求该有盖长方体纸盒展开所得的平面图形的所有边长之和的最大值． 【答案】（1）9，；（2）2倍；（3）． 【分析】本题主要考查了列代数式求值、立方体的展开图等知识点，正确画出展开图最大的图形是解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式求值即可； （2）分别列出代数式求得无盖长方体纸盒、有盖长方体纸盒的体积，然后求商即可解答； （3）先求出该长方体的长、宽、高，要使有盖长方体纸盒展开所得的平面图形的所有边长之和的最大，则尽量剪开较长的边，据此画出图形，然后再求周长即可． 【详解】解：（1）当，时，按图1方式制作的无盖长方体纸盒的底面边长为，则该长方体的底面积为：； 按图2方式制作的有盖长方体纸盒的长为，宽为，高为b，则该长方体的体积为：． （2）当，时，按图1方式制作的无盖长方体纸盒的底面边长为，则该长方体的体积为：； 由（1）可得，按图2方式制作的有盖长方体纸盒的体积为：； 所以制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的倍数为． 答：制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的2倍． （3）当，时，按图2方式制作的有盖长方体纸盒的长为，宽为，高为， 要使展开图的周长最长，则尽量以较长的棱剪开，则周长最大的展开图如下： 则最大周长为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10立体图形的表面展开图的四类综合题型 月录 典例详解 类型一、补一个面使图形围成正方体 类型二、含图案的正方体的展开图 类型三、由展开图计算几何体的面积或体积 类型四、长方体无盖展开图的有关问题 压轴专练 物 典例详解 类型一、补一个面使图形围成正方体 1.确定”邻居”：先在脑海里固定一个面作为底面。然后观察它周围的面，想象把它们向上翻折，看它们 分别会成为”前、后、左、右”哪个面。 2.找到”空位”：折叠后，剩下没有被覆盖的那个位置，就是需要补上的”盖子”。 3.快速排除：记住一个快速排除法一一正方体展开图里绝对不会出现”凹”字形或”田”字形。如果补上某 个面后形成了这种结构，那它肯定是错的： 例1.如图，在4×3的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是() ② ③ ④ A. ① B.② C.③ D.④ 【变式1-1】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组 成的图形能围成正方体的位置有() ② ③ ① ④ ⑤ 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-2】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个 正方体，共有()种添法 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1-3】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小 正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有() A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 类型二、含图案的正方体的展开图 1.找“邻居”：在展开图中，同一行或同一列且中间只隔一个面的两个面，在正方体中是相对的。相对的 面在任何视图中都不会同时出现。这是最快的排除法。 2.动手"折一折”：找一个确定的面作为”前面”，然后在脑海中把它周围的面折起来。想象一下，”上面”、 “右面”等位置的图案应该是什么样的。这个方法虽然花点时间，但最稳妥。 例2.小明用如图中的纸片折叠成了一个正方体的盒子，下列四个选项中正确的是() 【变式2-1】下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是() 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是() 米 △ 米 【变式2-3】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只 凭观察，选出墨水在哪个盒子中() 类型三、由展开图计算几何体的面积或体积 1.还原几何体：根据展开图的形状，判断它能围成哪种立体图形。比如，由6个长方形组成的展开图对 应长方体；由1个扇形和1个圆形组成的对应圆锥。 2.确定尺寸：在展开图上找到计算所需的关键尺寸。例如，计算圆柱时，长方形的一边是高，另一边是 底面圆的周长；计算圆锥时，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长。 3.套用公式：确定几何体和尺寸后，直接套用对应的表面积或体积公式进行计算。 例3.如图所示是一个几何体的表面展开图. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)该几何体的名称是_一，其底面半径为一： (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）. 【变式3-1】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图， 3cm 5cm 6cm 2cm 10cm 7cm (1)这个食品包装盒的几何体名称是 (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积. 【变式3-2】如图，是一个食品包装盒的表面展开图 5 6 (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：一 (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积. 【变式3-3】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍. 高下 ② 57cm 宽 ③ ⑤ ⑥ ① ④ 长 (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面_相 对，面②与面_相对；（填序号） 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若该长方体包装盒的宽为20cm,求这个长方体包装盒的体积， 【变式3-4】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了 字母，据你所学的知识，回答下列问题： A B C b E a (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知a=20cm,b=40cm,所有棱长的和是300cm,求这个长方体收纳盒的容积. 类型四、长方体无盖展开图的有关问题 1.确定底面：无盖长方体展开图有多种形式，但通常有一个“盖子”是缺失的。你需要先找到那个单独的、 或位于中间的长方形作为底面。 2.匹配长宽高：底面确定后，剩下的四个长方形就是侧面。其中，两个长方形的一边长度应等于底面的 长，另外两个应等于底面的宽。剩下的那条边就是长方体的高。 3.计算面积：表面积是底面面积加上四个侧面面积之和。如果题目给了总面积和其中两个边长，也可以 用这个关系来反求第三个边长。 例4.综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作"实践活动，他们利用边长为24m的正方 形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动 手操作验证并完成任务.（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子. 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为acm的小正方形，再沿虚线折合起来. 问题解决： (1)若a=6c,则该长方体纸盒的底面边长为 cm;该长方体纸盒的体积为 cm3: 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合 起来 拓展延伸： (2)若b=3cm,该长方体纸盒的表面积为多少cm2? 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24cm 24cm 图1 图2 【变式】【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方 体纸盒的制作”实践活动， 【问题解决】 (1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是·（填序号） ① ③ ④ (2)综合实践小组利用边长为30cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方 体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒).回答下列问题： 图1 图2 ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为5cm的小正方形， 再沿虚线折合起来.则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为5cm的小正方形和 两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来.则该长方体纸盒的体积为多少cm3? 【问题进阶】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表 面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长， 6/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上·安徽宿州阶段练习)下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的 是() 2.(25-26七年级上山东济南阶段练习)下列展开图，能折叠成正方体的有()个 ① 5) ⑧ A.6 B.5 C.4 D.7 3.(25-26七年级上.甘肃酒泉·阶段练习)一个正方体的平面展开图如图所示，折叠后可折成的图形是() B D 4.(24-25七年级上·辽宁锦州·期末)在数学活动课上，老师要求用长为16cm,宽为12cm的长方形硬纸片 制作一个无盖的长方体纸盒.小亮同学在长方形硬纸片上截去两角（图中阴影部分），使纸盒底面的四边形 ABCD是长方形，且AB=3AD.那么他沿虚线所折成的无盖的长方体纸盒的体积是() 7/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16cm= 12cm D A.160cm3 B.140cm3 C.120cm3 D.100cm3 5.(24-25七年级上湖南常德·期末)某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去 一个棱长为b(b<a)的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙 这三种配件的表面积分别记为S、S2、S丙，则下列大小关系正确的是() 甲 丙 A.S甲>Sz>S丙 B.S甲>S雨>Sz C.S丙>Sz>S甲 D.S丙>S甲>Sz 二、填空题 6.(25-26七年级上陕西西安·开学考试)下图是多个几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名 称是： 7.(25-26七年级上重庆·开学考试)用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的 长，宽，高分别是6,4,2.那么这个大长方体的表面积最小为，此时的拼法有种。 8.(2025七年级上·全国.专题练习)将图甲围成图乙的正方体，则在面 ①CDHE;②BCEF;③ABFG;④ADHG中，图1中的标志○所在的正方形是正方体中的面一，（填序 号) 8/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B 图甲 图乙 9.(2024七年级上江苏·专题练习)小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为 22dm',如图2三个盒子叠一起的表面积为42dm2,，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 b a 图1 图2 图3 10.（24-25七年级上·福建厦门期末)在课题学习中，老师要求用长为24厘米，宽为16厘米的长方形纸片 制作一个无盖的长方体纸盒，三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿 虚线折成一个无盖的长方体纸盒 24 24 24 0 16 16. 16 B B D C D 图1 图2 图3 甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形，折成纸盒的容积为： 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形，折成纸盒的容积为吃； 丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB=3AD,折成纸盒的容积为V丙； 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、吃、'两按从大到小的顺序排列为一· 三、解答题 11.(24-25七年级上·山东济南阶段练习)如图所示是一个几何体的表面展开图. 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)该几何体的名称是，其底面半径为 (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积.（结果保留π） 12.(2024七年级上·全国专题练习)如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图. x+13 2 图① 图② 图③ (1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体： (2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值 13.(24-25七年级上·湖北武汉阶段练习)将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的 长为x 15 (1)用x表示包装盒的体积和表面积； (2)如果x=8,分别求包装盒的体积和表面积. 14.(24-25七年级上江苏无锡阶段练习)某种产品形状是长方体，长为8cm,它的表面展开图如图所示. 10/12