第一章 3 正方形的性质与判定 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 ①有一组邻边 ,并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形. ②正方形既是 对称图形又是 对称图形. 3正方形的四个角都是 ,四条边 ④正方形的对角线 且互相垂直平分. 当堂练习 1.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长 为 A.14 B.15 C.16 D.17 F D D 60>B B E (第1题图) (第3题图) 2.已知正方形ABCD中，对角线AC=4,则这个正方形的面积是 A.8 B.16 C.8√2 D.16√2 3.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是 4.如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE LBG于点E,DF⊥ CE于点F.求证：DF=BE十EF. ·7· 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①有一组邻边相等的 是正方形 ②对角线互相垂直的 是正方形 ③有一个角是 的菱形是正方形. ④对角线 的菱形是正方形. 当堂练习 1.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.如果添加一个条件，即可推出该四边形 是正方形，那么这个条件可以是 A.∠D=90 B.AB-CD C.AD=BC D.BC=CD 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若AO=CO=BO=DO,AC⊥ BD,则对四边形ABCD的形状描述最准确的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F且BF=CE 求证：四边形AEDF是正方形. ·8·专练（七）相似三角形的性质与判定 1.B2.D324号58或9 6.解：(1)如图： 点A的 坐标为(-3,0)：(2)4：17.解：(1)：AE=AB,∠ABE=∠AEB.BE平分 ∠CBD,..∠DBE=∠CBE.'∠ABD=∠ABE-∠DBE,∠C=∠AEB-∠CBE, .∠ABD=∠C.又：∠A=∠A,.△ABD∽△ACB;(2)△ABD△ACB,AB=6, AC=S股-铝-光=号=是AD=是AB=号，DB=是BCCD=AC AD=子.“∠CBD=90CD=VDB+BC=BC∴号BC=子BC-4 专练（八）投影与视图 1.A2.B3.B4.子（片0）5，解：根据三种视图可知该工件是由底面直径分 别是4cm和8cm,高分别是2cm和8cm的两个圆柱组成的，∴.该工件的体积为πX (号)×2+×（受）×8=136xam)。6,解：110如图：(2)这个儿何体的表面 有38个小正方形，去掉与地面接触的6个，则有32个小正方形需要喷上红色的漆， .共需要漆32×2X2=256(g):(3)4 主视图 左视图 俯视图 专练（九）反比例函数的性质与应用 1.D2.B3.A4.-185.解：(1)四边形AOEB是矩形，.BE=OA=0.6×10 =6(m.:AB=1m,∴B1,6.将B1,6)代入y=冬得6=冬，k=6,反比例函 数的表达式是y=兰.：点C的织坐标为06X2=1.2当y=1.2时1.2=号 x x=5..CF=5-1=4(m):(2)Q到水面的距离不高于3m,∴y≤3.当y=3时， =3,∴x=2.对于y=(x>0),由反比例函数的图象与性质可知，当≤3时，x之 x 2..Q到BE的距离至少为2-1=1(m). 期未复习综合测试 1.D2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.D9.210.∠A=∠ECD(答案不唯-) 1.6012.2或号 I3.解：(1)：∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+ ∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又，∠A=∠D,.△ABC∽△DEC;(2),△ABC∽ /CB、2 DEC,3三)=专，又BC=6CE=9.,14.解：D500-10x) 十x)(2)根据题意，得(10十x)(500-10x)=8000.整理，得x2一40x十300=0，解得 x1=10,x=30.·要“薄利多销”，.x=30不符合题意，舍去.x=10.此时500-10 ×10=400(kg),50十10=60（元/kg).答：销售价格应定为60元/kg,这时进货400kg 才能恰好卖完.15.解：(1)2(2)：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴.BC=AB =2,∠ACB=∠ACD.:∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠B=∠BAC =∠ACB=∠ACD=60°.：∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF,.∠BAE=∠CAF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF,.CE+CF=CE+BE=BC=2;(3)同(2)可得， △ABE≌△ACF,.AE=AF.∠EAF=60°，△AEF是等边三角形，∴.AE=EF= AF,∠AEF=60°.：EF⊥BC,∴.∠CEF=90°，∴.∠AEB=90°-∠AEF=30°.又∠B =60°，∴.∠BAE=90°，BE=2AB=4,∴AE=√BE-AB=42-22=2√3. .△AEF的周长为23X3=63. 第46页（共54页） 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等②23相等。④互相垂直 当堂练习 1.C2.C3.35°4.①②③④5.证明：：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB,∠D =∠B,DC=BC.·CE=CF,.DC-CF=BC一CE,即DF=BE,,.△ABE≌ △ADF(SAS),.AE=AF. 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①菱形②互相垂直3相等 当堂练习 1.A2.C3.菱形4.菱形5.证明：(1)：△ABC≌△ABD,.∠CBE=∠DBE. :CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,.∠CEB=∠CBE:(2)△ABC≌△ABD,∴.BC= BD.由(I),得∠CEB=∠CBE,∴.CE=CB,∴.CE=BD.又：CE∥BD,∴.四边形 BCED是平行四边形.又，BC=BD,∴.四边形BCED是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 知识梳理 一半 当堂练习 1452903智 4.解：(I):AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,AB=AD.同理，得AB=BC,AD=BC. 又AE∥BF,.四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,.四边形ABCD是菱 形；(2)：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,∠AOD=90°.：∠ADB=30°， .∠DAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-90°-30°=60°.又：AD=CD,∴.△ADC 为等边三角形，∴AC=AD=6. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角②直角3相等④一半 当堂练习 1.A2.D3.A4.85.解：.四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD,AC=2AO,BD= 2BO,.AO=OB.'AB=AO,.AB=AO=BO,.△ABO是等边三角形，∴.∠ABD=60° 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①直角②相等3直角 当堂练习 1.C2.C3.矩形4.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD. AB=DC, ,BE=CF,BE十EF=CF十EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，BF=CE, AF=DE, .△ABF2△DCE(SSS),.∠B=∠C.又'AB∥CD,.∠B+∠C=180°，.∠B= ∠C=90°，又：四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 当堂练习 1.D2.C3.164.解：(1)PQ⊥CP,∴.∠CPQ=90°，∴∠APQ+∠BPC=180°- 第47页（共54页） ∠CPQ=180°-90°=90°.∠BPC=∠AQP,.∠APQ+∠AQP=90°.：∠APQ+ ∠AQP+∠A=180°，.∠A=90°.又四边形ABCD是平行四边形，∴.四边形ABCD 是矩形；(2)四边形ABCD是矩形，.∠D=∠CPQ=90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ ,CQ=CQ:R△CDQ≌R△CPQ(HL)DQ=PQ设AQ=,则DQ=AD 中，cD=CP, AQ=6-x,∴PQ=6-x.在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ十AP=PQ,即x2+2 =(6-,解得x=号AQ的长是号 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 ①相等直角②轴中心③直角相等④相等 当堂练习 1.C2.A3.22.5°4.证明：：四边形ABCD是正方形，∴BC=CD,∠BCD=90°. CE⊥BG,DF⊥CE,∴.∠BEC=∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+ ∠CBE=∠DCF, ∠DCF,.∠CBE=∠DCF.在△CBE和△DCF中，∠BEC=∠CFD,∴.△CBE≌ BC=CD. ADCF(AAS),.'.CF=BE,CE=DF..'CE=CF+EF,.'.DF=BE+EF. 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①矩形②矩形③直角④相等 当堂练习 1.D2.D3.证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,∴.∠AED=∠AFD=90°，又：∠A=90°， .四边形AEDF是矩形.D是BC的中点，.BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE 中， BD=CD·:R△BDF≌R△CDE(HDDE=DF,四边形AEDF是正方形. BF=CE. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一整式②一般a.x2 bx c a b 当堂练习 1.A2.C3.B4.2x2+3x-5=05.解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条 直角边的长为(14-x)cm,根据题意，得2x(14一)=24，化为一般形式为2-14x十 48=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ②00 当堂练习 1.B2.B3.B4.-4,35.1.0<x<1.1 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①士√m②(a士b)2③配方 当堂练习 1.D2.D3.B4.D5.解：(1)两边同除以2，得(x-1)2=169.两边开平方，得x一 1=士13，即x-1=13,或x-1=-13.x1=14,x2=-12;(2)移项，得x2-6x=6.配 第48页（共54页）