第一章 1 菱形的性质与判定 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

第一章特殊乎行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①有一组邻边 的平行四边形叫做菱形. ②菱形是轴对称图形，它有 条对称轴. ③菱形的四条边 ④菱形的对角线 当堂练习 1.下列性质中，菱形不一定具有的是 ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，则对角线BD的长为 A.1 B.√3 C.2 D.2√3 60 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，AC,BD是菱形ABCD的对角线.若∠BAC=55°，则∠ADB= 4.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，下列结论：①菱形ABCD是轴对称图形； ②菱形ABCD是中心对称图形；③△ABC是等边三角形；④对角线AC=4.其中，正确 的有 .(填序号) 5.如图，在菱形ABCD中，CE=CF.求证：AE=AF. ·1· 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①有一组邻边相等的平行四边形是 ②对角线 的平行四边形是菱形. ③四边 的四边形是菱形. 当堂练习 1.如图，已知☐ABCD,添加下列一个条件：①AC⊥BD:②∠BAD=90°； ③AB=BC;④AC=BD.其中，能使□ABCD是菱形的为 A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③ 2.依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是 5 1109 270 110 A B D 3.在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD,AC⊥BD,则四边形ABCD的形状一定是 4.用两个全等的等边三角形拼成一个四边形，这个四边形的形状一定是 5.如图，△ABC≌△ABD,点E在边AB上，CE∥BD,连接DE. 求证：(1)∠CEB=∠CBE; (2)四边形BCED是菱形 ·2· 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 知识梳理 菱形的面积=底X高=两条对角线乘积的 当堂练习 1.已知一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2√5，则它的面积为 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且 AD交EF于点O,则∠AOF= B D (第2题图) (第3题图) 3.如图，在菱形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，且AB=13,OA=5,则菱形 ABCD两对边的距离h为 4.如图，AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,交 AC于点O,连接CD (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠ADB=30°，AD=6,求AC的长. ·3·专练（七）相似三角形的性质与判定 1.B2.D324号58或9 6.解：(1)如图： 点A的 坐标为(-3,0)：(2)4：17.解：(1)：AE=AB,∠ABE=∠AEB.BE平分 ∠CBD,..∠DBE=∠CBE.'∠ABD=∠ABE-∠DBE,∠C=∠AEB-∠CBE, .∠ABD=∠C.又：∠A=∠A,.△ABD∽△ACB;(2)△ABD△ACB,AB=6, AC=S股-铝-光=号=是AD=是AB=号，DB=是BCCD=AC AD=子.“∠CBD=90CD=VDB+BC=BC∴号BC=子BC-4 专练（八）投影与视图 1.A2.B3.B4.子（片0）5，解：根据三种视图可知该工件是由底面直径分 别是4cm和8cm,高分别是2cm和8cm的两个圆柱组成的，∴.该工件的体积为πX (号)×2+×（受）×8=136xam)。6,解：110如图：(2)这个儿何体的表面 有38个小正方形，去掉与地面接触的6个，则有32个小正方形需要喷上红色的漆， .共需要漆32×2X2=256(g):(3)4 主视图 左视图 俯视图 专练（九）反比例函数的性质与应用 1.D2.B3.A4.-185.解：(1)四边形AOEB是矩形，.BE=OA=0.6×10 =6(m.:AB=1m,∴B1,6.将B1,6)代入y=冬得6=冬，k=6,反比例函 数的表达式是y=兰.：点C的织坐标为06X2=1.2当y=1.2时1.2=号 x x=5..CF=5-1=4(m):(2)Q到水面的距离不高于3m,∴y≤3.当y=3时， =3,∴x=2.对于y=(x>0),由反比例函数的图象与性质可知，当≤3时，x之 x 2..Q到BE的距离至少为2-1=1(m). 期未复习综合测试 1.D2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.D9.210.∠A=∠ECD(答案不唯-) 1.6012.2或号 I3.解：(1)：∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+ ∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又，∠A=∠D,.△ABC∽△DEC;(2),△ABC∽ /CB、2 DEC,3三)=专，又BC=6CE=9.,14.解：D500-10x) 十x)(2)根据题意，得(10十x)(500-10x)=8000.整理，得x2一40x十300=0，解得 x1=10,x=30.·要“薄利多销”，.x=30不符合题意，舍去.x=10.此时500-10 ×10=400(kg),50十10=60（元/kg).答：销售价格应定为60元/kg,这时进货400kg 才能恰好卖完.15.解：(1)2(2)：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴.BC=AB =2,∠ACB=∠ACD.:∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠B=∠BAC =∠ACB=∠ACD=60°.：∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF,.∠BAE=∠CAF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF,.CE+CF=CE+BE=BC=2;(3)同(2)可得， △ABE≌△ACF,.AE=AF.∠EAF=60°，△AEF是等边三角形，∴.AE=EF= AF,∠AEF=60°.：EF⊥BC,∴.∠CEF=90°，∴.∠AEB=90°-∠AEF=30°.又∠B =60°，∴.∠BAE=90°，BE=2AB=4,∴AE=√BE-AB=42-22=2√3. .△AEF的周长为23X3=63. 第46页（共54页） 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等②23相等。④互相垂直 当堂练习 1.C2.C3.35°4.①②③④5.证明：：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB,∠D =∠B,DC=BC.·CE=CF,.DC-CF=BC一CE,即DF=BE,,.△ABE≌ △ADF(SAS),.AE=AF. 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①菱形②互相垂直3相等 当堂练习 1.A2.C3.菱形4.菱形5.证明：(1)：△ABC≌△ABD,.∠CBE=∠DBE. :CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,.∠CEB=∠CBE:(2)△ABC≌△ABD,∴.BC= BD.由(I),得∠CEB=∠CBE,∴.CE=CB,∴.CE=BD.又：CE∥BD,∴.四边形 BCED是平行四边形.又，BC=BD,∴.四边形BCED是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 知识梳理 一半 当堂练习 1452903智 4.解：(I):AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,AB=AD.同理，得AB=BC,AD=BC. 又AE∥BF,.四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,.四边形ABCD是菱 形；(2)：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,∠AOD=90°.：∠ADB=30°， .∠DAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-90°-30°=60°.又：AD=CD,∴.△ADC 为等边三角形，∴AC=AD=6. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角②直角3相等④一半 当堂练习 1.A2.D3.A4.85.解：.四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD,AC=2AO,BD= 2BO,.AO=OB.'AB=AO,.AB=AO=BO,.△ABO是等边三角形，∴.∠ABD=60° 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①直角②相等3直角 当堂练习 1.C2.C3.矩形4.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD. AB=DC, ,BE=CF,BE十EF=CF十EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，BF=CE, AF=DE, .△ABF2△DCE(SSS),.∠B=∠C.又'AB∥CD,.∠B+∠C=180°，.∠B= ∠C=90°，又：四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 当堂练习 1.D2.C3.164.解：(1)PQ⊥CP,∴.∠CPQ=90°，∴∠APQ+∠BPC=180°- 第47页（共54页） ∠CPQ=180°-90°=90°.∠BPC=∠AQP,.∠APQ+∠AQP=90°.：∠APQ+ ∠AQP+∠A=180°，.∠A=90°.又四边形ABCD是平行四边形，∴.四边形ABCD 是矩形；(2)四边形ABCD是矩形，.∠D=∠CPQ=90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ ,CQ=CQ:R△CDQ≌R△CPQ(HL)DQ=PQ设AQ=,则DQ=AD 中，cD=CP, AQ=6-x,∴PQ=6-x.在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ十AP=PQ,即x2+2 =(6-,解得x=号AQ的长是号 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 ①相等直角②轴中心③直角相等④相等 当堂练习 1.C2.A3.22.5°4.证明：：四边形ABCD是正方形，∴BC=CD,∠BCD=90°. CE⊥BG,DF⊥CE,∴.∠BEC=∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+ ∠CBE=∠DCF, ∠DCF,.∠CBE=∠DCF.在△CBE和△DCF中，∠BEC=∠CFD,∴.△CBE≌ BC=CD. ADCF(AAS),.'.CF=BE,CE=DF..'CE=CF+EF,.'.DF=BE+EF. 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①矩形②矩形③直角④相等 当堂练习 1.D2.D3.证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,∴.∠AED=∠AFD=90°，又：∠A=90°， .四边形AEDF是矩形.D是BC的中点，.BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE 中， BD=CD·:R△BDF≌R△CDE(HDDE=DF,四边形AEDF是正方形. BF=CE. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一整式②一般a.x2 bx c a b 当堂练习 1.A2.C3.B4.2x2+3x-5=05.解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条 直角边的长为(14-x)cm,根据题意，得2x(14一)=24，化为一般形式为2-14x十 48=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ②00 当堂练习 1.B2.B3.B4.-4,35.1.0<x<1.1 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①士√m②(a士b)2③配方 当堂练习 1.D2.D3.B4.D5.解：(1)两边同除以2，得(x-1)2=169.两边开平方，得x一 1=士13，即x-1=13,或x-1=-13.x1=14,x2=-12;(2)移项，得x2-6x=6.配 第48页（共54页）