第三章 1 用树状图或表格求概率&2 用频率估计概率 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求随机事件的概率 知识梳理 ①用列表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫列表法. ②用画树状图的方法列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫树状图法. 当堂练习 1.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的概率都相同，小红希望上学时经 过每个路口都是绿灯，但实际上这样的概率是 ( ) A. B吉 c D 2.从甲、乙两名男生和A,B两名女生中随机选出一名男生和一名女生，则女生B被选中的 概率是 c 3.有两辆车按1,2编号，小明与小惠两人可任意选坐一辆车，则两个人同坐一辆车的概率 为 4.经过某丁字路口的汽车，可能左转，也可能右转.如果这两种可能性大小相同，现有两辆 汽车经过这个丁字路口，求下列事件的概率： (1)一辆左转，一辆右转； (2)至少一辆右转. ·19· 第2课时利用概率判断游戏的公平性 知识梳理 判断一个游戏规则是否公平，就是看双方获胜的 是否相等.若相等，则游戏规 则是公平的；若不相等，则游戏规则是不公平的。 当堂练习 1.小明、小颖和小凡都想去看山西第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做 游戏，准获胜谁就去.游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小 明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜.关 于这个游戏，下列判断正确的是 A.三人获胜的概率相同 B.小明获胜的概率大 C.小颖获胜的概率大 D.小凡获胜的概率大 2.小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，若可拼成带有三角形屋顶的房 子，则小李赢；否则，小王赢.你认为这个游戏公平吗？ (选填“公平”或“不公平”) △回 3.一个不透明口袋装有3个形状、大小一样的球，其中2个球是红色，1个球是白色.规定 游戏者一次从口袋中摸出一个球，然后放回，第二次再摸一个球，然后再放回.甲两次摸 到红球获胜，乙摸到一红一白或二白获胜，你认为游戏对双方公平吗？请说明理由， ·20· 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 知识梳理 在“配紫色”游戏中， 和 在一起就配成了紫色.借助列表或画树状图的 方法是解决“配紫色”问题常用的方法. 当堂练习 1.如图，小明和小刚分别设计了两个可以自由转动的转盘（每一个转盘中扇形的面积均相 等)，两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各转动一次，如 果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色.那么小明配成紫色的概 率是 黄、 绿 白红 蓝 红 蓝 A号 c n号 2.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个 “配紫色”游戏：A,B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇 形.同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可 以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.这个游戏对双方公平吗？请 说明理由. 蓝 蓝 人红 红 A盘 B盘 ·21· 2用频率估计概率 知识梳理 ①试验总次数与事件发生的频数、频率之间的关系为：频率= 频数 试验总次数· ②用频率估计概率时，应注意出现的频率总在哪一个数据上下波动. 当堂练习 1.一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有12个黄球.每次摸 球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球 试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%.那么估计盒子中小球的个数为 ( A.20 B.30 C.40 D.50 2.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.950 2 0.956 则绿豆发芽的概率估计值是 A.0.96 B.0.95 C.0.94 D.0.90 3.做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则由 此可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 ( A.0.50 B.0.21 C.0.42 D.0.58 4.为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后 把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼.通过多次试验后发现捕捞的鱼中有作记号的频 率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数约为 A.600条 B.1200条 C.2200条 D.3000条 5.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次 摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中的白球大约有 个 ·22·方，得x2-6x十32=6十32，(x-3)2=15.两边开平方，得x-3=士√/15，即x-3= √15，或x-3=-√15.x1=3+√15，x2=3-√15. 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 (1)二次项的系数(3)一次项系数一半的平方 当堂练习 1.C2.C3.1 3 4.-3.55.解：(1)③(2)x2-4x-2=0.x2-4x=2.x2-4x 十4=2十4，即(x-2)=6,x-2=士√6，即x1=√6+2，x2=一√6+2. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 知识梳理 06-4ac≥0二b±YB-4ac 2a ②两个不相等的两个相等的 当堂练习 1.D2.C3141x1=1x=75解：1)这里a=16=-1c=-1.- 4ac=(-1)-4X1X(-1D=5>0,“x=二()±5=1±5，即x1=1+5,,= 2×1 2 1一5，(2)将原方程化为一般形式，得2-x一6=0.这里a=1,b=-1,c=一6.： 2 4ac=（-1)-4×1X(-6)=25>0,.x=二（-)±压=1，即1=3,4=-2. 2×1 2 第2课时用一元二次方程解决面积问题 当堂练习 1.解：假设能，设AD=xm,则AB=(80一2x)m.根据题意，得x(80一2x)=810.整理， 得x2-40x十405=0.△=6-4ac=(-40)2-41×405=-20<0,∴.原方程无实 数根，.不能使所围矩形场地的面积为810m.2.解：设剪去的正方形的边长为 xdm,则底面的长为(5-2x)dm,宽为5,2=(3-x)dm.根据题意，得(5-2x)(3-x) 2 =6整理，得2x2-11x十9=0.解得=1，=号当x=1时，5-2x=3,3-x=2,符 合题意；当x=之时，5-2x=-4<0,不合题意，舍去.答：剪去的正方形的边长为1dm. 9 4用因式分解法求解一元二次方程 当堂练习 1.C2.C3.B4.1=5,=号5.解：1)原方程可变形为x(x十2)-3(x+2)= 3 0,(x十2)(x一3)=0.x十2=0，或x一3=0..x1=一2，x2=3:(2)将原方程化为一般 形式为x2-5x-6=0.这里a=1,b=-5,c=-6..b2-4ac=(-5)2-4×1×(-6) =49>0,x=二厘-，即=6=1. 2×1 *5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 当堂练习 1.D2.C3.C4.95.-36.解：根据题意，得△=(2k-1)-4(k2+1)≥0，解得 长-子.设方程的两根为，则五十x=一（2k-1)=1一2次，西=十1.：方程 的两根之和等于两根之积，1一2k=k十1，解得=0，=一2.：k<一是，k=一2. 第49页（共54页） 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 当堂练习 1.B2.D3.x(x十1)=34.125.解：设人行通道的宽度为xm,将两块矩形绿地 合在一起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m.根据题意，得(30-3x)(24一2x)=480.整 理，得x2一22x十40=0.解得x1=2,x2=20.当x=20时，30-3x=-30<0,24-2x= -16<0,不合题意，舍去.当x=2时，30-3x=24,24-2x=20,符合题意.答：人行通 道的宽度为2m 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ▣平均增长（降低）率增长降低)次数®售价进价一州润 当堂练习 1.B2.A3.10%4.65.解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x.根据 题意，得400X(1十10%)(1十x)=633.6.解得x=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意， 舍去).答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求随机事件的概率 当堂练习 1.A2.C3.号4.解：画树状图如图： 开始 总共有4种可能的 第一辆左转 右转 第二辆左转右转左转右转 结果，每种结果出现的可能性相同.(1)：一辆左转，一辆右转的结果有2种：（左转，右 转)，（右转，左转）P(一辆左转，一锈右转)=-子：(2)：至少一辆右转的结果有 3种：（左转，右转）.（右转，左转）.（右转，右转）心P(至少一辆右转)=子. 第2课时利用概率判断游戏的公平性 知识梳理 概率 当堂练习 1.D2.不公平3.解：画树状图如下： 开始 总共有9种可能的结果， 红 红 个个个 红红白红红白红红白 每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸到红球的结果有4种：（红，红），（红，红）， (红，红)，（红，红），摸到一红一白或二白的结果有5种：（红，白），（红，白），（白，红）， (伯，红).（白：白）P(甲获鞋)=号P(乙获胜)=号.：P(甲获胜)<P(乙获胜). .游戏对双方不公平 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 知识梳理 红色蓝色 当堂练习 1.C2,解：这个游戏对双方是公平的，理由如下：列表如下： B盘 流 蓝 红 A盘 蓝 (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，红) 红 (红，蓝) (红，蓝) (红，红) 第50页（共54页） 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能配成紫色的结果有3种： (黛，红).（红，），（红，）P(小碳去观看)-号-名P(小充去观看)-1-之 ,“P(小颖去观看)=P(小亮去观看)，∴这个游戏对双方公平. 1 2用频率估计概率 当堂练习 1.C2.B3.C4.B5.12 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与成比例线段 知识梳理 ①长度m：n 数⑧成比例线段gad=bc合=哥 当堂练习 1C223322相等4解：品能5AE=542 4.8 5.6(cm),.AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm). 第2课时等比的性质及其应用 知识梳理 0号 当堂练习 1.B2.33.84.2 5.解：由a:b:c=3:4:5,可设a=3k,b=4k,c=5k,(k≠0) :.2a-3b+c=6k-12k+5k_-k_ a+b 34k—7k三二乞· 6.解：由题意可知A'B′十B'C十A'C≠ 0根据等比性质，得中瓷元=台，即会瓷紫=号：△4C的 AB++BC+AC 周K为0cm△MC的图长-号△ABC的周长为四cm 80 2平行线分线段成比例 知识梳理 ①平行线②成比例 当堂练习 1B2.B344号5第：DE/BC,8能AE=1.6m,5C=12em, AC=AE+EC=1.6+1.2=2.8cm9-28AD-36-号(cm以 3相似多边形 知识梳理 ①成比例②相似比③对应角成比例 当堂练习 1.B2.C3.3 8 4.2√35.解：四边形ABCD∽四边形EFGH,.a=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.在四边形ABCD中，3=360°-83°-78°-118°=81°.：四边形ABCD 四边形EFGH,铝景，即型-是，解得=28，BH=28em 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 知识梳理 ①相等成比例②相等 当堂练习 1.B2.C3.104.55.证明：四边形ABCD是矩形，.∠D=90°，AB∥CD, 第51页（共54页）