第二章 5 一元二次方程的根与系数的关&6 应用一元二次方程 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

*5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 如果方程ax2十b.x+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1十x2= 1x2= 当堂练习 1.设a,3是一元二次方程x2+2x一1=0的两个根，则a3的值是 A.2 B.1 C.-2 D.-1 2.如果1，x2是一元二次方程x2一6.x一2=0的两个实数根，那么x1十x2的值是 ( A.-6 B.-2 C.6 D.2 3.已知关于x的一元二次方程x2十mx一8=0的一个实数根为2，则另一个根为 A.2 B.4 C.-4 D.6 4.已知关于x的一元二次方程x2一x一3=0的两个实数根分别为a,B,则（α十3）(3十3)= 5.已知x1,x2是一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根，则式子2+9的值为 6.已知关于x的一元二次方程x2十(2k一1)x十k2+1=0,如果方程的两根之和等于两根 之积，求k的值 ·16· 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 知识梳理 以几何图形为背景的应用题，通常利用图形的面积来建立等量关系列方程求解，同时 切记要检验解的合理性， 当堂练习 1.用10m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6m.若设它的一条边长为xm,则根据 题意，可列出关于x的方程为 ( ) A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6 2.如图，把小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形 场地的半径为 A.5m B.(5+√2)m C.(5+3√2)m D.(5+5√2)m x+1 +1 (第2题图) (第3题图) 3.如图是一个无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3,则根据图中的条件， 可列出方程为 4.已知梯形的面积为240cm,高比上底长4cm,而比下底短20cm,则这个梯形的高为 cm. 5.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和为4802，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行 通道的宽度为多少米？ .30m ·17· 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ①求平均增长（降低）率公式为b=a(1士x)”,其中a为起始量，b为终止量，x为 ,n为 ②商品利润= ;利润率= ×100%. 当堂练习 1.某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为 A.8 B.20 C.36 D.18 2.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，为占有更多市 场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元时，每星期可多卖出20件.现在要使 每星期的利润为6120元，每件商品应降价 ( ) A.3元 B.2.5元 C.2元 D.1.5元 3.原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元.若每次降低的百分率相同，则降低 的百分率为 4.小华在某平台上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20个，每个盈利40元.若每 个降价1元，则每天可多销售5个.如果每天要盈利1700元，那么每个应降价 元.（要求每个降价幅度不超过15元） 5.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的 营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率. ·18·方，得x2-6x十32=6十32，(x-3)2=15.两边开平方，得x-3=士√/15，即x-3= √15，或x-3=-√15.x1=3+√15，x2=3-√15. 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 (1)二次项的系数(3)一次项系数一半的平方 当堂练习 1.C2.C3.1 3 4.-3.55.解：(1)③(2)x2-4x-2=0.x2-4x=2.x2-4x 十4=2十4，即(x-2)=6,x-2=士√6，即x1=√6+2，x2=一√6+2. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 知识梳理 06-4ac≥0二b±YB-4ac 2a ②两个不相等的两个相等的 当堂练习 1.D2.C3141x1=1x=75解：1)这里a=16=-1c=-1.- 4ac=(-1)-4X1X(-1D=5>0,“x=二()±5=1±5，即x1=1+5,,= 2×1 2 1一5，(2)将原方程化为一般形式，得2-x一6=0.这里a=1,b=-1,c=一6.： 2 4ac=（-1)-4×1X(-6)=25>0,.x=二（-)±压=1，即1=3,4=-2. 2×1 2 第2课时用一元二次方程解决面积问题 当堂练习 1.解：假设能，设AD=xm,则AB=(80一2x)m.根据题意，得x(80一2x)=810.整理， 得x2-40x十405=0.△=6-4ac=(-40)2-41×405=-20<0,∴.原方程无实 数根，.不能使所围矩形场地的面积为810m.2.解：设剪去的正方形的边长为 xdm,则底面的长为(5-2x)dm,宽为5,2=(3-x)dm.根据题意，得(5-2x)(3-x) 2 =6整理，得2x2-11x十9=0.解得=1，=号当x=1时，5-2x=3,3-x=2,符 合题意；当x=之时，5-2x=-4<0,不合题意，舍去.答：剪去的正方形的边长为1dm. 9 4用因式分解法求解一元二次方程 当堂练习 1.C2.C3.B4.1=5,=号5.解：1)原方程可变形为x(x十2)-3(x+2)= 3 0,(x十2)(x一3)=0.x十2=0，或x一3=0..x1=一2，x2=3:(2)将原方程化为一般 形式为x2-5x-6=0.这里a=1,b=-5,c=-6..b2-4ac=(-5)2-4×1×(-6) =49>0,x=二厘-，即=6=1. 2×1 *5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 当堂练习 1.D2.C3.C4.95.-36.解：根据题意，得△=(2k-1)-4(k2+1)≥0，解得 长-子.设方程的两根为，则五十x=一（2k-1)=1一2次，西=十1.：方程 的两根之和等于两根之积，1一2k=k十1，解得=0，=一2.：k<一是，k=一2. 第49页（共54页） 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 当堂练习 1.B2.D3.x(x十1)=34.125.解：设人行通道的宽度为xm,将两块矩形绿地 合在一起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m.根据题意，得(30-3x)(24一2x)=480.整 理，得x2一22x十40=0.解得x1=2,x2=20.当x=20时，30-3x=-30<0,24-2x= -16<0,不合题意，舍去.当x=2时，30-3x=24,24-2x=20,符合题意.答：人行通 道的宽度为2m 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ▣平均增长（降低）率增长降低)次数®售价进价一州润 当堂练习 1.B2.A3.10%4.65.解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x.根据 题意，得400X(1十10%)(1十x)=633.6.解得x=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意， 舍去).答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求随机事件的概率 当堂练习 1.A2.C3.号4.解：画树状图如图： 开始 总共有4种可能的 第一辆左转 右转 第二辆左转右转左转右转 结果，每种结果出现的可能性相同.(1)：一辆左转，一辆右转的结果有2种：（左转，右 转)，（右转，左转）P(一辆左转，一锈右转)=-子：(2)：至少一辆右转的结果有 3种：（左转，右转）.（右转，左转）.（右转，右转）心P(至少一辆右转)=子. 第2课时利用概率判断游戏的公平性 知识梳理 概率 当堂练习 1.D2.不公平3.解：画树状图如下： 开始 总共有9种可能的结果， 红 红 个个个 红红白红红白红红白 每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸到红球的结果有4种：（红，红），（红，红）， (红，红)，（红，红），摸到一红一白或二白的结果有5种：（红，白），（红，白），（白，红）， (伯，红).（白：白）P(甲获鞋)=号P(乙获胜)=号.：P(甲获胜)<P(乙获胜). .游戏对双方不公平 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 知识梳理 红色蓝色 当堂练习 1.C2,解：这个游戏对双方是公平的，理由如下：列表如下： B盘 流 蓝 红 A盘 蓝 (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，红) 红 (红，蓝) (红，蓝) (红，红) 第50页（共54页） 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能配成紫色的结果有3种： (黛，红).（红，），（红，）P(小碳去观看)-号-名P(小充去观看)-1-之 ,“P(小颖去观看)=P(小亮去观看)，∴这个游戏对双方公平. 1 2用频率估计概率 当堂练习 1.C2.B3.C4.B5.12 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与成比例线段 知识梳理 ①长度m：n 数⑧成比例线段gad=bc合=哥 当堂练习 1C223322相等4解：品能5AE=542 4.8 5.6(cm),.AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm). 第2课时等比的性质及其应用 知识梳理 0号 当堂练习 1.B2.33.84.2 5.解：由a:b:c=3:4:5,可设a=3k,b=4k,c=5k,(k≠0) :.2a-3b+c=6k-12k+5k_-k_ a+b 34k—7k三二乞· 6.解：由题意可知A'B′十B'C十A'C≠ 0根据等比性质，得中瓷元=台，即会瓷紫=号：△4C的 AB++BC+AC 周K为0cm△MC的图长-号△ABC的周长为四cm 80 2平行线分线段成比例 知识梳理 ①平行线②成比例 当堂练习 1B2.B344号5第：DE/BC,8能AE=1.6m,5C=12em, AC=AE+EC=1.6+1.2=2.8cm9-28AD-36-号(cm以 3相似多边形 知识梳理 ①成比例②相似比③对应角成比例 当堂练习 1.B2.C3.3 8 4.2√35.解：四边形ABCD∽四边形EFGH,.a=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.在四边形ABCD中，3=360°-83°-78°-118°=81°.：四边形ABCD 四边形EFGH,铝景，即型-是，解得=28，BH=28em 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 知识梳理 ①相等成比例②相等 当堂练习 1.B2.C3.104.55.证明：四边形ABCD是矩形，.∠D=90°，AB∥CD, 第51页（共54页）