第二章 2 用配方法求解一元二次方程 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

专练（七）相似三角形的性质与判定 1.B2.D324号58或9 6.解：(1)如图： 点A的 坐标为(-3,0)：(2)4：17.解：(1)：AE=AB,∠ABE=∠AEB.BE平分 ∠CBD,..∠DBE=∠CBE.'∠ABD=∠ABE-∠DBE,∠C=∠AEB-∠CBE, .∠ABD=∠C.又：∠A=∠A,.△ABD∽△ACB;(2)△ABD△ACB,AB=6, AC=S股-铝-光=号=是AD=是AB=号，DB=是BCCD=AC AD=子.“∠CBD=90CD=VDB+BC=BC∴号BC=子BC-4 专练（八）投影与视图 1.A2.B3.B4.子（片0）5，解：根据三种视图可知该工件是由底面直径分 别是4cm和8cm,高分别是2cm和8cm的两个圆柱组成的，∴.该工件的体积为πX (号)×2+×（受）×8=136xam)。6,解：110如图：(2)这个儿何体的表面 有38个小正方形，去掉与地面接触的6个，则有32个小正方形需要喷上红色的漆， .共需要漆32×2X2=256(g):(3)4 主视图 左视图 俯视图 专练（九）反比例函数的性质与应用 1.D2.B3.A4.-185.解：(1)四边形AOEB是矩形，.BE=OA=0.6×10 =6(m.:AB=1m,∴B1,6.将B1,6)代入y=冬得6=冬，k=6,反比例函 数的表达式是y=兰.：点C的织坐标为06X2=1.2当y=1.2时1.2=号 x x=5..CF=5-1=4(m):(2)Q到水面的距离不高于3m,∴y≤3.当y=3时， =3,∴x=2.对于y=(x>0),由反比例函数的图象与性质可知，当≤3时，x之 x 2..Q到BE的距离至少为2-1=1(m). 期未复习综合测试 1.D2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.D9.210.∠A=∠ECD(答案不唯-) 1.6012.2或号 I3.解：(1)：∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+ ∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又，∠A=∠D,.△ABC∽△DEC;(2),△ABC∽ /CB、2 DEC,3三)=专，又BC=6CE=9.,14.解：D500-10x) 十x)(2)根据题意，得(10十x)(500-10x)=8000.整理，得x2一40x十300=0，解得 x1=10,x=30.·要“薄利多销”，.x=30不符合题意，舍去.x=10.此时500-10 ×10=400(kg),50十10=60（元/kg).答：销售价格应定为60元/kg,这时进货400kg 才能恰好卖完.15.解：(1)2(2)：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴.BC=AB =2,∠ACB=∠ACD.:∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠B=∠BAC =∠ACB=∠ACD=60°.：∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF,.∠BAE=∠CAF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF,.CE+CF=CE+BE=BC=2;(3)同(2)可得， △ABE≌△ACF,.AE=AF.∠EAF=60°，△AEF是等边三角形，∴.AE=EF= AF,∠AEF=60°.：EF⊥BC,∴.∠CEF=90°，∴.∠AEB=90°-∠AEF=30°.又∠B =60°，∴.∠BAE=90°，BE=2AB=4,∴AE=√BE-AB=42-22=2√3. .△AEF的周长为23X3=63. 第46页（共54页） 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等②23相等。④互相垂直 当堂练习 1.C2.C3.35°4.①②③④5.证明：：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB,∠D =∠B,DC=BC.·CE=CF,.DC-CF=BC一CE,即DF=BE,,.△ABE≌ △ADF(SAS),.AE=AF. 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①菱形②互相垂直3相等 当堂练习 1.A2.C3.菱形4.菱形5.证明：(1)：△ABC≌△ABD,.∠CBE=∠DBE. :CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,.∠CEB=∠CBE:(2)△ABC≌△ABD,∴.BC= BD.由(I),得∠CEB=∠CBE,∴.CE=CB,∴.CE=BD.又：CE∥BD,∴.四边形 BCED是平行四边形.又，BC=BD,∴.四边形BCED是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 知识梳理 一半 当堂练习 1452903智 4.解：(I):AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,AB=AD.同理，得AB=BC,AD=BC. 又AE∥BF,.四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,.四边形ABCD是菱 形；(2)：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,∠AOD=90°.：∠ADB=30°， .∠DAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-90°-30°=60°.又：AD=CD,∴.△ADC 为等边三角形，∴AC=AD=6. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角②直角3相等④一半 当堂练习 1.A2.D3.A4.85.解：.四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD,AC=2AO,BD= 2BO,.AO=OB.'AB=AO,.AB=AO=BO,.△ABO是等边三角形，∴.∠ABD=60° 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①直角②相等3直角 当堂练习 1.C2.C3.矩形4.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD. AB=DC, ,BE=CF,BE十EF=CF十EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，BF=CE, AF=DE, .△ABF2△DCE(SSS),.∠B=∠C.又'AB∥CD,.∠B+∠C=180°，.∠B= ∠C=90°，又：四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 当堂练习 1.D2.C3.164.解：(1)PQ⊥CP,∴.∠CPQ=90°，∴∠APQ+∠BPC=180°- 第47页（共54页） ∠CPQ=180°-90°=90°.∠BPC=∠AQP,.∠APQ+∠AQP=90°.：∠APQ+ ∠AQP+∠A=180°，.∠A=90°.又四边形ABCD是平行四边形，∴.四边形ABCD 是矩形；(2)四边形ABCD是矩形，.∠D=∠CPQ=90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ ,CQ=CQ:R△CDQ≌R△CPQ(HL)DQ=PQ设AQ=,则DQ=AD 中，cD=CP, AQ=6-x,∴PQ=6-x.在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ十AP=PQ,即x2+2 =(6-,解得x=号AQ的长是号 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 ①相等直角②轴中心③直角相等④相等 当堂练习 1.C2.A3.22.5°4.证明：：四边形ABCD是正方形，∴BC=CD,∠BCD=90°. CE⊥BG,DF⊥CE,∴.∠BEC=∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+ ∠CBE=∠DCF, ∠DCF,.∠CBE=∠DCF.在△CBE和△DCF中，∠BEC=∠CFD,∴.△CBE≌ BC=CD. ADCF(AAS),.'.CF=BE,CE=DF..'CE=CF+EF,.'.DF=BE+EF. 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①矩形②矩形③直角④相等 当堂练习 1.D2.D3.证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,∴.∠AED=∠AFD=90°，又：∠A=90°， .四边形AEDF是矩形.D是BC的中点，.BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE 中， BD=CD·:R△BDF≌R△CDE(HDDE=DF,四边形AEDF是正方形. BF=CE. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一整式②一般a.x2 bx c a b 当堂练习 1.A2.C3.B4.2x2+3x-5=05.解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条 直角边的长为(14-x)cm,根据题意，得2x(14一)=24，化为一般形式为2-14x十 48=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ②00 当堂练习 1.B2.B3.B4.-4,35.1.0<x<1.1 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①士√m②(a士b)2③配方 当堂练习 1.D2.D3.B4.D5.解：(1)两边同除以2，得(x-1)2=169.两边开平方，得x一 1=士13，即x-1=13,或x-1=-13.x1=14,x2=-12;(2)移项，得x2-6x=6.配 第48页（共54页） 方，得x2-6x十32=6十32，(x-3)2=15.两边开平方，得x-3=士√/15，即x-3= √15，或x-3=-√15.x1=3+√15，x2=3-√15. 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 (1)二次项的系数(3)一次项系数一半的平方 当堂练习 1.C2.C3.1 3 4.-3.55.解：(1)③(2)x2-4x-2=0.x2-4x=2.x2-4x 十4=2十4，即(x-2)=6,x-2=士√6，即x1=√6+2，x2=一√6+2. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 知识梳理 06-4ac≥0二b±YB-4ac 2a ②两个不相等的两个相等的 当堂练习 1.D2.C3141x1=1x=75解：1)这里a=16=-1c=-1.- 4ac=(-1)-4X1X(-1D=5>0,“x=二()±5=1±5，即x1=1+5,,= 2×1 2 1一5，(2)将原方程化为一般形式，得2-x一6=0.这里a=1,b=-1,c=一6.： 2 4ac=（-1)-4×1X(-6)=25>0,.x=二（-)±压=1，即1=3,4=-2. 2×1 2 第2课时用一元二次方程解决面积问题 当堂练习 1.解：假设能，设AD=xm,则AB=(80一2x)m.根据题意，得x(80一2x)=810.整理， 得x2-40x十405=0.△=6-4ac=(-40)2-41×405=-20<0,∴.原方程无实 数根，.不能使所围矩形场地的面积为810m.2.解：设剪去的正方形的边长为 xdm,则底面的长为(5-2x)dm,宽为5,2=(3-x)dm.根据题意，得(5-2x)(3-x) 2 =6整理，得2x2-11x十9=0.解得=1，=号当x=1时，5-2x=3,3-x=2,符 合题意；当x=之时，5-2x=-4<0,不合题意，舍去.答：剪去的正方形的边长为1dm. 9 4用因式分解法求解一元二次方程 当堂练习 1.C2.C3.B4.1=5,=号5.解：1)原方程可变形为x(x十2)-3(x+2)= 3 0,(x十2)(x一3)=0.x十2=0，或x一3=0..x1=一2，x2=3:(2)将原方程化为一般 形式为x2-5x-6=0.这里a=1,b=-5,c=-6..b2-4ac=(-5)2-4×1×(-6) =49>0,x=二厘-，即=6=1. 2×1 *5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 当堂练习 1.D2.C3.C4.95.-36.解：根据题意，得△=(2k-1)-4(k2+1)≥0，解得 长-子.设方程的两根为，则五十x=一（2k-1)=1一2次，西=十1.：方程 的两根之和等于两根之积，1一2k=k十1，解得=0，=一2.：k<一是，k=一2. 第49页（共54页） 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 当堂练习 1.B2.D3.x(x十1)=34.125.解：设人行通道的宽度为xm,将两块矩形绿地 合在一起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m.根据题意，得(30-3x)(24一2x)=480.整 理，得x2一22x十40=0.解得x1=2,x2=20.当x=20时，30-3x=-30<0,24-2x= -16<0,不合题意，舍去.当x=2时，30-3x=24,24-2x=20,符合题意.答：人行通 道的宽度为2m 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ▣平均增长（降低）率增长降低)次数®售价进价一州润 当堂练习 1.B2.A3.10%4.65.解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x.根据 题意，得400X(1十10%)(1十x)=633.6.解得x=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意， 舍去).答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求随机事件的概率 当堂练习 1.A2.C3.号4.解：画树状图如图： 开始 总共有4种可能的 第一辆左转 右转 第二辆左转右转左转右转 结果，每种结果出现的可能性相同.(1)：一辆左转，一辆右转的结果有2种：（左转，右 转)，（右转，左转）P(一辆左转，一锈右转)=-子：(2)：至少一辆右转的结果有 3种：（左转，右转）.（右转，左转）.（右转，右转）心P(至少一辆右转)=子. 第2课时利用概率判断游戏的公平性 知识梳理 概率 当堂练习 1.D2.不公平3.解：画树状图如下： 开始 总共有9种可能的结果， 红 红 个个个 红红白红红白红红白 每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸到红球的结果有4种：（红，红），（红，红）， (红，红)，（红，红），摸到一红一白或二白的结果有5种：（红，白），（红，白），（白，红）， (伯，红).（白：白）P(甲获鞋)=号P(乙获胜)=号.：P(甲获胜)<P(乙获胜). .游戏对双方不公平 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 知识梳理 红色蓝色 当堂练习 1.C2,解：这个游戏对双方是公平的，理由如下：列表如下： B盘 流 蓝 红 A盘 蓝 (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，红) 红 (红，蓝) (红，蓝) (红，红) 第50页（共54页） 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能配成紫色的结果有3种： (黛，红).（红，），（红，）P(小碳去观看)-号-名P(小充去观看)-1-之 ,“P(小颖去观看)=P(小亮去观看)，∴这个游戏对双方公平. 1 2用频率估计概率 当堂练习 1.C2.B3.C4.B5.12 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与成比例线段 知识梳理 ①长度m：n 数⑧成比例线段gad=bc合=哥 当堂练习 1C223322相等4解：品能5AE=542 4.8 5.6(cm),.AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm). 第2课时等比的性质及其应用 知识梳理 0号 当堂练习 1.B2.33.84.2 5.解：由a:b:c=3:4:5,可设a=3k,b=4k,c=5k,(k≠0) :.2a-3b+c=6k-12k+5k_-k_ a+b 34k—7k三二乞· 6.解：由题意可知A'B′十B'C十A'C≠ 0根据等比性质，得中瓷元=台，即会瓷紫=号：△4C的 AB++BC+AC 周K为0cm△MC的图长-号△ABC的周长为四cm 80 2平行线分线段成比例 知识梳理 ①平行线②成比例 当堂练习 1B2.B344号5第：DE/BC,8能AE=1.6m,5C=12em, AC=AE+EC=1.6+1.2=2.8cm9-28AD-36-号(cm以 3相似多边形 知识梳理 ①成比例②相似比③对应角成比例 当堂练习 1.B2.C3.3 8 4.2√35.解：四边形ABCD∽四边形EFGH,.a=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.在四边形ABCD中，3=360°-83°-78°-118°=81°.：四边形ABCD 四边形EFGH,铝景，即型-是，解得=28，BH=28em 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 知识梳理 ①相等成比例②相等 当堂练习 1.B2.C3.104.55.证明：四边形ABCD是矩形，.∠D=90°，AB∥CD, 第51页（共54页）2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.形如x =m(m≥0)的方程，其解为x= 2完全平方公式：a2士2ab十b2= ③通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称 为 法 当堂练习 1.方程4x2=16的解是 A.x1=4,x2=-4 B.x=4 C.x=-4 D.x1=2,x2=-2 2.方程(x-2)2=9的解是 A.x1=1,x2=一5 B.x1=-1,x2=-5 C.x1=1,x2=5 D.x1=-1,x2=5 3.用配方法解方程x2十2x一1=0时，配方结果正确的是 A.（x+2)2=2 B.(x+1)2=2 C.(x+2)2=3 D.(x十1)2=3 4.用配方法解方程x2十2x=8的解为 A.x1=4,x2=-2 B.x1=-10,x2=8 C.x1=10,x2=-8 D.x1=-4,x2=2 5.解下列一元二次方程： (1)2(x-1)2=338; (2)x2-6x-6=0. ·11 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的一般步骤： (1)化二次项系数为1—一两边同除以 (2)移项一将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； (3)方程两边都加上 (4)将原方程变成(x十m)2=n的形式； (5)判断右边代数式的符号，若n≥0，则可以直接开平方求解；若n<0,则原方程无解. 当堂练习 1.用配方法解一元二次方程2x2十8x一3=0，下列配方正确的是 ( A.(x+4)2=11 B.(x-4)2=11 C.2(x十2)2=11 D.2(x-2)2=11 2.用配方法解方程4x2十2x一8=0，开始出现错误的一步是 ①4x+2x=8:@r+2x=2:®r2+x+4=2+}:@+)=2是 A.① B.② C.③ D.④ 3.把方程2x2十4x一1=0配方后，得(x十m)2=k,则m=,k 4.代数式2x2-6x+1的最小值为 5.小明解方程2x-2x一1=0的过程如下： 解：x2-4x-2=0.① x2-4x=2.② (x-2)2=2.③ x1=2十√2，x2=2-√2.④ (1)他在解答过程中开始出错的步骤是 ;(填写序号) (2)请用正确的方法求解该方程. ·12·