第一章 3 正方形的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

3正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 ②基础过关○逐点击破 7.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上， 点F在BC的延长线上，且DE⊥DF 知识点1正方形的定义及对称性 求证：DE=DF 1.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( A.1条B.2条C.3条 D.4条 2.如图，正方形ABCD的中心为 A D O,将正方形ABCD绕点O按顺 时针方向旋转，至少旋转 能够与本身重合 知识点2正方形的性质 3.正方形具有而菱形不具有的性质是( A.四条边都相等 B.对角线互相垂直 C.四个角都相等 D.对角线互相平分 4.情境题方鼎如图①所示的杜岭二号方鼎是河 南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方 形（如图②），正方形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,则下列说法不正确的是( ?易错点没有图形的几何题，因考虑不 图① 图② A.AC⊥BD B.AD-AO 全面导致漏解 C.DO=CO D.∠DAO=∠BAC 8.以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角 5.情境题茶几(2024·中卫沙坡头区期末)如 形ADE,则∠AEB的度数为 图是一个现代简约茶几，其正方形台面的周长 利 能力提升。整合运用 为240cm,则它的对角线的长度为 cm, 9.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中 点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE 的长度为 (第5题图) (第6题图) 6.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E 在AD上，连接EB,EC,则图中阴影部分的 面积是 4.6 B.√6 C.2√2 D.2√3 第一章特殊平行四边形14 10.如图，正方形ABCD的边BC与正方形 ⑧ 思维拓展©学科素养 CEFG的边CE在同一条直线上，连接 12.已知正方形ABCD的边长为a,两条对角 AF,H是AF的中点，连接CH.若BC=1, 线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任 CE=2,则CH的长是 ·（提示：连 意一点，过点P分别作直线AC,BD的垂 AC,CF) 线PE,PF,垂足分别为E,F G (1)如图①，当点P在线段AB上时，PE十 PF的值是否为定值？如果是，请求出 它的值；如果不是，请说明理由； B (2)如图②，当点P在线段AB的延长线上 11.如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点 O为正方形ABCD的中心，点C,D分别在 时，求PE一PF的值. OE,OF上，再将△OEF绕点O逆时针旋 转a(0°<a<90),连接AF,DE(如图②). 图① 图② 图① 图② (1)在图②中，∠AOF的度数为 (用含a的式子表示) (2)在图②中，猜想AF与DE的数量关系， 并证明你的结论· 15名师测控·数学I九年级上册(BS) 第2课时 正方形的判定 ②基础过关。逐点击破 5.(教材P23“做一做”变式)如图，点A',B,C, D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且 知识点1正方形的判定定理1,2 AA'=BB'=CC'=DD' 1.如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上 求证：四边形ABC'D是正方形 的F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠 部分是一个正方形，其数学原理是( A.邻边相等的矩形是正方形 B.有一个角是直角的矩形是正 方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 2.(教材Ps习题T2变式)如图，在□ABCD 中，AB⊥BC,E,F是□ABCD对角线BD上 的两点，连接AE,CE,AF,CF,构成的四边 形AECF是一个菱形 求证：四边形ABCD是正方形， ?易错点忽视判定特殊平行四边形的前 提条件是什么而致错 6.(2024·银川一中期中)下列说法中，正确的 是 A.对角线互相平分的平行四边形是矩形 B.对角线垂直的四边形是菱形 C.有一个角是直角且对角线垂直的平行四 边形是正方形 D.对角线相等的四边形是正方形 可能力提升。整合运用 知识点2正方形的判定定理3,4 7.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三 3.满足下列条件的四边形一定是正方形的 个条件便得到正方形： 是 A.对角线互相平分的四边形 添加条件 B.有三个角是直角的四边形 四边形 正方形 C.有一组邻边相等的平行四边形 a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相 D.对角线相等的菱形 等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.顺次 4.新视角结论开放题)已知菱形ABCD中，对角线 添加的条件：①a→cd;②b→d→c;③a→ AC,BD相交于点O,添加条件 b→c.则正确的是 可使菱形ABCD成为正方形. A.仅① B.仅③C.①② D.②③ 第一章特殊平行四边形16 8.情境题千斤顶周末淘气一家开车外出旅游， ! 思维拓展。学科素养 车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及 10.如图，四边形ABCD为正方形，E为线段 时，车子才慢慢停了下来.淘气一家人赶紧 AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 下车查看，原来是前轮爆胎了.爸爸说，只要 交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩 把备胎换上就行了.于是爸爸从后备厢取出 形DEFG,连接CG. 备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了 (1)求证：矩形DEFG是正方形； 小淘气的注意.图①是一种利用了四边形不 (2)若AB=2,CE=√2，求CG的长度； 稳定性设计的千斤顶.如图②所示，该千斤 (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的 顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连 夹角是30时，直接写出∠EF℃的度数. 接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的 边长不变)，从而改变千斤顶的高度（即A,C 之间的距离).已知AB=40cm,∠ADC= 60°，当千斤顶升高 cm时，四 备用图 边形ABCD为正方形. D 手柄 图① 图② 9.(2024·吴忠三中期中)如图，在△ABC中， AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是 △ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂 足为点E (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)新视角条件开放题)当△ABC满足什么条 件时，四边形ADCE是一个正方形？请 给出证明. 17名师测控·数学I九年级上册(BS)能力提升 5.46.107.解：(1)△ABC是等边三角形，∠ABC=60°.：点D是AC的中点， AF是BC边的中线，∴.AF=BD,∠CBD=30°，AF⊥BC,∠AFB=∠AFC=90. :△BDE是等边三角形，.BE=BD,∠DBE=6O°，∴AF=BD=BE,∠EBF=∠EBD +∠CBD=60°+30°=90°，∴.∠EBF=∠AFC=90°，∴.AF∥BE,∴.四边形AEBF为平 行四边形，又，∠AFB=90°，.四边形AEBF为矩形；(2)，AC=4,△ABC是等边三 角形，：BC=AC=AB=4.:AF是BC边的中线，∠AFB=90°，BF=令BC=2.在 Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=√AB-BF产=√/4-2=2√3.又：四边形AEBF 是矩形，.SE形EBF=AF·BF=23X2=4V5,即四边形AEBF的面积为43. 思维拓展 8.解：(1)：|a-√131+√6-2+(c-3)2=0,且|a-√/13|≥0,6-2≥0，(c-3)≥ 0,.a-√13=0，b-2=0,c-3=0,a=√/13，b=2,c=3.6+c2=22+32=13= a2,∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.：PM⊥AB,PN⊥AC,∴.∠AMP= ∠ANP=90°，∴.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°，∴.四边形AMPN是矩形；(2)存在. 连接AP.四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最短.此时 Sa版=AB·AC=BC·AP2X3=VEAP,∴AP-6区即MN的长度最 13 小值为3 13 微专题1与60°角有关的矩形和菱形 1.242.C3.D4.C 教材母题变式专题矩形中的折叠问题 1.B2.5.13.解：(1)MN=CN.证明如下：，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线 折叠，使点D落在点D'处，∴∠CMD=∠CMD'.,四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC, ∴.∠CMD=∠MCN,∴∠CMD'=∠MCN,.MN=CN;(2)由折叠的性质可知∠D= ∠D'=90°，DC=D'C=4,MD=MD=8.设MN=NC=x,.ND'=MD'-MN=8 x.在Rt△ND'C中，由勾股定理，得ND2十DC2=NC,∴.(8-x)2十4=x2,解得x= 5,.MN=CN=5.同(1)可得EN=MN=5,.EC=EN+CN=10. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.D2.90°3.C4.B5.60E6.27.证明：四边形ABCD是正方形，.AD= CD,∠A=∠BCD=∠ADC=90°，∴.∠DCF=90°.：DE⊥DF,∴.∠EDF=90°， ∴·∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.在△ADE和△CDF中， ∠A=∠DCF, AD=CD, ,.△ADE≌△CDF(ASA),.DE=DF.8.15°或75 ∠ADE=∠CDF, 能力提升 9.B10. 1L.解：(1)90°-a(2)AF=DE.证明如下：：△OEF是等腰直角三 角形，.OE=OF.四边形ABCD是正方形，.OA=OD,∠COD=90°.∠AOF= 90°-a,∠DOE=90°-a,.∠AOF=∠DOE,.△AOF≌△DOE(SAS),.AF=DE. 思维拓展 12.解：(1)PE十PF的值是定值.：四边形ABCD为正方形，∴.AC⊥BD,∴∠AOB= 90°.：PF⊥BD,PE⊥AC,∴∠PFO=∠PEO=90°，.∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，.四边形PFOE为矩形，.PE=OF.又∠PBF=45°，易得△PBF是等腰直角 三角形，PF=BF.PE+PF=OF+BF=OB=号a,(2)同()可证，∠EOF= ∠PEO=∠PFO=90°，.四边形PFOE为矩形，PE=OF.又，∠PBF=∠ABO= 46,易得△PBF是等腰直角三角形PF=BD,∴PE-PF=OF-BF=OB-号。. 第4页（共54页） 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.证明：连接AC,交BD于点O.,AB⊥BC,∠ABC=90°.又四边形ABCD 是平行四边形，.四边形ABCD是矩形.，四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD,∴四边 形ABCD是正方形.3.D4.AC=BD(答案不唯一)5.证明：：四边形ABCD是 正方形，.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又：AA'=BB'=CC= DD',.DA=A'B=BC=C'D.易得△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C (SAS),∴.DA'=A'B=B'C'=CD',∴.四边形A'B'C'D是菱形.由全等知∠AD'A'= ∠BA'B'.又∠ADA'+∠AA'D'=90°，.∠AA'D'+∠BA'B'=90°，∠DA'B'= 180°-（∠AAD'+∠BA'B)=90°，.四边形A'B'C'D'是正方形.6.C 能力提升 7.C8.(40√2-40)9.解：(1).AB=AC,AD⊥BC,.∠BAD=∠DAC..AN是 △ABC外角∠CAM的平分线，.∠MAE=∠CAE,.∠DAC+∠CAE=∠BAD十 ∠MAE.:∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°，∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE =90°.：AD⊥BC,CE⊥AN,∴.∠ADC=∠CEA=90°，.四边形ADCE为矩形：(2)答 案不唯一，如：当∠BAC=90时，四边形ADCE是一个正方形.证明如下：AB=AC, ∠BAC=90°，∠ACB=∠B=45°.AD⊥BC,∴.∠CAD=∠ACD=45°，.DC= AD.,四边形ADCE为矩形，.矩形ADCE是正方形.故当∠BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形 思维拓展 10.解：(1)如图， 过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则∠EQF= B O F C ∠EPD=90°.：四边形ABCD为正方形，∴.∠BCD=90°，∠DCA=∠BCA,.∠QEP =90°，EQ=EP.又：四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=90°，∴.∠QEP=∠DEF, ∴.∠QEP-∠FEP=∠DEF-∠FEP,即∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中， r∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∴△EQF≌△EPD(ASA),.EF=ED,∴.矩形DEFG是正方形： ∠EQF=∠EPD, (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC=√2AB=2√2.又：CE=√2， .AE=CE=√2，即E是AC的中点，∴.DE⊥AC,点F与点C重合，此时△DCG是等 腰直角三角形，∴.四边形DECG是正方形，.CG=CE=√2；(3)分两种情况进行讨论： ①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°；②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC =30°.综上所述，∠EFC=120°或30°. 模型构建专题与正方形有关的常考模型 1.解：探究：分别过点A,D作AN∥GH,DM∥EF,分别交BC,AB于点N,M,如图②. C四边形ABCD是正方形，∴.AB∥CD,AB=CD,∠DAB=∠B=90°， B ∴.四边形DMEF是平行四边形，.ME=DF=1,DM=EF.:DM∥EF,GH⊥EF, .DM⊥GH.同理，得四边形AGHN是平行四边形，.GH业AN..AN⊥DM, ∴.∠DAN+∠ADM=90°.：∠DAN+∠BAN=90°，.∠ADM=∠BAN.在△ADM 和△BAN中，.'∠ADM=∠BAN,AD=BA,∠DAM=∠B,.△ADM≌△BAN (ASA)DM=AN,EF=DM=GH=AN.:E为AB的中点∴AE=号AB=2。 ∴.AM=AE-ME=2-1=1,∴.DM=√AD+AMr=√/4+1=√/17，∴.GH=√I7. 2.解：(1)四边形ABCD和四边形A1BCO是正方形，.AO=BO,∠AOB= ∠A1OC1=90°，∠OAB=∠OBC=45°，.∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB= 90°，∠AOE=∠BOF.∴△AOE≌△BOF(ASA);(2)两个正方形重叠部分的面积等 于子a,理由如下：△AOE2△BOF,SaE=S=Sam十Sam =SAROB十S△OE=SAOAB=- SE方能D=子d.3.解：四边形ABCD是正方形， 第5页（共54页） .BA=BC,∠ADB=∠ABE=∠CBE=45°.又BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS), ∠BEA=∠BEC.:∠BEA=∠ADB+∠DAF=45°+15°=60°，∠BEC=60°. 4.证明：在AB上截取BM=BE,连接ME.:四边形ABCD是正方形，∠B=∠DCB =90°，AB=BC,∴.∠BME=∠BEM=45°，.∠AME=180°-∠BME=180°-45°= 135°.，CF是正方形外角∠DCG的平分线，.∠DCF=45°，∴.∠ECF=∠ECD十 ∠DCF=90°+45°=135°，∴.∠AME=∠ECF.∠AEF=90°，∴.∠AEB+∠CEF= 90°.又∠AEB+∠MAE=90°，∴∠MAE=∠CEF.:AB=BC,BM=BE,∴AB BM=BC-BE,即AM=EC..△AME≌△ECF(ASA),.AE=EF.5.解：【问题原 型】，四边形ABDE,AGFC都是正方形，.AB=AE,AG=AC,∠BAE=∠GAC= AB=AE, 90°，∴·∠BAG=∠EAC=90°-∠BAC.在△BAG和△EAC中，∠BAG=∠EAC, AG=AC, ∴.△BAG≌△EAC(SAS),∴.BG=CE:【发现结论】设EH交AB于点L.由【问题原 型】，得△BAG≌△EAC,.∠ABG=∠AEC.·∠BLH=∠ALE,.∠GHE=∠ABG 十∠BLH=∠AEC+∠ALE=90°，∴.EH⊥BG.6.解：(I)四边形BEFE是正方形. 理由如下：·将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90得到△CBE,∴∠AEB=∠E =90°，BE=BE,∠EBE=90°.∠BEF=180°-∠AEB=90°，∴.∠BEF=∠E= ∠EBE=90°，∴.四边形BEFE是矩形.又：BE=BE,.四边形BE'FE是正方形； (2)由(1)，得BE=BE=6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB-BE= √I0-6=8.过点D作DH⊥AE于点H,∴∠DHA=∠AEB=90°.四边形ABCD 是正方形，.DA=AB,∠DAB=90°，∴.∠DAH+∠EAB=90°=∠DAH+∠HDA, ∠DHA=∠AEB, .∠HDA=∠EAB.在△ADH和△BAE中，∠HDA=∠EAB,∴.△ADH≌△BAE DA=AB, (AAS),∴.AH=BE=6,DH=AE=8,∴.HE=AE-AH=8-6=2.在Rt△DHE中， 由勾股定理，得DE=√D+HE=√⑧+2=2√17.7.解：(1)，四边形ABCD 是正方形，BC=CD,∠B=∠CDF=90°.又BE=DF,.△CBE≌△CDF(SAS), ∴.CE=CF;(2)GE=BE+GD成立.理由如下：由(I),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE= ∠DCF,∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=9O.又：∠GCE =45°，∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE=90°-45°=45°，∴.∠GCF=∠GCE.又CE=CF, GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS),∴.GE=GF.:GF=DF+GD=BE+GD,.GE= BEGD. 第一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.C2.323.解：(1)D是边BC的中点，.BD=CD.DF=ED,.四边形BFCE 是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，∴BE=CE,∴.四边 形BFCE是菱形：(2)：四边形BFCE是菱形，BC=4,EF=2,∴BD=号BC=2,DE= EF=1.D,E分别是边BC,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，AB=2DE= 1 2.“AD=VAB+BD=2E.4.C5.号6.解：I选择①，：AD/BC.AB/ CD,∴四边形ABCD是平行四边形.，∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形：选择②， :AD∥BC,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.∠ABC=90°，.四边形AB CD是矩形：(2)：AB=3,AC=5,∠ABC=90°，∴.BC=√/AC-AB=√5-32=4， .四边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12.7.B8.12十4√39.26°10.D 11.证明：(1)·四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD.:PM⊥ AD,PN⊥AB,.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°，.四边形PMAN是正方形； (2):四边形PMAN是正方形，∴∠MPN=90°.：∠EPB=90°，∴.∠MPE+∠EPN =∠NPB+∠EPN=90°，∴·∠MPE=∠NPB.在△EPM和△BPN中， ∠PME=∠PNB, PM-PN, ,.△EPM≌△BPN(ASA),..EM=BN.12.解：(1)△BPE≌ ∠MPE=∠NPB, △CQP.理由如下：经过1s后，BP=4cm,CQ=4cm,∴.BP=CQ.,正方形ABCD的 第6页（共54页）