第一章 2 矩形的性质与判定&教材母题变式专题矩形中的折叠问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

2矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 ②基础过关○逐点击破 6.如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC 交DA的延长线于点E.求证：BE=BD. 知识点1矩形的边、角的性质 1.若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2，则其对 角线BD的长是 A.√3 B.3 C.5 D.2√5 2.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩 形.若∠BAG=20°，则∠DAE的度数为 3.(2024·陕西)如图，四边形ABCD是矩形， 点E和点F在边BC上，且BE=CF. 求证：AF=DE 知识点3直角三角形斜边中线的性质 7.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中 点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为 1.5km,则M,C两点间的距离为() A.3 km B.1 km C.0.75km D.0.5 km (第7题图) (第8题图) 知识点2矩形对角线的性质 8.(2024·银川一中期中)如图，在Rt△ABC 4.下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定 中，∠BCA=90°，D为AB的中点.若 具有的是 ∠ACD=20°，则∠B的度数是 () A.对边相等 B.对角相等 A.65 B.70° C.50° D.80 C.对角线相等 D.对角线互相平分 !易错点 在矩形的有关计算中，忽视多 5.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点 解情况而致错 O,点E,F分别为OC,BC的中点.若 9.若矩形的一内角平分线把矩形的一条边 EF=3,则AC的长为 分成3cm和5cm两部分，则此矩形的周 长为 () A.16 cm B.22 cm C.26 cm D.22cm或26cm 7 名师测控·数学[九年级上册(BS) 能力提升○整合运用 父 思维拓展。学科素养 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AE是△ABC 13.阅读理解任务型请阅读下列材料，并完成相 的高线，BD是△ABC的中线，连接ED.若 应的任务， BC=6,AE=4,则DE的长为 ( 三等分角是古希腊三大几何问题之 A.4 B.2.5C.3 D.7 一.如图①，任意锐角∠ABC可看作矩形 BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B 为端点的射线BF交CA于点E,交DA的 4 G 延长线于点F.若EF=2AB,则射线BF是 ∠ABC的一条三等分线. (第10题图) (第11题图) 证明：如图②，取EF的中点G,连接AG… 11.通性通法面积法(2024·银川兴庆区模拟) 任务： 出入相补原理是我国古代数学的重要成就 (1)完成材料中的证明过程； 之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建. (2)如图③，在矩形ABCD中，对角线AC “将一个几何图形，任意切成多块小图形， 的延长线与外角∠CBE的平分线相交 几何图形的总面积保持不变，等于所分割 于点F.若BF= 成的小图形的面积之和”是该原理的重要 AC,则∠F的度数为 内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB=5, AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为 BC边上的一个动点，EFAC,EG⊥BD,垂足 分别为点F,G,则EF+EG= 图① 图② 12.(2024·银川北塔中学期中)如图，在矩形 ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD,BC交于M,N 两点，连接CM,AN. 图③ (1)求证：四边形AVCM为平行四边形； (2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,则DM 的长为 第一章特殊平行四边形8 第2课时 矩形的判定 ②基础过关。逐点击破 知识点3有三个角是直角的四边形是矩形 知识点1有一个角是直角的平行四边形 5.（2024·中卫沙坡头区期中)如图，诚诚用橡 胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了 是矩形 检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他的做 1.在四边形ABCD中，若AB∥CD,AB=CD, 法正确的是 () 当∠A=90°时，四边形ABCD的形状一定是 2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,且DE∥AC,AE∥BD. 求证：四边形AODE是矩形. A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等 6.如图，在□ABCD中，CE⊥AB,AF LCD,垂 足分别为E,F 求证：四边形AECF是矩形， 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 3.情境题书架如图，为了检查平行四边形书架 ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人 师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的 长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与 上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理： 4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD= BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA= !易错点因混淆矩形的判定方法的前提 OD.求证：四边形ABCD是矩形 是“平行四边形”还是“四边形”而致错 7.下列说法正确的是 ( A.对角线相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 9名师测控·数学I九年级上册(BS) 能力提升○整合运用 (2)爱动脑筋的小华同学说如果卷尺是没 有刻度的，他也有办法检验四边形 8.(2024·吴忠三中期中)如图，在平行四边形 ABCD是不是矩形.请写出小华的检验 ABCD中，M,N是BD上两点，BM=DN, 连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件，使 方法并说明理由. 四边形AMCN是矩形，这个条件是() A.OM-TAC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND (第8题图) (第9题图) 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD, 垂足为O,点E,F,G,H分别为边DA,AB, 思维拓展。学科素养 BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边 11.如图，已知△ABC为等边三角形，CF∥ 形EFGH的面积为 AB,点P为线段AB上任意一点（点P不 10.新考向项目式学习)学习了四边形知识后，八 与A,B重合)，过点P作PE∥BC,分别交 年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如 AC,CF于点G,E 图)底座正面四边形ABCD是不是一个矩 (1)四边形PBCE是平行四边形吗？为什么？ 形的实践活动、 (2)试探索：当P为AB的中点时，四边形 APCE是什么样的特殊四边形？并说 明理由. 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现： 雕塑底座正面ABCD是一个平行四边形， 但究竟是不是矩形有待验证， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边AD,BC, CD,AB的长度，并测量出点B,D之间的 距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形 ABCD是不是一个矩形. 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量 得到边AD的长是60cm,边AB的长 是80cm,对角线BD的长是100cm,则 四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 第一章特殊平行四边形10 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 ②基础过关。逐点击破 6.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥ AC,CE∥BD,连接OE.若AC=12,BD=16,则 知识点矩形的性质与判定的综合应用 OE的长为 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( A.对边相等 B.对角线互相垂直 C.邻边垂直 D.对角线互相平分 2.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= 7.(2025·宁夏模拟)如图，在等边三角形ABC 90°，对角线AC,BD相交于点O.下列结论 中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中 一定成立的是 ( 线，连接BD,以BD为边作等边三角形 A.AC⊥BD B.AC=BD BDE,连接AE. C.AB=BC D.AB=AC (1)求证：四边形AEBF为矩形； 3.(2024·吴忠期末)如图，在 D (2)若AC=4,求四边形AEBF的面积. □ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,且OA=OD, ∠OAD=55°，则∠OBA的度数为 4.(2024·石嘴山惠农区期中)如图，在□ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,且OA= OB=5,AB=6,求□ABCD的面积. 网能力提升。整合运用 5.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P和 点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方 向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的 速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快s 后，四边形ABPQ成为矩形. 11 名师测控·数学[九年级上册(BS) 思维拓展。学科素养 (2)在点P的运动过程中，MN的长度是否 存在最小值？若存在，请求出最小值；若 8.已知△ABC的三边BC=a,AC=b,AB=c, 不存在，请说明理由. 且满足|a-√13+√b-2+(c-3)2=0.如 图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点M, PN⊥AC于点N. (1)求证：四边形AMPN是矩形； 微专题① 与60°角有关的矩形和菱形 含60°角的矩形和菱形中，构造等边三角形是解题的关键 60° B609 60 1.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，连接AC,若AC=6,则菱形ABCD的周长为 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°，AB=2,则 AC的长为 A.6 B.5 C.4 D.3 3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E,F分别是BC,CD的中点，连接AE,EF,AF,△AEF 的周长为3√3cm,则菱形ABCD的周长为 ( A.5 cm B.6 cm C.4√3cm D.8 cm 4.如图，在矩形ABCD中，AB=5,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则 BC的长为 ( A.5 B.5√2 C.5√3 D.10 第一章特殊平行四边形12 教材母题变式专题 矩形中的折叠问题 方法指导 2.把一张矩形纸片（矩形ABCD)按如图方式 (1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分 折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若 与折叠后的部分是全等图形；(2)折痕可看作垂直平 AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF 分线（对应两点之间的连线被折痕垂直平分）；(3)折 的面积是 cm2. 痕可看作角平分线（对应线段所在的直线与折痕的夹 3.折叠问题是我们常见的数学问题，它通常利 角相等). 解题策略：在直角三角形中，利用勾股定理求解 用图形变化的轴对称性质来解决.数学活动 【母题】（教材Pg习题T)如图，在矩形纸片 课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了 ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,将矩形纸片 数学活动 折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕， 【操作】 并求折痕的长。 如图①，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将 解：如图，折痕EF即为所求 矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点 连接AF D落在点D处，MD'与BC交于点N. .'AB=6 cm,BC=8 cm, 【猜想】 .AC=√AB+BC=√62+82 (1)请猜想线段MN,CN的数量关系，并 10(cm). 折叠后点C与点A重合， 证明； .EF垂直平分AC,∴.AF=CF,OA=OC 【应用】 设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2=AB2+BF, (2)如图②，继续将矩形纸片ABCD折叠，使 即7=6+(8-，解得x=华AF=CF=华 AM恰好落在直线MD'上，点A落在点 4 A'处，点B落在点B'处，折痕为ME.若 5e=CF·AB=2AC.0F. CD=4,MD=8,求EC的长 25X6 ∴OF=CF·AB_4X 15 AC 10= :AD∥BC,.∠OAE=∠OCF. 「∠OAE=∠OCF, 图① 图② 在△AOE和△COF中，OA=OC, ∠AOE=∠COF, 六△AOE≌△COF(ASA),OE=OF=15 , EF=OE+OF=15+15-15 442 【变式练习】 1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点 B重合，点C落在点C'处，折痕为EF.若 ∠EFC=125°，则∠ABE的度数为( A.15° B.20° C.25°D.30° D D(B') (第1题图) (第2题图) 13名师测控·数学I九年级上册(BS)参考答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.C2.(2,-3)3.D4.85.证明：：四边形ABCD是菱形，.AD=CD,∠A= ∠C.:DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.在△ADE和△CDF中， ∠A=∠C, ∠AED=∠CFD,∴△ADE≌△CDF(AAS),.DE=DF.6.D7.28.解： AD-CD 1)60120()②：四边形ABCD是菱形AB=DC,ACL BD,OD=号BD=号X 4=2,AC=2OC.在Rt△OCD中，∠ACD=30°，∴.DC=2OD=4.根据勾股定理，得 弥 0C=√/DC-OD=√/4-2=25，∴AB=DC=4,AC=2OC=43.9.4√3或2√3 帐 能力提升 10.B1L.(2w5)12.解：(1)四边形ABCD是菱形，AB=CD=BC,AB∥CD.又 BE=BC,∴BE=CD,BE∥CD,.四边形BECD是平行四边形，BD=CE; (2):四边形BECD是平行四边形，.BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°.又四边形 ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,即∠AOB=90°，∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40° 思维拓展 她 13.解：(1)DE=DF(2)DE=DF,理由如下：连接DB.:四边形ABCD为菱形， .AB=BC=CD=DA.∠A=60°，∴.△ABD和△CBD为等边三角形，.∠ADB= ∠DBF=∠A=60°，AD=BD.又：∠EDF=60°，∴.∠ADE+∠EDB=∠BDF+ I∠A=∠DBF, ∠EDB,.∠ADE=∠BDE.在△ADE和△BDF中，JAD=BD, .△ADE≌ ∠ADE=∠BDF, △BDF(ASA),.DE=DF;(3)由(2)，得DE=DF.∠EDF=60°，.△DEF为等边 物 三角形，要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可.：点E为边AB上 的一点，∴.当DE⊥AB时，DE取得最小值.在Rt△DEA中，∠DEA=90°，∠A=60°， ∠ADE=30,AE=AD=AB=2,∴DE=VAD-A=N-2-2尽， ∴.△DEF周长的最小值为3X2√=6√3；(4)由(2)，得△ADE≌△BDF,∴.S△DE= S△F,∴.S四边形DEF=SABD.:△ABD的面积与点E的运动状态无关，且保持不变， .当点E在AB边上运动时，四边形DEBF的面积保持不变， 始 第2课时菱形的判定 基础过关 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D.:AE⊥BC,AF⊥CD,∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD,.△ABE≌△ADF(AAS),∴AB=AD,.□ABCD是菱形 AE-AF, 3.解：赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC.证明如下：：OA=OC,OB=OD,∴.四边形 ABCD是平行四边形.又，AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形.4.D5.证明：，点A 关于BC的对称点为点D,根据轴对称的性质，得AB=BD,AC=CD.又：AB=AC, .AB=AC=BD=CD,∴.四边形ABDC是菱形.6.C 能力提升 7,C8.D9.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO. O是BF的中点，∴.OF=OB.又：∠AOF=∠EOB,.△AOF≌△EOB(ASA), ∴.OA=OE,∴.四边形ABEF是平行四边形.，AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形. 第1页（共54页） 思维拓展 10.解：(1)(18-t)cm(2),BC=13cm,.点Q在BC上运动时间为13÷2= 6.5(s).BC十CD=13十23=36(cm),.点Q运动时间最长为36÷2=18(s),.6.5 ≤≤18时，点Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的 一部分是平行四边形，分两种情况讨论：①四边形PQCB是平行四边形，如答图①. AB∥CD,即PB∥CQ,∴.只需PB=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm.:点Q以 2cm/s的速度沿折线B-C-D向终点D运动，∴.CQ=2t-BC=2t-13(cm),∴.18-t =2-13,解得4=号：@四边形ADQP是平行四边形，如答图@.“AP/DQ,只需 AP=DQ,即可得四边形ADQP是平行四边形.由题意，得AP=tcm,DQ=CD十CB 21=36-2(cm36-2=4,解得1=12.综上所述，当1的值为号或12时，直线PQ 把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；(3)设点Q的速度 为xcm/s,由(2)可知，Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形.PB∥CQ,∴.只需 满足PB=BC=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm,由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC= 13cm,∴.18-t=13,zt-13=13,解得t=5,x=5.2..当点Q的运动速度为5.2cm/s 时，运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形. 答图① 答图② 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.96【拓展设问】号2.解：(1)：四边形ABCD是菱形，ACLBD,A0=C0,B0= D0,∠ABD=号∠ABC=号X60°=30，A0=号AB=2X20=10(m),.AC= 2AO=2×10=20(m).在Rt△ABO中，由勾股定理，得B0=√AB-AO= √20-10-105(m),BD=2B0=2×105=20V5(m),(2)S花D=号AC. BD=号×20X20B=2005(m.3B4.2万5.证明：四边形ABCD是菱形， .AB=AD..MG∥AD,VF∥AB,.四边形AMEN是平行四边形..BM=DN, ∴.AB-BM=AD-DN,即AM=AN,.四边形AMEN是菱形.6.解：不正确.菱形 的面积等于对角线乘积的一半“S=宁×6×8=24， 能力提升 7.A8.8√39.解：(1)由作图可知EF垂直平分AC,∴.EA=EC,EF⊥AC,∴∠AEF =∠CEF.:在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF,∴.CF= CE,AE=CF,又：AE∥CF,四边形AECF是平行四边形.：EA=EC,∴.四边形 AECF是菱形；(2)：CD∥EF,DE∥CF,∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD. 易得∠ACD=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC+CD=AD.:□ABCD的周 长为12，AD+CD= 2X12=6,CD=6-AD,.(2+(6-AD)2=AD,AD= 4.CD=2,EF=CD=2∴菱形ABCF的面积为2AC,EF=号×2BX2=2E 思维拓展 10.解：(1)由题意可知，AB=BC=CD=DA.'AB=CD,BC=DA,.四边形ABCD是 平行四边形.AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形，∴.四边相等的四边形是菱形； (2)①.四边形ABCD是菱形，，.AB=BC=CD=DA,∠ABD=∠CBD=∠ADB= ∠CDB,∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.BE=DF,△ABE≌△CBE≌ △ADF≌△CDF,.AE=CE=CF=AF,.四边形AECF是菱形；②AB=15cm [解析：连接AC,交EF于点O.:'四边形AECF是菱形，周长为80cm,EF=32cm, ∴.AE=20cm,OE=OF=16cm,AC⊥EF,∴.OB=OE-BE=16-7=9(cm),∠AOB =90°，∴.OA=√AE-OE=√/202-16=12(cm),∴.AB=V√OA+OB= √/122+92=15(cm),即AB的长为15cm] 第2页（共54页） 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.C2.20°3.证明：四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°..BE= AB=DC, CF,.BE十EF=CF+EF.即BF=CE.在△ABF和△DCE中，∠B=∠C,.△ABF BF-CE, ≌△DCE(SAS),∴.AF=DE.4.C5.126.证明：四边形ABCD是矩形，∴AC= BD,AD∥BC.又·BE∥AC,.四边形AEBC是平行四边形，∴.BE=AC,∴.BE=BD. 7.C8.B9.D 能力提升 10.B1山.92.解：1：在矩形ABCD巾，0为对角线AC的中点，AD/C,A0 (∠OAM=∠OCN, =CO,∴.∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC.在△AOM和△CON中，J∠OMA=∠ONC, A0=C0, .△AOM≌△CON(AAS),∴.AM=CN.:'AM∥CN,∴.四边形ANCM为平行四边 形；(2)号[解析：在矩形ABCD中，CD=AB=2.:四边形ANCM为平行四边形，MN ⊥AC,∴.平行四边形ANCM为菱形，∴.CM=AM=AD-DM=4-DM.在Rt△CDM 中，根据勾股定理，得CM=CD十DF,(4-DM0=2+DM,解得DM=多 思维拓展 13.解：(1)：四边形BCAD是矩形，∴.AD∥BC,∠DAC=90°，∴∠F=∠CBF,∠EAF =90.:点G是EF的中点，AG=2EF=FG,∠F=∠GAF.:EF=2AB,AB =AG,∴.∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠ABG+ ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴.射线BF是∠ABC的一条三等分线；(2)30° 第2课时矩形的判定 基础过关 1.矩形2.证明：：DE∥AC,AE∥BD,∴.四边形AODE是平行四边形.四边形 ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,即∠AOD=90°.∴.四边形AODE是矩形.3.对角线相等 的平行四边形是矩形4.证明：AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形， .AC=2OA,BD=2OD..OA=OD,.AC=BD,.四边形ABCD是矩形.5.C 6.证明：CE⊥AB,AF⊥CD,.∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°..四边形ABCD是 平行四边形，∴.AB∥CD,∴.∠FAE=∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°， .四边形AECF是矩形.7.C 能力提升 8.A9.1210.解：(1)：边AD的长是60cm,边AB的长是80cm,对角线BD的长 是100cm,∴.AD2十AB=602+802=1002=BD2,∴∠A=90°.四边形ABCD是平 行四边形，.四边形ABCD是矩形：(2)小华的检验方法是检测对角线AC,BD是不是 相等即可.理由：'AC=BD,四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形. 思维拓展 11.解：(1)四边形PBCE是平行四边形.理由如下：CF∥AB,PE∥BC,.四边形 PBCE是平行四边形：(2)当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.理由如下：，P 为AB的中点，∴.AP=BP.由(1)知四边形PBCE是平行四边形，∴BP=CE,AP= CE.:CF∥AB,即EC∥AP,.四边形APCE是平行四边形.又·△ABC是等边三角 形，P为AB的中点，∴.CP⊥AB,∠APC=90°，.四边形APCE是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.C2.B3.35°4.解：四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=号AC,0B= OD=号BD.:OA=OB=5,AC=BD=10,四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，∴.BC=√AC-AB=√102-6=8，∴.SOABCD=BC·AB=8X6=48. 第3页（共54页） 能力提升 5.46.107.解：(1)△ABC是等边三角形，∠ABC=60°.：点D是AC的中点， AF是BC边的中线，∴.AF=BD,∠CBD=30°，AF⊥BC,∠AFB=∠AFC=90. :△BDE是等边三角形，.BE=BD,∠DBE=6O°，∴AF=BD=BE,∠EBF=∠EBD +∠CBD=60°+30°=90°，∴.∠EBF=∠AFC=90°，∴.AF∥BE,∴.四边形AEBF为平 行四边形，又，∠AFB=90°，.四边形AEBF为矩形；(2)，AC=4,△ABC是等边三 角形，：BC=AC=AB=4.:AF是BC边的中线，∠AFB=90°，BF=令BC=2.在 Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=√AB-BF产=√/4-2=2√3.又：四边形AEBF 是矩形，.SE形EBF=AF·BF=23X2=4V5,即四边形AEBF的面积为43. 思维拓展 8.解：(1)：|a-√131+√6-2+(c-3)2=0,且|a-√/13|≥0,6-2≥0，(c-3)≥ 0,.a-√13=0，b-2=0,c-3=0,a=√/13，b=2,c=3.6+c2=22+32=13= a2,∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.：PM⊥AB,PN⊥AC,∴.∠AMP= ∠ANP=90°，∴.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°，∴.四边形AMPN是矩形；(2)存在. 连接AP.四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最短.此时 Sa版=AB·AC=BC·AP2X3=VEAP,∴AP-6区即MN的长度最 13 小值为3 13 微专题1与60°角有关的矩形和菱形 1.242.C3.D4.C 教材母题变式专题矩形中的折叠问题 1.B2.5.13.解：(1)MN=CN.证明如下：，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线 折叠，使点D落在点D'处，∴∠CMD=∠CMD'.,四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC, ∴.∠CMD=∠MCN,∴∠CMD'=∠MCN,.MN=CN;(2)由折叠的性质可知∠D= ∠D'=90°，DC=D'C=4,MD=MD=8.设MN=NC=x,.ND'=MD'-MN=8 x.在Rt△ND'C中，由勾股定理，得ND2十DC2=NC,∴.(8-x)2十4=x2,解得x= 5,.MN=CN=5.同(1)可得EN=MN=5,.EC=EN+CN=10. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.D2.90°3.C4.B5.60E6.27.证明：四边形ABCD是正方形，.AD= CD,∠A=∠BCD=∠ADC=90°，∴.∠DCF=90°.：DE⊥DF,∴.∠EDF=90°， ∴·∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.在△ADE和△CDF中， ∠A=∠DCF, AD=CD, ,.△ADE≌△CDF(ASA),.DE=DF.8.15°或75 ∠ADE=∠CDF, 能力提升 9.B10. 1L.解：(1)90°-a(2)AF=DE.证明如下：：△OEF是等腰直角三 角形，.OE=OF.四边形ABCD是正方形，.OA=OD,∠COD=90°.∠AOF= 90°-a,∠DOE=90°-a,.∠AOF=∠DOE,.△AOF≌△DOE(SAS),.AF=DE. 思维拓展 12.解：(1)PE十PF的值是定值.：四边形ABCD为正方形，∴.AC⊥BD,∴∠AOB= 90°.：PF⊥BD,PE⊥AC,∴∠PFO=∠PEO=90°，.∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，.四边形PFOE为矩形，.PE=OF.又∠PBF=45°，易得△PBF是等腰直角 三角形，PF=BF.PE+PF=OF+BF=OB=号a,(2)同()可证，∠EOF= ∠PEO=∠PFO=90°，.四边形PFOE为矩形，PE=OF.又，∠PBF=∠ABO= 46,易得△PBF是等腰直角三角形PF=BD,∴PE-PF=OF-BF=OB-号。. 第4页（共54页） 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.证明：连接AC,交BD于点O.,AB⊥BC,∠ABC=90°.又四边形ABCD 是平行四边形，.四边形ABCD是矩形.，四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD,∴四边 形ABCD是正方形.3.D4.AC=BD(答案不唯一)5.证明：：四边形ABCD是 正方形，.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又：AA'=BB'=CC= DD',.DA=A'B=BC=C'D.易得△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C (SAS),∴.DA'=A'B=B'C'=CD',∴.四边形A'B'C'D是菱形.由全等知∠AD'A'= ∠BA'B'.又∠ADA'+∠AA'D'=90°，.∠AA'D'+∠BA'B'=90°，∠DA'B'= 180°-（∠AAD'+∠BA'B)=90°，.四边形A'B'C'D'是正方形.6.C 能力提升 7.C8.(40√2-40)9.解：(1).AB=AC,AD⊥BC,.∠BAD=∠DAC..AN是 △ABC外角∠CAM的平分线，.∠MAE=∠CAE,.∠DAC+∠CAE=∠BAD十 ∠MAE.:∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°，∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE =90°.：AD⊥BC,CE⊥AN,∴.∠ADC=∠CEA=90°，.四边形ADCE为矩形：(2)答 案不唯一，如：当∠BAC=90时，四边形ADCE是一个正方形.证明如下：AB=AC, ∠BAC=90°，∠ACB=∠B=45°.AD⊥BC,∴.∠CAD=∠ACD=45°，.DC= AD.,四边形ADCE为矩形，.矩形ADCE是正方形.故当∠BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形 思维拓展 10.解：(1)如图， 过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则∠EQF= B O F C ∠EPD=90°.：四边形ABCD为正方形，∴.∠BCD=90°，∠DCA=∠BCA,.∠QEP =90°，EQ=EP.又：四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=90°，∴.∠QEP=∠DEF, ∴.∠QEP-∠FEP=∠DEF-∠FEP,即∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中， r∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∴△EQF≌△EPD(ASA),.EF=ED,∴.矩形DEFG是正方形： ∠EQF=∠EPD, (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC=√2AB=2√2.又：CE=√2， .AE=CE=√2，即E是AC的中点，∴.DE⊥AC,点F与点C重合，此时△DCG是等 腰直角三角形，∴.四边形DECG是正方形，.CG=CE=√2；(3)分两种情况进行讨论： ①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°；②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC =30°.综上所述，∠EFC=120°或30°. 模型构建专题与正方形有关的常考模型 1.解：探究：分别过点A,D作AN∥GH,DM∥EF,分别交BC,AB于点N,M,如图②. C四边形ABCD是正方形，∴.AB∥CD,AB=CD,∠DAB=∠B=90°， B ∴.四边形DMEF是平行四边形，.ME=DF=1,DM=EF.:DM∥EF,GH⊥EF, .DM⊥GH.同理，得四边形AGHN是平行四边形，.GH业AN..AN⊥DM, ∴.∠DAN+∠ADM=90°.：∠DAN+∠BAN=90°，.∠ADM=∠BAN.在△ADM 和△BAN中，.'∠ADM=∠BAN,AD=BA,∠DAM=∠B,.△ADM≌△BAN (ASA)DM=AN,EF=DM=GH=AN.:E为AB的中点∴AE=号AB=2。 ∴.AM=AE-ME=2-1=1,∴.DM=√AD+AMr=√/4+1=√/17，∴.GH=√I7. 2.解：(1)四边形ABCD和四边形A1BCO是正方形，.AO=BO,∠AOB= ∠A1OC1=90°，∠OAB=∠OBC=45°，.∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB= 90°，∠AOE=∠BOF.∴△AOE≌△BOF(ASA);(2)两个正方形重叠部分的面积等 于子a,理由如下：△AOE2△BOF,SaE=S=Sam十Sam =SAROB十S△OE=SAOAB=- SE方能D=子d.3.解：四边形ABCD是正方形， 第5页（共54页） .BA=BC,∠ADB=∠ABE=∠CBE=45°.又BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS), ∠BEA=∠BEC.:∠BEA=∠ADB+∠DAF=45°+15°=60°，∠BEC=60°. 4.证明：在AB上截取BM=BE,连接ME.:四边形ABCD是正方形，∠B=∠DCB =90°，AB=BC,∴.∠BME=∠BEM=45°，.∠AME=180°-∠BME=180°-45°= 135°.，CF是正方形外角∠DCG的平分线，.∠DCF=45°，∴.∠ECF=∠ECD十 ∠DCF=90°+45°=135°，∴.∠AME=∠ECF.∠AEF=90°，∴.∠AEB+∠CEF= 90°.又∠AEB+∠MAE=90°，∴∠MAE=∠CEF.:AB=BC,BM=BE,∴AB BM=BC-BE,即AM=EC..△AME≌△ECF(ASA),.AE=EF.5.解：【问题原 型】，四边形ABDE,AGFC都是正方形，.AB=AE,AG=AC,∠BAE=∠GAC= AB=AE, 90°，∴·∠BAG=∠EAC=90°-∠BAC.在△BAG和△EAC中，∠BAG=∠EAC, AG=AC, ∴.△BAG≌△EAC(SAS),∴.BG=CE:【发现结论】设EH交AB于点L.由【问题原 型】，得△BAG≌△EAC,.∠ABG=∠AEC.·∠BLH=∠ALE,.∠GHE=∠ABG 十∠BLH=∠AEC+∠ALE=90°，∴.EH⊥BG.6.解：(I)四边形BEFE是正方形. 理由如下：·将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90得到△CBE,∴∠AEB=∠E =90°，BE=BE,∠EBE=90°.∠BEF=180°-∠AEB=90°，∴.∠BEF=∠E= ∠EBE=90°，∴.四边形BEFE是矩形.又：BE=BE,.四边形BE'FE是正方形； (2)由(1)，得BE=BE=6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB-BE= √I0-6=8.过点D作DH⊥AE于点H,∴∠DHA=∠AEB=90°.四边形ABCD 是正方形，.DA=AB,∠DAB=90°，∴.∠DAH+∠EAB=90°=∠DAH+∠HDA, ∠DHA=∠AEB, .∠HDA=∠EAB.在△ADH和△BAE中，∠HDA=∠EAB,∴.△ADH≌△BAE DA=AB, (AAS),∴.AH=BE=6,DH=AE=8,∴.HE=AE-AH=8-6=2.在Rt△DHE中， 由勾股定理，得DE=√D+HE=√⑧+2=2√17.7.解：(1)，四边形ABCD 是正方形，BC=CD,∠B=∠CDF=90°.又BE=DF,.△CBE≌△CDF(SAS), ∴.CE=CF;(2)GE=BE+GD成立.理由如下：由(I),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE= ∠DCF,∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=9O.又：∠GCE =45°，∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE=90°-45°=45°，∴.∠GCF=∠GCE.又CE=CF, GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS),∴.GE=GF.:GF=DF+GD=BE+GD,.GE= BEGD. 第一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.C2.323.解：(1)D是边BC的中点，.BD=CD.DF=ED,.四边形BFCE 是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，∴BE=CE,∴.四边 形BFCE是菱形：(2)：四边形BFCE是菱形，BC=4,EF=2,∴BD=号BC=2,DE= EF=1.D,E分别是边BC,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，AB=2DE= 1 2.“AD=VAB+BD=2E.4.C5.号6.解：I选择①，：AD/BC.AB/ CD,∴四边形ABCD是平行四边形.，∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形：选择②， :AD∥BC,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.∠ABC=90°，.四边形AB CD是矩形：(2)：AB=3,AC=5,∠ABC=90°，∴.BC=√/AC-AB=√5-32=4， .四边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12.7.B8.12十4√39.26°10.D 11.证明：(1)·四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD.:PM⊥ AD,PN⊥AB,.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°，.四边形PMAN是正方形； (2):四边形PMAN是正方形，∴∠MPN=90°.：∠EPB=90°，∴.∠MPE+∠EPN =∠NPB+∠EPN=90°，∴·∠MPE=∠NPB.在△EPM和△BPN中， ∠PME=∠PNB, PM-PN, ,.△EPM≌△BPN(ASA),..EM=BN.12.解：(1)△BPE≌ ∠MPE=∠NPB, △CQP.理由如下：经过1s后，BP=4cm,CQ=4cm,∴.BP=CQ.,正方形ABCD的 第6页（共54页）