第一章 1 菱形的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 ②基础过关。逐点击破 知识点3菱形的对角线的性质 知识点1菱形的定义及对称性 6.下列关于菱形的性质说法错误的是() 1.下列有关菱形的说法不正确的是 A.对角线互相平分B.对角线互相垂直 C.邻边相等 D.对角线相等 A.菱形一定是平行四边形 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD B.平行四边形不一定是菱形 C.有一组邻边相等的四边形一定是菱形 相交于点O.若AB=√5cm,AO=1cm,则 D.菱形是轴对称图形 BO的长为 cm. 2.如图，在菱形OABC中，点B在x 轴上，点A的坐标为(2,3)，则点C 的坐标为 知识点2菱形的边、角的性质 8.（教材P3例1变式)如图，四边形ABCD是 菱形，∠ACD=30°，BD=4. 3.(2024·银川六中月考)如图，在菱形ABCD (1)∠BAD= ,∠ABC= 中，∠ABC=70°，则∠ABD的度数是( (2)求AB和AC的长. A.110 B.70° C.45° D.35 4.在菱形ABCD中，AB=2,则菱形ABCD的 周长为 5.(2024·石嘴山大武口区校级期中)如图，在 菱形ABCD中，DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F.求证：DE=DF. !易错点点的位置不确定时，未进行分 类讨论而导致漏解 9.四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6,对 角线AC与BD相交于点O,点E在AC上.若 OE=√，则CE的长为 1名师测控·数学九年级上册(BS) 可能力提升⊙整合运用 父 思维拓展。学科素养 10.如图，在菱形ABCD中，∠B=50°，点E在CD 13.综合与实践拓展迁移探究)综合实践课上，创 上.若AE=AC,则∠BAE的度数为( 新小组的同学对如图所示的含60°角的菱 A.100°B.115°C.95° D.105° 形进行探究， 【问题情境】 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E,F分 别是边AB,BC上的点，且∠EDF=60°. 【初步感知】 (第10题图) (第11题图) (1)若点E是AB的中点，点F是CB的中点， 11.(2024·银川一中期中)在菱形ABCD中， 则DE与DF的数量关系为 AB=2,∠DAB=120°.如图，建立平面直 【深入探究】 (2)若点E,F分别为AB,BC上任意一点， 角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴 则DE与DF的数量关系是什么？请说 上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是 明理由； (3)若AB=4,求△DEF周长的最小值： 12.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点 【问题解决】 O,延长AB至点E,使BE=BC,连接CE (4)当点E在AB边上运动时，小明发现， (1)求证：BD=CE; 四边形DEBF的面积保持不变，请你帮 (2)若∠E=50°，求∠BAO的度数 助小明验证他的发现. 第一章特殊平行四边形2 第2课时 菱形的判定 ②基础过关⊙逐点击破 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条 知识点1有一组邻边相等的平行四边形 件，并证明. 是菱形 1.如图，在□ABCD中，AB= AD,则四边形ABCD是菱 形，其依据是 2.如图，在□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD, AE=AF.求证：□ABCD是菱形. 知识点3四边相等的四边形是菱形 4.下列说法中，正确的是 ( A.有两条邻边相等的四边形是菱形 B.有两边平行的四边形是菱形 C.有两边互相垂直的平行四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点A关于BC 的对称点为D,连接BD,CD. 求证：四边形ABDC是菱形. 知识点2对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 3.(2024·中卫沙坡头区期中)小惠自编一题： “如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证：四边形 ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同 ?易错点由对角线的特征判定菱形时易 学小洁交流。 出错 小惠： 6.下列说法正确的是 小洁： 证明：，AC⊥BD,OB=OD A.对角线互相垂直的四边形是菱形 这个题目还缺少条 ∴AC垂直平分BD B.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 件，需要补充一个 ∴AB=AD,CB=CD, C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 条件才能证明. ∴.四边形ABCD是菱形. D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 3名师测控·数学1九年级上册(BS) 能力提升○整合运用 父 思维拓展。学科素养 7.下列平行四边形中，根据图中所标出的数 10.化动为静法如图，在四边 据，不一定是菱形的是 ( 形ABCD中，AB∥CD, 307 460 1209 60 ∠ADC=90°，AB= D 30 30 60 60° 18cm,BC=13cm,CD=23cm,动点P从 A B 点A出发，以1cm/s的速度向终点B运 8.如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边 动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的 形EFGH,要使四边形EFGH为菱形，应添 速度沿折线B一C一D向终点D运动，其中 加的条件是 一个动点到达终点时，另一个动点也随之 A.AB∥DC 停止运动，设运动时间为ts. B.AB=DC (1)用含t的式子表示PB为 C.AC⊥BD (2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD D.AC-BD 分成两个部分，且其中的一部分是平行 9.(2025·银川北塔中学一模)如图，在平行四 四边形？ 边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF, (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中 连接BF,点O为BF的中点，AO的延长线 某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q 交边BC于点E,连接EF. 的运动速度应为多少？ 求证：四边形ABEF是菱形. 第一章特殊平行四边形4 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 ②基础过关⊙逐点击破 知识点2菱形的性质与判定的综合应用 知识点1菱形面积的计算 3.如图，点O既是AB的中点，又是CD的中 点，且AB⊥CD,连接AC,BC,AD,BD.若 1.如图，在菱形ABCD中，对角 AC=2,则四边形ACBD的周长是() 线AC与BD相交于点O,且 A.6 B.8 AB=10,BD=12,则菱形 H C.10 D.不能确定 ABCD的面积为 【拓展设问】若DH是AB边上的高，则DH 的长为 2.情境题花坛如图，菱形花坛ABCD的一边 长AB为20m,∠ABC=60°，沿着该菱形的 (第3题图) (第4题图) 对角线修建两条小路AC和BD 4.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连。 (1)求AC和BD的长； 用钉子钉成四边形ABCD.若AB=2,∠A= (2)求菱形花坛ABCD的面积. 120°，则B,D两点间的距离为 5.如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在 AB,AD上，且BM=DN,MG∥AD,NF∥ AB,点F,G分别在BC,CD上，MG与NF相 交于点E. 求证：四边形AMEN是菱形， !易错点错误地运用菱形的面积公式 6.若菱形的两条对角线的长分别为6和8，求 菱形的面积. 解：S菱形=6×8=48. 上述解法正确吗？若不正确，请写出正确的 解题过程 5名师测控·数学I九年级上册(BS) 能力提升○整合运用 ⑧ 思维拓展©学科素养 7.(2024·石嘴山大武口区校级期中)如图，菱 10.(教材P。“议一议”变式)【教材呈现】如下是 形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F 北师大版九年级上册数学课本第6页的部 分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若EF 分内容 √2，BD=2,则菱形ABCD的面积为( 如图1-4，分别以A, A.2√2 B.4√2 C.6√2D.8√2 C为圆心，以大于 2 AC的长为半径作 60 弧，两条弧分别相交 图1-4 于点B,D,依次连接A,B,C,D,四边形 ABCD看上去是菱形 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流. (第7题图) (第8题图) 定理四边相等的四边形是菱形 8.(2024·广西)如图，两张宽度均为3cm的纸 请你完成这个定理的证明， 条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°， (1)结合教材图1一4，完成这个定理的证明； 则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 (2)应用上述定理解答实际问题： cm. 周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精 9.(2025·吴忠红寺堡区模拟联考)如图，AC 致的吊灯，其截面如图所示，四边形 为□ABCD的对角线，分别以点A,C为圆 ABCD是一个菱形内框架，四边形 心，大于2AC的长为半径画弧，两弧分别交 AECF是其外部框架，且点E,B,D,F 于点M,N,连接MN分别交AD,BC,AC于 在同一直线上，BE=DF, 点E,F,O,连接AF,CE ①求证：四边形外框AECF是菱形； (1)求证：四边形AECF是菱形； ②若外框AECF的周长为80cm,EF (2)若CD∥EF,平行四边形ABCD的周长 32cm,BE=7cm,直接写出AB的长. 为12，AC=23,求菱形AECF的面积. M 第一章特殊平行四边形6参考答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.C2.(2,-3)3.D4.85.证明：：四边形ABCD是菱形，.AD=CD,∠A= ∠C.:DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.在△ADE和△CDF中， ∠A=∠C, ∠AED=∠CFD,∴△ADE≌△CDF(AAS),.DE=DF.6.D7.28.解： AD-CD 1)60120()②：四边形ABCD是菱形AB=DC,ACL BD,OD=号BD=号X 4=2,AC=2OC.在Rt△OCD中，∠ACD=30°，∴.DC=2OD=4.根据勾股定理，得 弥 0C=√/DC-OD=√/4-2=25，∴AB=DC=4,AC=2OC=43.9.4√3或2√3 帐 能力提升 10.B1L.(2w5)12.解：(1)四边形ABCD是菱形，AB=CD=BC,AB∥CD.又 BE=BC,∴BE=CD,BE∥CD,.四边形BECD是平行四边形，BD=CE; (2):四边形BECD是平行四边形，.BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°.又四边形 ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,即∠AOB=90°，∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40° 思维拓展 她 13.解：(1)DE=DF(2)DE=DF,理由如下：连接DB.:四边形ABCD为菱形， .AB=BC=CD=DA.∠A=60°，∴.△ABD和△CBD为等边三角形，.∠ADB= ∠DBF=∠A=60°，AD=BD.又：∠EDF=60°，∴.∠ADE+∠EDB=∠BDF+ I∠A=∠DBF, ∠EDB,.∠ADE=∠BDE.在△ADE和△BDF中，JAD=BD, .△ADE≌ ∠ADE=∠BDF, △BDF(ASA),.DE=DF;(3)由(2)，得DE=DF.∠EDF=60°，.△DEF为等边 物 三角形，要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可.：点E为边AB上 的一点，∴.当DE⊥AB时，DE取得最小值.在Rt△DEA中，∠DEA=90°，∠A=60°， ∠ADE=30,AE=AD=AB=2,∴DE=VAD-A=N-2-2尽， ∴.△DEF周长的最小值为3X2√=6√3；(4)由(2)，得△ADE≌△BDF,∴.S△DE= S△F,∴.S四边形DEF=SABD.:△ABD的面积与点E的运动状态无关，且保持不变， .当点E在AB边上运动时，四边形DEBF的面积保持不变， 始 第2课时菱形的判定 基础过关 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D.:AE⊥BC,AF⊥CD,∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD,.△ABE≌△ADF(AAS),∴AB=AD,.□ABCD是菱形 AE-AF, 3.解：赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC.证明如下：：OA=OC,OB=OD,∴.四边形 ABCD是平行四边形.又，AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形.4.D5.证明：，点A 关于BC的对称点为点D,根据轴对称的性质，得AB=BD,AC=CD.又：AB=AC, .AB=AC=BD=CD,∴.四边形ABDC是菱形.6.C 能力提升 7,C8.D9.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO. O是BF的中点，∴.OF=OB.又：∠AOF=∠EOB,.△AOF≌△EOB(ASA), ∴.OA=OE,∴.四边形ABEF是平行四边形.，AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形. 第1页（共54页） 思维拓展 10.解：(1)(18-t)cm(2),BC=13cm,.点Q在BC上运动时间为13÷2= 6.5(s).BC十CD=13十23=36(cm),.点Q运动时间最长为36÷2=18(s),.6.5 ≤≤18时，点Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的 一部分是平行四边形，分两种情况讨论：①四边形PQCB是平行四边形，如答图①. AB∥CD,即PB∥CQ,∴.只需PB=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm.:点Q以 2cm/s的速度沿折线B-C-D向终点D运动，∴.CQ=2t-BC=2t-13(cm),∴.18-t =2-13,解得4=号：@四边形ADQP是平行四边形，如答图@.“AP/DQ,只需 AP=DQ,即可得四边形ADQP是平行四边形.由题意，得AP=tcm,DQ=CD十CB 21=36-2(cm36-2=4,解得1=12.综上所述，当1的值为号或12时，直线PQ 把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；(3)设点Q的速度 为xcm/s,由(2)可知，Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形.PB∥CQ,∴.只需 满足PB=BC=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm,由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC= 13cm,∴.18-t=13,zt-13=13,解得t=5,x=5.2..当点Q的运动速度为5.2cm/s 时，运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形. 答图① 答图② 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.96【拓展设问】号2.解：(1)：四边形ABCD是菱形，ACLBD,A0=C0,B0= D0,∠ABD=号∠ABC=号X60°=30，A0=号AB=2X20=10(m),.AC= 2AO=2×10=20(m).在Rt△ABO中，由勾股定理，得B0=√AB-AO= √20-10-105(m),BD=2B0=2×105=20V5(m),(2)S花D=号AC. BD=号×20X20B=2005(m.3B4.2万5.证明：四边形ABCD是菱形， .AB=AD..MG∥AD,VF∥AB,.四边形AMEN是平行四边形..BM=DN, ∴.AB-BM=AD-DN,即AM=AN,.四边形AMEN是菱形.6.解：不正确.菱形 的面积等于对角线乘积的一半“S=宁×6×8=24， 能力提升 7.A8.8√39.解：(1)由作图可知EF垂直平分AC,∴.EA=EC,EF⊥AC,∴∠AEF =∠CEF.:在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF,∴.CF= CE,AE=CF,又：AE∥CF,四边形AECF是平行四边形.：EA=EC,∴.四边形 AECF是菱形；(2)：CD∥EF,DE∥CF,∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD. 易得∠ACD=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC+CD=AD.:□ABCD的周 长为12，AD+CD= 2X12=6,CD=6-AD,.(2+(6-AD)2=AD,AD= 4.CD=2,EF=CD=2∴菱形ABCF的面积为2AC,EF=号×2BX2=2E 思维拓展 10.解：(1)由题意可知，AB=BC=CD=DA.'AB=CD,BC=DA,.四边形ABCD是 平行四边形.AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形，∴.四边相等的四边形是菱形； (2)①.四边形ABCD是菱形，，.AB=BC=CD=DA,∠ABD=∠CBD=∠ADB= ∠CDB,∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.BE=DF,△ABE≌△CBE≌ △ADF≌△CDF,.AE=CE=CF=AF,.四边形AECF是菱形；②AB=15cm [解析：连接AC,交EF于点O.:'四边形AECF是菱形，周长为80cm,EF=32cm, ∴.AE=20cm,OE=OF=16cm,AC⊥EF,∴.OB=OE-BE=16-7=9(cm),∠AOB =90°，∴.OA=√AE-OE=√/202-16=12(cm),∴.AB=V√OA+OB= √/122+92=15(cm),即AB的长为15cm] 第2页（共54页） 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.C2.20°3.证明：四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°..BE= AB=DC, CF,.BE十EF=CF+EF.即BF=CE.在△ABF和△DCE中，∠B=∠C,.△ABF BF-CE, ≌△DCE(SAS),∴.AF=DE.4.C5.126.证明：四边形ABCD是矩形，∴AC= BD,AD∥BC.又·BE∥AC,.四边形AEBC是平行四边形，∴.BE=AC,∴.BE=BD. 7.C8.B9.D 能力提升 10.B1山.92.解：1：在矩形ABCD巾，0为对角线AC的中点，AD/C,A0 (∠OAM=∠OCN, =CO,∴.∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC.在△AOM和△CON中，J∠OMA=∠ONC, A0=C0, .△AOM≌△CON(AAS),∴.AM=CN.:'AM∥CN,∴.四边形ANCM为平行四边 形；(2)号[解析：在矩形ABCD中，CD=AB=2.:四边形ANCM为平行四边形，MN ⊥AC,∴.平行四边形ANCM为菱形，∴.CM=AM=AD-DM=4-DM.在Rt△CDM 中，根据勾股定理，得CM=CD十DF,(4-DM0=2+DM,解得DM=多 思维拓展 13.解：(1)：四边形BCAD是矩形，∴.AD∥BC,∠DAC=90°，∴∠F=∠CBF,∠EAF =90.:点G是EF的中点，AG=2EF=FG,∠F=∠GAF.:EF=2AB,AB =AG,∴.∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠ABG+ ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴.射线BF是∠ABC的一条三等分线；(2)30° 第2课时矩形的判定 基础过关 1.矩形2.证明：：DE∥AC,AE∥BD,∴.四边形AODE是平行四边形.四边形 ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,即∠AOD=90°.∴.四边形AODE是矩形.3.对角线相等 的平行四边形是矩形4.证明：AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形， .AC=2OA,BD=2OD..OA=OD,.AC=BD,.四边形ABCD是矩形.5.C 6.证明：CE⊥AB,AF⊥CD,.∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°..四边形ABCD是 平行四边形，∴.AB∥CD,∴.∠FAE=∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°， .四边形AECF是矩形.7.C 能力提升 8.A9.1210.解：(1)：边AD的长是60cm,边AB的长是80cm,对角线BD的长 是100cm,∴.AD2十AB=602+802=1002=BD2,∴∠A=90°.四边形ABCD是平 行四边形，.四边形ABCD是矩形：(2)小华的检验方法是检测对角线AC,BD是不是 相等即可.理由：'AC=BD,四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形. 思维拓展 11.解：(1)四边形PBCE是平行四边形.理由如下：CF∥AB,PE∥BC,.四边形 PBCE是平行四边形：(2)当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.理由如下：，P 为AB的中点，∴.AP=BP.由(1)知四边形PBCE是平行四边形，∴BP=CE,AP= CE.:CF∥AB,即EC∥AP,.四边形APCE是平行四边形.又·△ABC是等边三角 形，P为AB的中点，∴.CP⊥AB,∠APC=90°，.四边形APCE是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.C2.B3.35°4.解：四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=号AC,0B= OD=号BD.:OA=OB=5,AC=BD=10,四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，∴.BC=√AC-AB=√102-6=8，∴.SOABCD=BC·AB=8X6=48. 第3页（共54页）