第03讲 定义新运算（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

该小学数学讲义聚焦小升初定义新运算专题，旨在培养学生符号理解、规则应用及综合运算能力。通过基础概念回顾、解题步骤梳理、核心题型突破（直接计算、反求未知数等）及分层巩固练习，系统构建知识体系，提升实战解题技能。 亮点在于以核心素养为导向的分层教学设计，如规律探究型通过计算2#3、3#4等特殊值，引导学生抽象运算规律培养符号意识，反求未知数型结合方程思想发展推理能力。典型例题与提升练习紧密对接小升初考点，有效帮助学生突破运算顺序混淆等易错点，为教师提供精准教学的实效参考。

六年级奥数培优讲义：第03讲 定义新运算 知识点梳理 知识点一、基础概念回顾 定义新运算是指用一个自定义的符号（如△、※、○、#等）表示一种特定的运算规则，规则由题目明确给出。其核心是**“规则优先”**：所有运算必须严格按照题目定义的新规则进行，与常规运算（+、-、×、÷）无关，除非规则中明确包含常规运算。 知识点二、基本解题步骤 1.理解规则：仔细阅读题目，明确新运算符号（如a△b）中字母a、b的含义及运算步骤（如“a△b=2a+3b”表示“第一个数乘2加第二个数乘3”）。 2.代入数值：将具体数值替换规则中的字母（注意字母顺序，如a△b中a是第一个数，b是第二个数，不可颠倒）。 3.按规则计算：严格按照规则的运算顺序（如先算括号内、再算乘除等）逐步计算，得出结果。 知识点三、核心题型与技巧 题型1：直接计算型（根据规则直接代入计算） 核心技巧：明确字母对应位置，直接代入规则公式计算。 题型2：反求未知数型（已知运算结果，求其中一个字母的值） 核心技巧：将结果代入规则，得到关于未知数的方程，解方程求出未知数。 题型3：规律探究型（通过多个计算结果，发现新运算与常规运算的关系或规律） 核心技巧：计算多个特殊值（如a=1,b=1；a=2,b=3等），观察结果与常规运算（如a+b、a×b、a²等）的联系，总结规律。 题型4：综合应用型（结合多个新运算规则或常规运算） 核心技巧：分步计算，先处理内层新运算，再处理外层运算；若涉及多个新运算符号，分别按各自规则计算。 知识点四、常见错误提醒 1.运算顺序错误：未按新运算规则中的顺序计算（如规则a△b=a+b×2，错算成(a+b)×2，正确应为a+(b×2)）。 2.符号混淆：将新运算符号误认为常规运算符号（如将“”误认为乘法，忽略题目定义的“ab=a-b+1”规则）。 3.代入数值错误：代入时字母位置颠倒（如规则a○b=3a-2b，计算2○3时错代入为3×3-2×2=5，正确应为3×2-2×3=0）。 例题讲解 一、直接计算型 核心技巧：明确字母对应位置，直接代入规则公式计算。 例题1 定义新运算“※”：，计算。 跟踪练习1 定义新运算“△”：，计算。 二、反求未知数型 核心技巧：将结果代入规则，得到关于未知数的方程，解方程求出未知数。 例题2 定义新运算“○”：，若，求。 跟踪练习2 定义新运算“□”：，若，求。 三、规律探究型 核心技巧：计算多个特殊值，观察结果与常规运算的关系，总结规律。 例题3 定义新运算“#”：a#b = a×b - a - b，计算：（1）2#3；（2）3#4；（3）4#5，通过结果发现a#b与常规运算的关系。 跟踪练习3 定义新运算“&”：，计算，，，发现的规律（提示：与“1减(1 - a)(1 - b)”比较）。 四、综合应用型 核心技巧：分步计算，先处理内层新运算，再处理外层运算；多个新运算符号分别按各自规则计算。 例题4 定义新运算“☆”：，“◇”：，计算。 跟踪练习4 定义新运算“△”：，“”：，计算。 提升练习 一、直接计算型 1.定义，计算。 2.定义，计算。 二、反求未知数型 3.定义，若，求。 4.定义，若，求。 三、规律探究型 5.定义a#b = a - b + 1，计算1#2，2#1，3#4，4#3，发现a#b与b#a的关系。 6.定义，计算，，，发现与的关系。 四、综合应用型 7.定义，，计算。 8.定义，，计算。 五、综合提升 9.定义（），计算。 10.定义新运算“◎”：（假设规则为，原问题中规则缺失，此处补充示例规则以便详解），若，求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第03讲 定义新运算 知识点梳理 知识点一、基础概念回顾 定义新运算是指用一个自定义的符号（如△、※、○、#等）表示一种特定的运算规则，规则由题目明确给出。其核心是**“规则优先”**：所有运算必须严格按照题目定义的新规则进行，与常规运算（+、-、×、÷）无关，除非规则中明确包含常规运算。 知识点二、基本解题步骤 1.理解规则：仔细阅读题目，明确新运算符号（如a△b）中字母a、b的含义及运算步骤（如“a△b=2a+3b”表示“第一个数乘2加第二个数乘3”）。 2.代入数值：将具体数值替换规则中的字母（注意字母顺序，如a△b中a是第一个数，b是第二个数，不可颠倒）。 3.按规则计算：严格按照规则的运算顺序（如先算括号内、再算乘除等）逐步计算，得出结果。 知识点三、核心题型与技巧 题型1：直接计算型（根据规则直接代入计算） 核心技巧：明确字母对应位置，直接代入规则公式计算。 题型2：反求未知数型（已知运算结果，求其中一个字母的值） 核心技巧：将结果代入规则，得到关于未知数的方程，解方程求出未知数。 题型3：规律探究型（通过多个计算结果，发现新运算与常规运算的关系或规律） 核心技巧：计算多个特殊值（如a=1,b=1；a=2,b=3等），观察结果与常规运算（如a+b、a×b、a²等）的联系，总结规律。 题型4：综合应用型（结合多个新运算规则或常规运算） 核心技巧：分步计算，先处理内层新运算，再处理外层运算；若涉及多个新运算符号，分别按各自规则计算。 知识点四、常见错误提醒 1.运算顺序错误：未按新运算规则中的顺序计算（如规则a△b=a+b×2，错算成(a+b)×2，正确应为a+(b×2)）。 2.符号混淆：将新运算符号误认为常规运算符号（如将“”误认为乘法，忽略题目定义的“ab=a-b+1”规则）。 3.代入数值错误：代入时字母位置颠倒（如规则a○b=3a-2b，计算2○3时错代入为3×3-2×2=5，正确应为3×2-2×3=0）。 例题讲解 一、直接计算型 核心技巧：明确字母对应位置，直接代入规则公式计算。 例题1 定义新运算“※”：，计算。 答案：18 解析：根据规则“”，字母对应第一个数3，对应第二个数4。代入得：原式。 详解：新运算“※”的规则中，符号前的数为，符号后的数为，因此“3※4”中，。代入规则“”，即先计算（）和（），再按常规运算顺序（先乘除后加减）将结果相加，。 跟踪练习1 定义新运算“△”：，计算。 答案：22 解析：规则中对应5，对应3，代入得：原式。 详解：“5△3”中，，代入规则“”，先算（），再减去（），注意运算顺序是先平方后减法（规则中无括号，按常规先乘方后加减）。 二、反求未知数型 核心技巧：将结果代入规则，得到关于未知数的方程，解方程求出未知数。 例题2 定义新运算“○”：，若，求。 答案：15 解析：根据规则，，已知结果为10，可得方程：，两边乘2：，解得：。 详解：新运算“○”中，对应，对应5，代入规则得。因为运算结果是10，所以可列出等式。为解，等式两边同时乘2消去分母（等式性质：等式两边乘同一个数，等式仍成立），得，再两边减5，得。 跟踪练习2 定义新运算“□”：，若，求。 答案：2 解析：规则中，，代入得：，即，移项：，解得：。 详解：“4□x”中，，代入规则“”得。已知结果为8，所以。解方程时，将“”和“8”移项（移项变号），得，即，两边除以2，得。 三、规律探究型 核心技巧：计算多个特殊值，观察结果与常规运算的关系，总结规律。 例题3 定义新运算“#”：a#b = a×b - a - b，计算：（1）2#3；（2）3#4；（3）4#5，通过结果发现a#b与常规运算的关系。 答案：（1）1；（2）5；（3）11；规律：a#b = (a - 1)(b - 1) - 1 解析：（1）2#3 = 2×3 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1；（2）3#4 = 3×4 - 3 - 4 = 12 - 7 = 5；（3）4#5 = 4×5 - 4 - 5 = 20 - 9 = 11；观察结果：；；，故规律为a#b = (a - 1)(b - 1) - 1。 详解：先按规则计算特殊值： （1）2#3 = 2×3 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1； （2）3#4 = 3×4 - 3 - 4 = 12 - 7 = 5； （3）4#5 = 4×5 - 4 - 5 = 20 - 9 = 11。 观察结果1、5、11，尝试与、的常规运算结合： 4.对于2#3 = 1：，，，，与结果一致； 5.验证3#4：，，与结果一致； 6.验证4#5：，，与结果一致。 因此总结规律：a#b = (a - 1)(b - 1) - 1。 跟踪练习3 定义新运算“&”：，计算，，，发现的规律（提示：与“1减(1 - a)(1 - b)”比较）。 答案：0；-1；-1；规律： 解析：；，符合；；，符合；；，符合；规律为。 详解：先计算各特殊值： 4.； 5.； 6.。 根据提示“与1减(1 - a)(1 - b)比较”： 7.对：，与结果1一致； 8.对：，与结果-1一致； 9.对：，与结果-1一致。 因此规律为。 四、综合应用型 核心技巧：分步计算，先处理内层新运算，再处理外层运算；多个新运算符号分别按各自规则计算。 例题4 定义新运算“☆”：，“◇”：，计算。 答案：18 解析：先算内层新运算：根据“☆”规则，；再算外层：根据“◇”规则，。 详解：题目中有括号，需先算括号内的新运算“☆”。“3☆2”中，，代入“☆”规则“”得。括号内结果为7，再算外层新运算“◇”：“7◇4”中，，代入“◇”规则“”得。注意不同新运算符号需分别遵循各自规则，不可混淆。 跟踪练习4 定义新运算“△”：，“”：，计算。 答案：6 解析：先算：；再算：。 详解：先处理括号内的“△”运算：“5△3”中，，代入规则“”得。再用结果12进行外层“”运算：“122”中，，代入规则“”得。分步计算时，每一步只关注当前的新运算规则，避免混淆。 提升练习 一、直接计算型 1.定义，计算。 答案：-7 解析：代入，，原式。 详解：“2※3”中，，代入规则“”，先算乘法：，，再算减法：（注意结果为负数时符号不要遗漏）。 2.定义，计算。 答案：7 解析：代入，，原式。 详解：规则中“”是单独的运算（无括号），因此先算除法，再算加法，不可错算成（规则中没有括号，需按常规先乘除后加减）。 二、反求未知数型 3.定义，若，求。 答案：4 解析：代入得。 详解：“x△4”中，，代入规则“”得。已知结果为20，所以。方程两边减12得，两边除以2得。 4.定义，若，求。 答案：4 解析：代入得。 详解：“5y”中，，代入规则“”得。已知结果为27，所以。方程两边除以3得，两边减5得。 三、规律探究型 5.定义a#b = a - b + 1，计算1#2，2#1，3#4，4#3，发现a#b与b#a的关系。 答案：0；2；0；2；关系：a#b + b#a = 2 解析：1#2 = 1 - 2 + 1 = 0，2#1 = 2 - 1 + 1 = 2，；3#4 = 3 - 4 + 1 = 0，4#3 = 4 - 3 + 1 = 2，，故a#b + b#a = 2。 详解：计算各值： 1#2 = 1 - 2 + 1 = 0，2#1 = 2 - 1 + 1 = 2，两者相加：； 3#4 = 3 - 4 + 1 = 0，4#3 = 4 - 3 + 1 = 2，两者相加：。 观察发现，交换和的位置后，两次运算结果之和均为2，因此关系为a#b + b#a = 2。 6.定义，计算，，，发现与的关系。 答案：4；10；18；关系： 解析：，，，均为减2，故关系为。 详解：直接观察规则“”，发现运算结果就是与的乘积减去2。验证各值： ，，与一致； ，，与一致； ，，与一致。 因此关系为（即新运算结果比和的常规乘积少2）。 四、综合应用型 7.定义，，计算。 答案：11 解析：先算；再算。 详解：先算括号内的“☆”运算：“1☆2”中，，代入规则“”得。再算外层“△”运算：“4△3”中，，代入规则“”得。注意不同符号对应不同规则，分步计算时每一步仅使用当前符号的规则。 8.定义，，计算。 答案：10 解析：先算；再算。 详解：先处理括号内的“”运算：“31”中，，代入规则“”得。再算外层“○”运算：“8○4”中，，代入规则“”得。注意“○”规则中是“”，而非“”，需按常规运算顺序先算除法再算加法。 五、综合提升 9.定义（），计算。 答案： 解析：先算；再算（注：原问题中“答案：解析：”可能遗漏，此处按规则计算，若题目有误以实际为准）。 详解：先算内层“△”运算：“2△3”中，，代入规则“”得。再算外层“△4”：此时，，代入规则得（若题目中“答案：解析：”部分有特定值，需以题目为准，此处按规则演示详解过程）。 10.定义新运算“◎”：（假设规则为，原问题中规则缺失，此处补充示例规则以便详解），若，求。 答案：3（按示例规则计算：） 详解：假设规则为“”，“2◎x”中，，代入得。交叉相乘得，展开得，移项得，即，解得（具体规则需以题目为准，此处仅演示反求未知数的详解步骤）。 学科网（北京）股份有限公司 $