22.1 二次函数的图象和性质 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理 一般地，形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中， 是自变量，a,b,c分别是函数解析式的 和 当堂练习 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是 A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D=+是 2.对二次函数y=一x2一1的二次项系数a,一次项系数b,常数项c描述正确的是（) A.a=-1,b=-1,c=0 B.a=-1,b=0,c=1 C.a=-1,b=0,c=-1 D.a=1,b=0,c=-1 3.菱形的两条对角线的和为26cm,则其面积S(cm)与一条对角线的长x(cm)的关系式 为 ,自变量的取值范围是 4.有一长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm.若在长、宽上分别剪去宽 -8 cm 为xcm(x<6)的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y与x6cm 的关系式为 ,自变量x的取值范围为 5.写出下列各函数解析式，并判断是不是二次函数. (1)直角三角形的两直角边的和为40cm,其中一条直角边长为x(cm),直角三角形的面 积为S(cm),写出S与x之间的函数解析式； (2)圆的面积S与半径r之间的函数解析式； (3)正方形的面积y与边长x之间的函数解析式： (4)圆的周长C与半径r之间的函数解析式. ·10· 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理 ①一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向 ,对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是 抛物线的最 点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线y=ax2的开口向 ,对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最 点，a越小，抛物线的开口 越 ②如果a>0,当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大， 如果a<0,当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. ③抛物线y=a.x2和y=一ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x 轴对称，也关于原点对称 当堂练习 1.关于二次函数y=6x2与y=-6x2,下列叙述正确的有 ①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过点 (0,0);④二次函数y=6x2的图象开口向上，二次函数y=一6x2的图象开口向下；⑤它 们的图象关于x轴对称， A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.当一1≤x≤3时，二次函数y=一x2的最小值是 ,最大值是 3.如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y=ax;②y=bx2;③y=cx2; ④y=dx2.比较a,b,c,d的大小，用“>”连接为 ①② ③④ (第3题图) (第4题图) 4.如图，正方形的边长为4，山是函数)y=2的图象，山：是函数=一的图象，则阴影 部分的面积是 5.二次函数y=ax2的图象与直线y=2x一1交于点P(1,m). (1)求a,m的值； (2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴. ·11 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识梳理 ①抛物线y=ax2十k(a≠0)的对称轴是 ,顶点坐标是 .当a>0时，抛物线的 开口向 ,顶点是抛物线的最 点，当x=0时，y有最 值是 ;当a<0时， 抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点，当x=0时，y有最 值是 ②把抛物线y=Q.x2向上或下平移，可以得到抛物线y=ax2十.平移的方向、距离要根据 k的值来决定 当堂练习 1.在同一平面直角坐标系内，图象不可能由函数y=2x2十1的图象通过平移变换得到的 函数是 ( ) A.y=-5+2x2 B.y=2x2+3 C.y=2x2-10 D.y=72-1 2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)三点都在抛物线y=2x2一3的图象上，则y1, y2,y3的大小关系是 ( A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y3>y1>y2 D.y3<y1<y2 3.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2十c和一次函数y=a,x+十c的图象可能是（ 4.已知二次函数图象的对称轴为y轴，顶点是(0,4)，且经过点（一1，一2）. (1)写出这个二次函数的解析式； (2)在对称轴的右侧，y随x的变化情况是怎样的？ (3)这个函数的最大（或最小）值是多少？ ·12· 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①二次函数y=a(x-h)2的图象是 ,对称轴是直线 ,顶点坐标是 如果a>0,开口向 ,当x<h时，y随x的增大而 ,当x>h时，y随x的增 大而 ;如果a<0,开口向，当x<h时，y随x的增大而 ,当x>h时， y随x的增大而 ②抛物线y=a(x一h)2可由抛物线y=ax2沿x轴左右平移得到：当h>0时，向 平 移 个单位长度；当h<0时，向平移 个单位长度. 当堂练习 1.抛物线y=一3(x十1)2不经过的象限是 ( A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限 2.将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( A.向左平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向下平移1个单位长度 3.抛物线y=一 (x-8) 的开口方向向 ,顶点坐标是 ,对称轴是直线 4.已知A(-1,y1),B(一2，y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上，则 yy2,y的大小关系是 .(用“>”号连接) 5.已知二次函数y=一2(x十h)2,当x<一3时，y随x的增大而增大；当x>一3时，y随x 的增大而减小，则当x=1时，y的值为 6.已知函数y=(x一1)2，请画出函数图象，根据图象解答下列问题： (1)求当-2≤x≤-1时，y的取值范围； (2)求当0≤x≤3时，y的取值范围. 4-29 ·13· 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识梳理 ①抛物线y=a(x一h)2十k的对称轴是直线 ,顶点坐标是 .增减性同抛物 线y=a(x-h)2. ②抛物线y=a(x-h)2+k与y=a,x2的 相同，不同.把抛物线y=ax2向上 (下)向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x一h)2十k.平移的方向、距离要根据 的 值来决定. 当堂练习 1.将抛物线y=2(x一4)2一1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移 后所得抛物线的函数解析式为 A.y=2.x2+1 B.y=2x2-3 C.y=2(x-8)2+1 D.y=2(x-8)2-3 2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x一2)2+1，下列说法错误的是 A.y的最小值为1 B.图象的顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x=2 C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x>2时，y的值随x值的增大而减小 D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 3.如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称 y=-m)n 轴相同，则下列关系不正确的是 A.k=n B.h=m C.k<n D.h<0,k<0 y=-I(x-h)+k 4.若抛物线y=(x一m)2十m十1的顶点在第一象限，则m的取值范围为 A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1<m<0 5.已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x-1)2-2上，点A在点B左侧，下列 选项正确的是 A.若c<0,则a<c<b B.若c<0,则a<b<c C.若c>0,则a<c<b D.若c>0,则a<b<d ·14· 22.1.4二次函数y=ax2+b+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 知识梳理 抛物线y=ax2十bx十c的对称轴是 ,顶点是 当堂练习 1.抛物线y=一3x2+6x+2的对称轴是 A.直线x=2 B.直线x=-2 C.直线x=1 D.直线x=-1 2.二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)的大致图象如图所示.关于该二次函数，下列说法错误 的是 A.函数有最小值 成对称轴是直线=司 C.当x<时y随x的增大而减小 23 D.当-1<x<2时，y>0 3.二次函数y=-2x2-4x十5的最大值是 4.把抛物线)一2+2x1化成y=a(x一a)2+k的形式是 ,该图象的 对称轴是直线 ,顶点坐标为 5.把抛物线y=2x2一4x十3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=22经过平移得到抛物线y=号2一2，其对称 轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ·15· 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识梳理 ①一般式y=a.x2十bx十c:已知图象上任意三点坐标或三对x,y值，分别代入一般式，可以 求得函数解析式. ②顶点式y=a(x-h)2十k:已知抛物线 坐标和另一点坐标，可求得解析式. 3交点式y=a(x一x)(x一x2):其中x1,x2是图象与x轴两交点的横坐标. 当堂练习 1.如果二次函数y=a.x2十bx,当x=1时，y=2;当x=一1时，y=4,那么a,b的值是( ) A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1 C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1 2.二次函数y=一x2+bx十c的图象的最高点是（一1，一3），则b,c的值分别是( A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4 C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4 3.若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点(-3,0)，则它的解析式为 4.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为m的喷水管喷水最 大高度为4m,此时距喷水管水平距离为号m.在如图所示的平面直角坐标 系中，这支喷泉的函数解析式是 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx十c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,一3).请 写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=一x上，并写出平移后抛物 线的函数解析式。 ·16·“21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0 一pg②二次项系数不为0△0 当堂练习 1.B2.B3.434.-15.解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2-4(2a十5)>0，解得 a<2:(2)由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x=2a十5.：x十x-x1x2≤30，∴.(x +x,)2-3x≤30,36-3(2a+5)≤30，a≥-号.：a为整数，且a<2,…a的值 为-1,0,1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1.B2.103.a(1十m)24.解：设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，得号x(x 1)=28.整理，得x2-x一56=0.解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去）.答：应邀请8 个球队参加比赛，5.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据题 意，得[10(x十3)十x](10x十x十3)=1300.整理，得x2+3x-10=0.解得x1=-5(不 符合题意，舍去)，x2=2.∴.10(x十3)十x=10×(2十3)十2=52.答：这个两位数为52. 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.C2.251003.解：设该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)2=216.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该超 市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%.4.解：(1)设年销售量y与销售单 价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx+b,得 356士b二550解得二。10故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x 40k十b=500, b=900. 十900：(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数 量为（一10x十900）台.根据题意，得(x一30)（一10x十900）=8000.整理，得x2一120z 十3500=0.解得z=50,x2=70.:此设备的销售单价不得高于60万元，∴x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. 第3课时几何图形问题 当堂练习 1,B2.(50+2x)(30十2x)=18003.解：设AB的长为xm,则BC的长为59-2x+ 1=(60-2x)m.根据题意，得x(60-2x)=400.整理，得x2-30x十200=0.解得x1= 10,x2=20.当x=10时，60-2x=40>36,不符合题意，舍去.当x=20时，60-2x=20 <36,符合题意.AD的长为20m.4.解：设横彩条的宽为2xcm,则竖彩条的宽为 3xcm.根据题意，得(20-2x)(30-3x)=(1-19%)×20×30.整理，得x2-20x十19= 0.解得x1=1,x2=19.当x=19时，2x=38>20,不符合题意，舍去.∴.x=1.答：横彩条 的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm. 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理 y=ax2十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 当堂练习 1.C2.C3.S=-2r+13x0<r<264y=x-14x+480<x<6 5.解：1)S=一立元+20x,是二次函数：(2)S=w,是二次函数：(3)y=2,是二次函 数；(4)C=2πr,不是二次函数. 22.1.2二次函数y=a,x2的图象和性质 知识梳理 ①上低下高小②0>00>0 当堂练习 1.A2.-903.a>b>d>c4.85.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2 ×1-1=1,.点P的坐标为(1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×1,解得a=1.故 a=1,m=1;(2)二次函数的解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大；(3)顶点 坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k 第43页（共48页） 当堂练习 1.D2.C3.B4.解：(1)y=-6x2+4;(2)在对称轴的右侧，即当x>0时，y随x的 增大而减小：(3)当x=0时，y有最大值，是4， 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①抛物线x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左h 当堂练习 1.A2.D3.下 x= 4.y2>y1>y35.-326.解：列表如下： 2 3 y 0 9 … 描点、连线如图 y=(x1)2(1)当-2≤x≤-1时，y的取值范围是4≤y 12四21.1.6 ≤9：(2)当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识梳理 ①x=h(h,k)②形状位置h,k 当堂练习 1.A2.C3.A4.B5.D 22.1.4二次函数y=ax2+b.x+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 知识梳理 x=-2 b Aac-b 、-2a,4a 当堂练习 1.C2.D3.74.y=2(x+2)2-3 x=-2(-2,-3)5.y=2x2+16.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识梳理 ②顶点 当堂练习 1A2.D3.y=-4x+2+4或y=-4x-16x-12)4y=-10(-号）十4 (或y=一10r十10x+受)5.解：设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)(x一3).把 C(0,-3)代入，得3a=-3,解得a=-1.故抛物线的函数解析式为y=-(x-1)(x 3),即y=一x2十4x一3=一（x一2)2十1，∴.顶点坐标为(2,1)，∴.可先将抛物线向左平 移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，此时抛物线的函数解析式为y=一x,其 顶点(0,0)落在直线y=一x上.（答案不唯一） 22.2二次函数与一元二次方程 知识梳理 ②无 两 当堂练习 1.B2.D3.4或-8或-24.(1)x1=-1,x2=2(2)x-1或x≥25.解：(1) :y=x2-4x十3a十2=(x-2)2十3a-2,其性质有：①开口向上；②有最小值3a-2; ③对称轴为直线x=2:(答案不唯一)(2)令x2-4x十3a十2=2x-1,整理为x2-6x 十3a十3=0..△=(-6)2-4×1×(3a十3)=24-12a>0,解得a<2.把x=4代入y =2x-1,得y=2×4-1=7.:二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1 的图象有两个交点，.当x=4时，二次函数的函数值大于或等于一次函数的函数值， 即16-16+3a+2≥1，解得。≥号.故a的取值范围为号≤a<2. 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 当堂练习 1.C2.S=-x2十10x5253.338m24.解：根据题意，得y=20x(90-x),即y 第44页（共48页） =-20x2十1800x=-20(x-45)2+40500.:-20<0,∴.此抛物线的开口向下.：对 称轴为直线x=45,∴.当x=45时，y有最大值，y最大=40500.答：当底面的宽x为 45cm时，抽屉的体积最大，最大值为40500cm3. 第2课时二次函数与商品利润问题 当堂练习 1C2.1213解：1y=(-5(10-09×5)=-10x+210z-80:(2)令y= -10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13.:-10<0,.抛物线的开口向下.y ≥240，当天销售单价所在的范围为8C1≤13：(3)：号<80%，∴x≤9,6≤≤ 9.由(1)，得y=-10x2十210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.,-10<0,.此抛物 线的开口向下.：对称轴为直线x=10.5,∴.当6≤x≤9时，y随着x的增大而增大， .当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-10.5)2十302.5=280.答：每件文具的 售价为9元时，当天获得的利润最大，最大利润为280元. 第3课时抛物线形实际问题 当堂练习 1.B2.B354485y=一号(x十6)十46解：1)由题意，得点B的坐标为 0,0,点C的坐标为(3，号)把点B0,,C(3,号)代入y=-言r+c+c,得 17、 4=C, 口×3十3十解得：该抛物线的函数解析式为y石牛2江十 2 6 “)y=-6x+2z+4=一6（红一6）+10，拱顶D到地面0A的距离为10m:(2)由 题意，得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0).当x=2或x=10时，y= 车能安全通过：(3)由函数图象可知，当y=8时四 1 小.当y=8时，6x+2x十4=8，整理，得x2-12x+24=0,解得西=6+2√3，x= 6-2√3.∴.两排灯的水平距离最小是6十23-(6-2√3)=4√3(m). 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 知识梳理 ①旋转旋转中心旋转角②(1)相等(2)旋转角(3)全等 当堂练习 1.A2.B3.C4.70°5.2√5 第2课时旋转作图 当堂练习 1.C2.A3.(5,2)4.解：(1)如图，△ABC和线段AB1,BA即为所求； (2)易得四边形ABAB是菱形，S两4B=宁×6X4=12. -4 23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理 ①180°对称中心对称对称中心②对称中心平分全等 当堂练习 1.D2.B3.(41w3)4.解：如图. 23.2.2中心对称图形 知识梳理 ①180°重合中心对称图形对称中心 第45页（共48页）