21.1 一元二次方程&21.2 解一元二次方程 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

为y=mx+m把C(0,2)和B1,-3)代人，得2， 解得m=5直线CB -3=m十n, }n=2. 的解析式为y=-5x十2.把y=0代入y=-5x十2，得0=-5x十2，解得x=台.“点 P的坐标为（号0）2.解：1）y=--x+2(2)由1)，得此抛物线的解析式为y =-x2-x十2，令y=0,得B(1,0).设M(m,-m2-m十2).根据S△oM=2S△0c,得 号A0.一i-m+2=2X号B0.C0,号X2X-m2-m+21=2,m2+m-2 =2,m十m一2=2或m十m-2=一2，解得m=二1生亚或0或-1“点M的坐 2 标为(1十正，-2)或(2正，-2)或02》或-1,2：(8)易得直线AC的解 析式为y=x十2.设N(a,a十2)(-2≤a≤0)，则D(a,-a2-a十2)，∴.DN=(-a2-a +2)-(a十2)=-a2-2a=-(a+1)2+1.-2<-1<0,.当a=-1时，DN有最 大值，最大值为1， 专练（五）二次函数的图象和性质(3)—实际应用 1,解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx十b(k≠0).根据题意，得 /20k士b-330解得怎10：y关于x的函数解析式为y=-10x+53017 25k+b=2800, b=5300. ≤x≤53)：(2)设月销售利润为e元，则w=(x-17)(-100x+5300)=-100x2+ 7000x一90100=-100(x-35)2+32400..-100<0,.此抛物线开口向下..当x =35时，取得最大值，最大值为32400.答：当销售单价为35元/件时，月销售利润最 大，最大利润是32400元.2.解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(2,3)，经过 A(8,0),∴.可设抛物线的函数解析式为y=a(x-2)2十3，把点A(8,0)代入，得36a十3 =0,解得a=一立：抛物线的函数解析式为y=一古红-2)十3：(2)当=0时y 立×4十3=号>24球不能射远球门， 专练（六）图形的旋转 1.解：(1)如图，△ABC即为所求，点A的坐标为(-2，-4)：(2)如图，△A2BC2即 为所求，点A2的坐标为(4,0). 2.解：(1)：△ABC为等边三 角形，∠BAC=60°，AB=AC.:线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,.AP =AQ,∠PAQ=60°，.∠BAC=∠PAQ,.∠BAC-∠PAB=∠PAQ-∠PAB,即 ∠CAP=∠BAQ.在△APC和△AQB中，：AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ, ∴△APC≌△AQB(SAS),.CP=BQ:(2)连接PQ.AP=AQ,∠PAQ=60°， △APQ为等边三角形.AP=6,.PQ=AP=6.:CP=10,∴BQ=10.BP+ PQ=8十6=10=BQ△BPQ为直角三角形，∠BPQ=90.易得Saw=号×6 X3万=9尽，S50=Sm十Sw=号×6X8+9V万=24十9V反，3.解：发 现：AD⊥BEAD=BE探究：如图②，延长BE交AC于点G,交AD于点F. ∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE,即∠DCA=∠ECB. :△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°，.CD=CE,CA= CB,∴△CAD≌△CBE(SAS),∴.AD=BE,∠DAC=∠EBC.又：∠BGC=∠AGF, ∴∠AFG=∠GCB=90°，∴.AD⊥BE;应用：如图③，将DE绕点D顺时针旋转90°，得 线段DF,连接EF,AF,由旋转的性质，得∠EDF=90°，DF=DE=√2，∴.EF= /DE+DF严=√（√2）2十(W2)2=2.:四边形ABCD是正方形，∴AD=CD,∠CDA =90°，.∠ADE+∠EDF=∠ADE+∠CDA,即∠ADF=∠CDE,.△ADF≌ △CDE(SAS),AF=CE.:AE-EF≤AF≤AE+EF,3-2≤AF≤3+2，即1≤ AF≤5，.1CE5, 第40页（共48页） 专练（七）与圆有关的计算或证明 1.解：(1)AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC.AB=AC,∴BE=CE.AE= EF,.四边形ABFC是平行四边形.AC=AB,.四边形ABFC是菱形；(2)设CD= x,则AB=AC=7十x.由(1)知BC=2BE=4,连接BD.'AB是半圆的直径，.∠ADB =∠BDC=90°，∴.AB2-AD2=CB2-CD,.(7十x)2-72=42-x2,解得x=1或-8 (不合题意，舍去).∴AB=8,∴BD=√8-7=√5，S装C=2Sa=2X号BD· AC=号×2XV压×8=8压，Sm=号·π·(8÷2)2=8m:2.解：1)AE与⊙0相 切，理由如下：连接OA,AD.:CD为⊙O的直径，∴.∠DAC=90°.：∠ADC=∠B= 60°，∴.∠ACE=90°-∠ADC=90°-60°=30°.又AE=AC,OA=OD,∴∠E= ∠ACE=30°，∠DAO=∠ADO=60°，.∠EAD=∠ADO-∠E=60°-30°=30°， .∠EAO=∠EAD+∠DAO=30°+60°=90°，.OA⊥AE.又：OA是⊙O的半径， .AE与⊙O相切；(2)AE=AC,AC=6,.AE=6.由(1)可知△AOE为直角三角形， 且∠E=30°，∠AOD=60°，则OE=2OA.由勾股定理，易得OA=2√3.∴.S阴影= SaE-Sa0w=合×6x25-0XgB)=6万-2元 360 专练（八）概率初步 1.D2.3 3解：(1)2(2)根据题意，可以画出如下的树状图： 个个个 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 12种，这些结果出现的可能性相等，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果有10 种，所以P先后丙次镇出不同颜色的两个球)-吕-号4解：1150(2)选择K 跑”的人数为150×10%=15（人），.选择“铅球”的人数为150-30-45-15-15= 45(人).一表示“铅球”的扇形周心角度数是360×品=108，(3)将“跳高”短跑”“铅 球”分别记为A,B,C.根据题意，可以画出如下的树状图：小幸术尺术由树状 小文ABCABCABC 图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中两人恰 好选择同一种比赛项目的结果有3种，所以P(两人恰好选择同一种比赛项日)=召 9 期未复习综合测试 1B2.B3.C4C5C6.C7.C8.A9.(3,0)10.30或150°1.号+ 12.(W2w6)13.解：1)：a=1,b=m=m+3,c=2m,∴△=(m+3)°-8m=m- 2 2m十9=(m-1)+8..(-1)2≥0，.(m1)十8>0，即△>0，.方程总有两个不 等的实数根；(2)由题意可知△=n2-4×1×2m=n2-8m=0,即n=8m.当n=-2,m =时，方程为x2-2x十1=0，解得1=x2=1(答案不唯一）.14.解：(1)抛物线的 解析式为y=x2-2x-3;(2)设F(x,x2-2x-3)(-1<x≤4).设直线AB的解析式为 y=k红+6，把点A(-1,0),B(4,5)代入，得0=一+b ”5=4k+b, 解得1， 直线AB的解析 b=1. 式为y=x十1.·EF∥y轴，E(x,x十1)，∴.EF=x十1-(x2-2x-3)=-x2十3x十4 =-(一多)+空∴当x=受时，线段EF的最大值为华。15.解：1P0/C.证 明如下：由折叠的性质可得∠APO=∠CPO.:OA=OP,.∠A=∠APO,∴∠A= ∠CPO.:∠A=∠PCB,∴.∠PCB=∠CPO,.PO∥BC;(2)CD是⊙O的切线， .OC⊥CD.CD⊥AP,.AP∥OC,∴.∠APO=∠POC.:∠AOP=∠POC, .∠APO=∠AOP,∴AP=AO=OP,∴△AOP是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠PCO =∠A=60°.：AP∥OC,∴.∠DPC=∠PCO=60°，∴.∠DCP=30°，.PC=2PD,即 AO=AP=PC=2PD..AB=2AO,..AB=4PD. 第41页（共48页） 随堂反馈答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①整式一2②ax2十bz十c=0(a≠0)ax2 a bx b c③相等根 当堂练习 1.D2.A3.B4.x2十5x-2=015-25.解：(1)由题意，得(m十3)(m-3) =0且m十3≠0时，方程是一元一次方程，所以m-3=0,解得m=3;(2)由题意，得(m +3)(m一3)≠0时，方程是一元二次方程，所以m≠士3. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①(1)两个不等x1=一√D,x2=√D(2)两个相等x1=x=0(3)无②降次 当堂练习 1.A2C3.D4.3-75.解：(x+1D=号，x+1= 3,x1=- 3,2 含2)2x+1=士8=-2，=1. 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①完全平方形式②(1)1 当堂练习 1.D2.A3.士3土号4号是5解：1配方，得x+6x十32=-7+3，（红 十3P=2.由此可得x十3=士E,=-3+厄，=-3-E:(2)移项，得受+子 =3.二次项系数化为1，得x+日=2配方，得+子中（行）=2+（名）(+ 名)广器由此可得十名=士号黑=-3=子 21.2.2公式法 知识梳理 ①b2-4ac两个不等的两个相等的无②-4ac≥0 当堂练习 1.B2.D3.40-3+而-3-瓜4.c<-5.解：1)方程化为2-4红 -4=0.a=1,b=-4,c=-4.△=b-4ac=16-4×1×(-4)=32>0.方程有两个不 等的实数根=b士4@=4√厘_4生4区=2士2厄，即=2十22，=2 2a 2×1 2 -2√2；(2)方程化为3x2-5x-6=0.a=3,b=-5,c=-6.△=b-4ac=25-4×3× （一6)=97>0.方程有两个不等的实数根x=-6±-4@=5去厘=5±厘，即 2a 2×3 6 ,+ 6 2,=5-7 6 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①因式分解法 当堂练习 1.D2.C3.D4.1或-25.解：(1)a=5,b=-2,c=-1.△=-4ac=(-2)2-4 X5X(-1)=24>0,方程有两个不等的实数根x=b士B-4a=-(-2)±V2网 2×5 =1±5，即=1+6，=1E,(2)移项，得2一6x=一1，配方，得-6r十3 5 5 5 -1十3，(x-3)=8.由此可得x-3=士2√2，x1=3十2√2，x2=3-2√2；(3)移项整 理，得x(3x十5)-2(3x十5)=0.因式分解，得(x-2)(3x十5)=0.于是得x-2=0,或 3x十5=0,4=2，=-号：4原方程可变形为x-3x-4=0.a=1,6=-3c=-4 △=b-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0,方程有两个不等的实数根x= -b±—4ac=-(-3)±/压=35，即x1=4,x=-1. 2a 2×1 2 第42页（共48页） “21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0 一pg②二次项系数不为0△0 当堂练习 1.B2.B3.434.-15.解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2-4(2a十5)>0，解得 a<2:(2)由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x=2a十5.：x十x-x1x2≤30，∴.(x +x,)2-3x≤30,36-3(2a+5)≤30，a≥-号.：a为整数，且a<2,…a的值 为-1,0,1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1.B2.103.a(1十m)24.解：设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，得号x(x 1)=28.整理，得x2-x一56=0.解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去）.答：应邀请8 个球队参加比赛，5.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据题 意，得[10(x十3)十x](10x十x十3)=1300.整理，得x2+3x-10=0.解得x1=-5(不 符合题意，舍去)，x2=2.∴.10(x十3)十x=10×(2十3)十2=52.答：这个两位数为52. 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.C2.251003.解：设该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)2=216.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该超 市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%.4.解：(1)设年销售量y与销售单 价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx+b,得 356士b二550解得二。10故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x 40k十b=500, b=900. 十900：(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数 量为（一10x十900）台.根据题意，得(x一30)（一10x十900）=8000.整理，得x2一120z 十3500=0.解得z=50,x2=70.:此设备的销售单价不得高于60万元，∴x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. 第3课时几何图形问题 当堂练习 1,B2.(50+2x)(30十2x)=18003.解：设AB的长为xm,则BC的长为59-2x+ 1=(60-2x)m.根据题意，得x(60-2x)=400.整理，得x2-30x十200=0.解得x1= 10,x2=20.当x=10时，60-2x=40>36,不符合题意，舍去.当x=20时，60-2x=20 <36,符合题意.AD的长为20m.4.解：设横彩条的宽为2xcm,则竖彩条的宽为 3xcm.根据题意，得(20-2x)(30-3x)=(1-19%)×20×30.整理，得x2-20x十19= 0.解得x1=1,x2=19.当x=19时，2x=38>20,不符合题意，舍去.∴.x=1.答：横彩条 的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm. 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理 y=ax2十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 当堂练习 1.C2.C3.S=-2r+13x0<r<264y=x-14x+480<x<6 5.解：1)S=一立元+20x,是二次函数：(2)S=w,是二次函数：(3)y=2,是二次函 数；(4)C=2πr,不是二次函数. 22.1.2二次函数y=a,x2的图象和性质 知识梳理 ①上低下高小②0>00>0 当堂练习 1.A2.-903.a>b>d>c4.85.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2 ×1-1=1,.点P的坐标为(1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×1,解得a=1.故 a=1,m=1;(2)二次函数的解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大；(3)顶点 坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k 第43页（共48页） 当堂练习 1.D2.C3.B4.解：(1)y=-6x2+4;(2)在对称轴的右侧，即当x>0时，y随x的 增大而减小：(3)当x=0时，y有最大值，是4， 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①抛物线x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左h 当堂练习 1.A2.D3.下 x= 4.y2>y1>y35.-326.解：列表如下： 2 3 y 0 9 … 描点、连线如图 y=(x1)2(1)当-2≤x≤-1时，y的取值范围是4≤y 12四21.1.6 ≤9：(2)当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识梳理 ①x=h(h,k)②形状位置h,k 当堂练习 1.A2.C3.A4.B5.D 22.1.4二次函数y=ax2+b.x+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 知识梳理 x=-2 b Aac-b 、-2a,4a 当堂练习 1.C2.D3.74.y=2(x+2)2-3 x=-2(-2,-3)5.y=2x2+16.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识梳理 ②顶点 当堂练习 1A2.D3.y=-4x+2+4或y=-4x-16x-12)4y=-10(-号）十4 (或y=一10r十10x+受)5.解：设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)(x一3).把 C(0,-3)代入，得3a=-3,解得a=-1.故抛物线的函数解析式为y=-(x-1)(x 3),即y=一x2十4x一3=一（x一2)2十1，∴.顶点坐标为(2,1)，∴.可先将抛物线向左平 移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，此时抛物线的函数解析式为y=一x,其 顶点(0,0)落在直线y=一x上.（答案不唯一） 22.2二次函数与一元二次方程 知识梳理 ②无 两 当堂练习 1.B2.D3.4或-8或-24.(1)x1=-1,x2=2(2)x-1或x≥25.解：(1) :y=x2-4x十3a十2=(x-2)2十3a-2,其性质有：①开口向上；②有最小值3a-2; ③对称轴为直线x=2:(答案不唯一)(2)令x2-4x十3a十2=2x-1,整理为x2-6x 十3a十3=0..△=(-6)2-4×1×(3a十3)=24-12a>0,解得a<2.把x=4代入y =2x-1,得y=2×4-1=7.:二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1 的图象有两个交点，.当x=4时，二次函数的函数值大于或等于一次函数的函数值， 即16-16+3a+2≥1，解得。≥号.故a的取值范围为号≤a<2. 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 当堂练习 1.C2.S=-x2十10x5253.338m24.解：根据题意，得y=20x(90-x),即y 第44页（共48页） =-20x2十1800x=-20(x-45)2+40500.:-20<0,∴.此抛物线的开口向下.：对 称轴为直线x=45,∴.当x=45时，y有最大值，y最大=40500.答：当底面的宽x为 45cm时，抽屉的体积最大，最大值为40500cm3. 第2课时二次函数与商品利润问题 当堂练习 1C2.1213解：1y=(-5(10-09×5)=-10x+210z-80:(2)令y= -10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13.:-10<0,.抛物线的开口向下.y ≥240，当天销售单价所在的范围为8C1≤13：(3)：号<80%，∴x≤9,6≤≤ 9.由(1)，得y=-10x2十210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.,-10<0,.此抛物 线的开口向下.：对称轴为直线x=10.5,∴.当6≤x≤9时，y随着x的增大而增大， .当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-10.5)2十302.5=280.答：每件文具的 售价为9元时，当天获得的利润最大，最大利润为280元. 第3课时抛物线形实际问题 当堂练习 1.B2.B354485y=一号(x十6)十46解：1)由题意，得点B的坐标为 0,0,点C的坐标为(3，号)把点B0,,C(3,号)代入y=-言r+c+c,得 17、 4=C, 口×3十3十解得：该抛物线的函数解析式为y石牛2江十 2 6 “)y=-6x+2z+4=一6（红一6）+10，拱顶D到地面0A的距离为10m:(2)由 题意，得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0).当x=2或x=10时，y= 车能安全通过：(3)由函数图象可知，当y=8时四 1 小.当y=8时，6x+2x十4=8，整理，得x2-12x+24=0,解得西=6+2√3，x= 6-2√3.∴.两排灯的水平距离最小是6十23-(6-2√3)=4√3(m). 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 知识梳理 ①旋转旋转中心旋转角②(1)相等(2)旋转角(3)全等 当堂练习 1.A2.B3.C4.70°5.2√5 第2课时旋转作图 当堂练习 1.C2.A3.(5,2)4.解：(1)如图，△ABC和线段AB1,BA即为所求； (2)易得四边形ABAB是菱形，S两4B=宁×6X4=12. -4 23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理 ①180°对称中心对称对称中心②对称中心平分全等 当堂练习 1.D2.B3.(41w3)4.解：如图. 23.2.2中心对称图形 知识梳理 ①180°重合中心对称图形对称中心 第45页（共48页）第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①等号两边都是 ,只含有 个未知数（一元)，并且未知数的最高次数是 (二次)的方程，叫做一元二次方程. ②一元二次方程的一般形式是 .其中 是二次项， 是二次 项系数，是一次项， 是一次项系数，是常数项。 ③使一元二次方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的 当堂练习 1.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x十a2-1=0有一个根为x=0,则a的值 为 A.0 B.±1 C.1 D.-1 2.若x=1是关于x的一元二次方程x2十ax十2b=0的解，则2a十4b等于 A.-2 B.-3 C.-1 D.-6 3.某校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条 件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足 的关系式为 ( A.2xx+1)=28 B7(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28 4.方程(x十3)(2x一1)=x2一1化成一般形式为 ,二次项系数是 次项系数是 ,常数项是 5.已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m十3)x+2=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ ·1 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①一般地，对于方程x2=p. (1)当>0时，根据平方根的意义，方程有 的实数根 ,此 法也叫做直接开平方法； (2)当=0时，方程有 的实数根 (3)当<0时，因为对任意实数x,都有x≥0，所以此方程 实数根. ②用直接开平方法解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“ ”,转化为两 个一元一次方程. 当堂练习 1.方程100x2-1=0的解是 1 1 A.x=10x2= 10 B.x1=10,x2=-10 C.x1=x=10 1 D.x=x2=-10 2.已知b<0,则关于x的一元二次方程(x一1)2=b的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 3.若2x2+3与2x2-4互为相反数，则x的值为 ) A B.2 C.±2 D士2 4.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为a*b=a2一b,根据这个规则，方程 (x十2)*5=0的根为x1=,x2= 5.用直接开平方法解下列方程： (1)3(x+1)2= 3 (2)(2x+1)2=9. ·2 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法. ②用配方法解方程的一般步骤： (1)将二次项系数化为 ,并移项使含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的 右边； (2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，通过配方将方程转化成 (x十n)2=p的形式； (3)若p≥0，则可直接开平方求出方程的解；若<0，则方程无实数根. 当堂练习 1.用配方法解方程x2十8x十9=0，变形后结果正确的是 ( ) A.(x十4)2=-9 B.(x+4)2=-7 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=7 2.一元二次方程x2十px十q=0在用配方法配成(x十m)2=n时，下列说法正确的是( A.m是p的一半 B.m是p的一半的平方 C.m是p的2倍 D.m是p的一半的相反数 3.用适当的数填空：m2 )2 4.把方程2x2+6.x一1=0配方后得(x十m)2=k,则m= ,k= 5.用配方法解下列方程： (1)x2+6x=-7; (2) F2x-3=0. ·3· 21.2.2公式法 知识梳理 ①一般地，式子 叫做一元二次方程ax2十bx十c=0根的判别式，通过常用希腊 字母“△”表示它，即△=b-4ac.△>0台方程ax2+bx十c=0(a≠0)有 实 数根；△=0台方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有 实数根；△<0台方程a.x2+ bx十c=0(a≠0) 实数根 ②一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)，当 时，x=一b士F一4ac Za 当堂练习 1.一元二次方程x2一3x十1=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2-4x十c=0一定有实数根的是 A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0 3.一元二次方程x2+6x=1中，b2-4ac= ,x1= ,x2= 4.若一元二次方程x2十x一c=0没有实数根，则c的取值范围是 5.用公式法解下列方程： (1)x2-2x=2x+4; (2)3x2-6=5x. ·4 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这 两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做 ②用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将方程的一边化为0；(2)将方程另一边分解 成两个一次因式的积的形式；(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 当堂练习 1.方程x(x十1)=3(1+x)的解是 () A.x=-1 B.x=3 C.x1=3,x2=1 D.x1=3,x2=-1 2.解方程x一√2=（√2-x)2最合适的方法是 A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.无法确定 3.方程x2=4x的解为 A.士4 B.0或4 C.4 D.士4或0 4.若代数式x+2的值与x(x十2)的值相等，则x的值为 5.用适当的方法解下列方程： (1)5x2-2x-1=0; (2)x2-6x+1=0; (3)x(3x+5)=6x+10; (4)x2-3x=4. ·5· *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 ①如果ax2+bx十c=0(Q≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x十x2=一，xx2= 如果x2十x十q=0的两根分别为x1,x2,那么x1十x2= ,x1x2= ②在运用一元二次方程根与系数的关系时应注意两个条件：(1) (2) 当堂练习 1.若x=一1是方程x2+x十m=0的一个根，则此方程的另一个根是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两根分别记为x1,x2.若x1=一1，则a一 x一x的值为 A.7 B.-7 C.6 D.-6 3.设x1,x2是方程x2-4x十m=0的两个根，且x1十x2一x1x2=1,则x十x2= m- 4.若关于x的方程x2十(a-1)x十a2=0的两根互为倒数，则a= 5.已知关于x的一元二次方程x2-6x十2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求a的取值范围； (2)若x1十x号-x1x2≤30，且a为整数，求a的值. ·6·