21.2.3 因式分解法&微专题 利用“十字相乘法”解一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

21.2.3 因式分解法 ②基础过关。逐点击破 知识点2用适当的方法解一元二次方程 知识点1用因式分解法解一元二次方程 5.解方程2(5x-1)2=3(5.x-1)最适当的方法 是 () 1.方程中x(x一1)=0的根是 A.直接开平方法 B.配方法 A.x1=0,x2=-1B.x1=0,x2=1 C.公式法 D.因式分解法 C.x1=x2=0 D.x1=x2=1 6.(2024·银川外国语实验学校期中)用合适 2.已知某一元二次方程的两根分别为x1 的方法解方程： 2,x2=一3，则这个方程可能为( (1)(x-2)2=18; A.(x-2)(x+3)=0 B.(x+2)(x-3)=0 C.(x+2)(x+3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 3.用因式分解法解一元二次方程(2x一3)2一 36=0时，要转化成两个一元一次方程求解， 其中的一个一元一次方程是2x-3十6=0， 则另一个一元一次方程是 (2)x2+4x+5=0; 4.用因式分解法解下列方程： (1)2x2-√/5.x=0; (3)(3x-1)2=2(3x-1). (2)9x2-49=0; (3)4x2-8.x=-4. !易错点解一元二次方程时，方程两边 同除以含有未知数的代数式导致漏根 7.小明在解方程(x一7)2=x一7时，只得出一个 根为x=8,其错误原因是 漏掉的一个根是 9第二十一章一元二次方程 能力提升。整合运用 (2)2(x-3)2=x2-9. 8.已知三角形两边的长分别为3和6，第三边 的长为方程x2一12x十35=0的根，则该三 角形的周长为 A.14 B.16 C.16或14 D.以上都不对 9.若关于x的一元二次方程x2-3cx一c十1=0 的一个根为x1=一1，则另一个根为2= 11.新视角新定义对于任意实数m,n,定义运算 “☆”，其运算规则为：m☆n=mm十m2-一n,例 10.用因式分解法解下列方程： 如2☆（一1）=2×（一1）+22一（一1）=3，求方 (1)(3x+2)2-4x2=0; 程x☆(x-1)=1的解. 微专题 利用“十字相乘法”解一元二次方程 阅读材料，我们可以按下面的方法解方程x2十2x一35=0. (1)分解因式x2+2x-35. ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,一35=(-5)×(7)； x-5 ②交又相乘，验中项：→7x-5x=2x x+7 ③横向写出两因式：x2十2x-35=(x-5)(x十7). (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0,则方程x2十2x一35=0可以这样求解： 方程x2十2x一35=0，左边因式分解，得(x-5)(x十7)=0，∴.原方程的解为x1=5,x2=一7. 试用上述方法和原理解下列方程： ①x2+7x+10=0; ②x2-5x-6=0. 数学Ⅱ九年级上册10参考答案 正文答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 基础过关 1.D2.B3.D4.解：(1)4x2-√x=0,二次项系数是4，一次项系数是一√3，常数项 是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1；(3)x2-2x-2= 0,二次项系数是1，一次项系数是-2，常数项是-2.5.C6.57.C8.号x(x-1) =459.A 能力提升 10.D11.B12.202613.解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1. ∴.当k=一1时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k一3=0时，解得k=3,此时方 程为-5.x=2,是一元一次方程；当k一1|=1时，解得k=0,或k=2.方程分别为-3x 一5x=2和一x一5x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程 是关于x的一元一次方程.14.解：(1)设n为任意整数，则两个连续奇数分别为2一 弥1,2m十1，则有(2m-1)2+(2m十1)2=130，化成一般形式为n2-16=0:(2)设该直角三 帐 角形的一直角边长为acm,则另一直角边长为(30-13-a)=(17-a)cm,则有a十 (17-a)2=13,化成一般形式为a2-17a十60=0. 思维拓展 15.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,.2x2十2x-x2十4=22，即x +2x-18=0,它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2+2x 18=0. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 地 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.C34r=64父=16x=士44-44解：1)r=是=士号西 3 3 封 (2)0.6x=3,x2=5,x=±5，m=5,x2=-5:(3)5x2=-5,x2 -1.-1<0,方程无实数根，5.D6.C7.解：(1)(x十1)=5，x十1=士5，x =-1士6,4=-1+6，=-1-后，21-=01-=±号x=1士号x 0 号=号(3)22x-10=4,(2x-1)=2,2x-1=±2x=12,-1+2 1 9 2 2 1-E,4(x-32=5,x-3=±5，x=3士5，x=3+5,x=3-5.8.B = 2 能力提升 9.B10.5(答案不唯-，只要c≥0即可)11.4或-212.解：(1)4x2=1,x2= 号4=7=-合：(242x+10=25,(2x+10=92z+1=士号 3 4x2 :(3)(x-2)=(3-2x),x-2=±(3-2x),x-2=3-2x,或x-2= 7 5 (3-2x),x=3w=1 思维拓展 13.解：(1)由题意，得4△3=42-3=7；(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.两边直接开平方，得x十2=±5，解得x1=3,x2=-7;(3)由题意，得 3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2=0.解方程9-(x-8)2=0,得x1=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为√11'一5=4√6；当11是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为√/1+5=√I46.综上所述，该直角三角形的第三边长 为4√6或√/146. 第2课时用配方法解一元二次方程 基础过关 1.C2.c3.2 (2)424.解：(1)配方，得x2-6x+32=4十32，(x-3)2= 13.由此可得x-3=士x=3十，x:=3-瓜：(2)移项，得+x=配 方，得x+x十（合）=子+()(+号)=1由此可得x+2=士1，=合， 1 第1页（共48页） =-子5D6A7.解：1)二次项系数化为1，得x-2x=子配方，得 2x+=寸+，-1)=至由此可得-1=9出=1+号 1-9(2移 项，得合-合x=-子二次项系数化为1，得2-3x=-2配方，得2-3x十 (受)广=-2+（受）（受）广=子曲此可得-是-±宁=2=1.8D 能力提升 9.D10.二11.解：任务一：配方法等式的性质任务二：x2十2x=3,x2十2x十12 =3+12,(x十1)2=4，x+1=±2，x1=1,x2=-3. 思维拓展 12.解：(1)2-1(2)x2-8x+10=x2-8x+16-6=(x-4)2-6.(x-4)2≥0， .(x-4)2-6≥-6，.代数式x2-8x+10有最小值-6；(3)：a,b,c是△ABC的三边 长，满足a2+6=10a十8b-41,∴.a2+b2-10a-8b+41=0,∴.a2-10a十25+b-8b+ 16=0,.(a-5)2十(b-4)2=0.(a-5)2≥0，(b-4)2≥0，.(a-)2=0,(b-4)2= 0,.a-5=0,b-4=0,解得a=5,b=4..a-b<c<a十b,即5-4<c<5十4，.1<c 9. 21.2.2公式法 基础过关 1.C2.B3.B4.解：(1)a=1,b=4,c=5.△=b2-4ac=4-4×1×5=-4<0.方程 无实数根：(2a=3,6=2,c=号△=公-4ac=2-4X3×号=0，方程有两个相等的 1 实数根；(3)方程化为3x2-5x-3=0.a=3,b=-5,c=-3.△=b-4ac=(-5)2-4×3 ×(一3)=61>0.方程有两个不相等的实数根。51D(2)C(3)m<-言6，A 7.D8.253-29.解：(1)a=1,b=-6,c=4,△=b-4ac=(-6)2-4×1×4= 20>0,方程有两个不等的实数根x=二b士4ac=二（一)士四=3士5，即 Za 2×1 =3+√5，x2=3-5;(2)a=2,b=-3,c=-1,△=6-4ac=(-3)2-4×2×(-1)= 17>0,方程有丙个不等的实数根x=二±历4@c=二（一3)吉亚-3±亚，即 2a 2×2 4 西=3+7 3-√/1 ,x2= 4 4 .10.C 能力提升 11.C12.-8 13.直角14.解：(1)a=1,b=-(2k+1),c=2k,.△=b2-4ac [-(2k十1)]2-4×1×2k=(2k-1)≥0，.无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)由(1)知，a=1,b=-(2k十1)，c=2k,b-4ac≥0，解方程，得x= 2k+1士②h=正，“x=2k,x=1.:该方程有-个实数根大于3,2>3，解得 思维拓展 15.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入原方程，得2a十c-4b十2a 一c=0,∴.4a-4b=0,∴.a=b,.△ABC是等腰三角形；(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,.原方程可化为(2a十a)x2十4ax十2a-a=0,.3a.x2十4ax十a=0.又a> 0,3x2+4十1=04=4-4X3X1=4>0,=二4生厘=二2生1.即x=-1, 2×3 3 1 x2=一 21.2.3因式分解法 基础过关 1.B2.C3.2x-3-6=04.解：(1)因式分解，得x(2x-√5)=0.于是得x=0,或 =0,x=0,发；2)因式分解，得(3x+7)(3x-7)=0.于是得3x-7 3+7=0=子出=子：(3)移项，得4r-8x十4=.因式分解，得2-2=0 7 于是得2x-2=0,x1=x2=1.5.D6.解：(1)x-2=±3√2，x-2=3V2,或x-2= -3√2，x1=2+3W2,x2=2-3√W2:(2)a=1,b=4,c=5.△=b2-4ac=16-4X1X5= -4<0,方程无实数根；(3)移项，得(3x-1)2一2(3x-1)=0.因式分解，得(3x-1)(3x -1一2)=0于是得3-1=0，或3x-1-2=0.x=号=1.7.末考虑x-7=0 x=7 能力提升 8.C9.-210.解：(1)因式分解，得(3x十2十2x)(3x十2-2x)=0,(5x十2)(x十2) 第2页（共48页） 2 =0.于是得5x十2=0，或x十2=0，x1=一号x=一2：(2)移项整理，得2(x-3)2-(x 十3)(x-3)=0.因式分解，得(x-3)[2(x-3)-(x十3)]=0，(x-3)(x-9)=0.于是 得x-3=0,或x-9=0,x1=3,x2=9.11.解：m☆n=mn十m2-n,x☆(x-1)= x(x-1)十x2-(x-1)=2x2-2x十1..x☆(x-1)=1,.2x2-2x十1=1，即x2-x= 0,.x(x-1)=0.解得x1=0,x2=1. 微专题 解：①因式分解，得(x十2)(x十5)=0，于是得x十2=0，或x十5=0，.x1=一2，x2= 一5：②因式分解，得(x一6)(x十1)=0，于是得x一6=0，或x十1=0，.x1=6,x2= -1. 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：1)3x2=27,x2=9,x1=3,x=-3:(2)4(x-2)2=121,(x-2)2=121,z x 4 15 2=士，=3.C4解：D移项，得x十6x=9.配方，得十6 十3=9十32，(x十3)2=18.由此可得x十3=士3√2，x1=-3+3√2，x2=-3-32: (2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x=5.配方，得x2+4x十22=5+ 22,(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5.5.D6.解：(1)a=3,b=-6, c=4.△=B-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数根；(2)a=-3,b=5,c= 2.△=b2一4ac=52一4×（一3）×2=49>0.方程有两个不相等的实数根x= 生证-零=告，即=2=分7.C8解：因式分 2a 2X(-3) 解，得(x-2-5)2=0,(x-7)2=0,于是得x-7=0,x1=x2=7;(2)移项整理，得3(x 十5)十2x(x十5)=0.因式分解，得(x+5)(2x十3)=0.于是得x十5=0，或2x十3=0， 3 西=-5x=一之、9.C10.411.解：(1)设x2=,则原方程可化为y2-3y-4= 0.解得y=4,或y=一1.当y=4时，x2=4,.x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程 无解.∴.原方程的解为x=2,z2=-2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y-11y十18 =0.解得y=2,或y=9.当y=2时，x2-2=2,x2=4,.x=士2.当y=9时，x2-2 =9,∴x2=11,x=士√Π..原方程的解为x1=2,x2=一2，=一√11，x=√11. “21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 1.A2.D3.A4.45.解：1)x十x=-3xx=1:(2)方程可化为3x+x-3 =0.十=-子x=号=-1,6A7解西十西=4西=2.)原式=( 十x2)2-2x1z2=42-2×2=12;(2)原式=x1x2-3(x1十x2)十9=2-3×4十9=-1. 8.C9.-110.3 能力提升 Ⅱ.A12.±713.解：(1)p1(2)”1十x=p,x=1,1十1=+ =号=。.“关于x的一元二次方程x一px十1=0(p为常数)有两个不相等的实数根 1和-p十1=0，以一p叶=0，即石十子=p:3)由根与系数的关系， x 得x1十x2=p,x1x2=1.:x7+x=2p十1，∴.(x1十x)2-2x1x2=2p十1，.p2-2= 2p十1，解得p1=3,p2=-1.当p=3时，A=p2-4=9-4=5>0;当p=-1时，△=p 一4=一3<0，不合题意，舍去；·p=3. 思维拓展 14.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x=2,x2=1.:x1=2x2,.方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)(x-2)(1x十n)=0,.x一2=0，或mx十n=0,·x=2,x2= -”(x-2)(mx十n)=0是“倍根方程”，∴x=2x2,或2=2.当-”=2×2=4 n二4m,即4m十n=0:当二欢三方X2=1时，n=一m,即m十m=0,综上所达 n的关系式为4m十n=0或m十n=0;(3).一元二次方程ax2十bx十c=0(b-4ac≥0) 是“倍根方程”，…设方程的两根分别为t,2,根据根与系数的关系，得什2=一么， . 2=台=品2…（品）（品）=台26=9a心 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.D2.m5且m≠4【变式1】m>5【变式2】m<5且m≠4【变式3】m5 3.解：(1)当m=0时，方程为一2x十2=0，此时方程有实数根：当m≠0时，△=[一（十 2)门2-4m×2=m2-4m十4=(m一2)≥0，此时方程有两个实数根.综上所述，无论m 为何值，方程总有实数根；(2)：原方程可变形为(x一1)(mx一2)=0，·x1=1,x2= 品“方程有两个不相等的正整数根，“品为正整数，且品≠1.又“m为整数，m=1. m 第3页（共48页）