第13-15章阶段巩固卷-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第13-15章阶段巩固卷-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 3．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 4．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 7．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，，，，平分交于点D，于点E，则的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 9．如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点在的平分线上，于点，，点是射线上的一个动点，线段长度的最小值为，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点和点关于y轴对称，则的值为 ． 12．如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 13．已知：，，则 度， ． 14．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 15．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 16．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 三、解答题 17．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 18．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 19．如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 20．如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)连接，直线l与线段的关系是 ； (3)在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 21．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 22．推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线，． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 23．如图（1）：在中，，，过点C在外作直线，于M，于N (1)求证：． (2)如图（2），若过点C在内作直线，于M，于N， ，则图（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 24．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说明】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠如图． （1）试探究重叠部分的形状，并说明理由． （2）求面积的最小值． 【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （3）如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． （4）如图，在线段上找一点，在线段上找一点，使得为等边三角形． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第13-15章阶段巩固卷-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B C C A D C 1．A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握并理解轴对称图形的定义是解决本题的关键. 根据轴对称图形的定义：平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形.解答即可. 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．线段是的高，不是的高，不符合题意； B．线段是的高，不是的高，不符合题意； C．线段是的高，不是的高，不符合题意； D．线段是的高，符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 4．A 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角和等于90度是解题的关键．根据直角三角形两锐角和等于90度求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，由角平分线的性质定理可得，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交于点D，于点E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】由同角的余角相等，结合已知可证，可得，从而可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵和是的高， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余． 10．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握这两个性质是解题关键．根据垂线段最短可以得出时，最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，从而得出答案． 【详解】解：当时，最短， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为，即． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得m、n的值，再代入，进行求值即可． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 13． 15 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．由已知条件，根据全等三角形有关性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 故答案为：，． 14．6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质。掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键． 根据中线的性质计算即可． 【详解】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ，， ， 是的边上的中线， ，， ， ． 故答案为：6． 15． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形面积公式可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长，即当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，， ∵等腰三角形的底边长为4，点D为底边的中点， ∴，， ∵等腰三角形的面积是14， ∴，即， ∴， ∵腰的垂直平分线分别交，于点E、F， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，为， 即的周长的最小值为， 故答案为：． 16．2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 17． 【分析】本题考查了三角形的中线，由三角形中线的定义可得，，进而根据周长即可求解，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分别是边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 18．(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质计算得出的度数，再由三角形内角和定理计算得出的度数，然后由角平分线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 20．(1)见解析； (2)垂直平分； (3)见解析． 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线． （1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线； （3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴的交点即为所求点． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）线段被直线垂直平分． 故答案为：垂直平分； （3）连接交直线于点，则点即为所求点． 理由：∵点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴此时最短． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ． 22．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分别求的度数和的度数． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得出结论； （2）同（1）的过程找出和的度数，二者相加即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且， ， 又是的平分线， ． ， ∴， ， ． （2）解：．理由如下： ． 平分， ． ， ， 23．(1)见解析 (2)不成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用互余关系证明，再证明，得出，，即可得出结论； （2）利用互余关系证明，再证明，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：图（1）中的结论不成立，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 24．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析． 【分析】（1）利用长方形对边平行的性质，结合折叠前后角相等，通过等量代换得出两角相等，进而判定三角形为等腰三角形； （2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出边长最小时面积最小，进而计算； （3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接、，则是等边三角形； （4）以为圆心，的长为半径作弧交于点，过作于点，交于点，交于点，连接，则为等边三角形． 【详解】（1）为等腰三角形，理由： 长方形纸片沿线段折叠， ， ∵四边形是长方形， ∴， ， ， 为等腰三角形． （2）由（1）得， 的面积， 当最小，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小． （3）如图，点即为所求． 由折叠可得， 根据作图可得， ∴， ∴是等边三角形； （4）如图，点与点即为所求． 如图，连接， 由（3）得是等边三角形， ∴，， ∵，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线、长方形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质以及折叠的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $