专题03 一元二次方程的应用（专项训练）数学湘教版九年级上册

专题03 一元二次方程的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、传播问题 1 题型二、增长率问题 2 题型三、营销问题 3 题型四、与图形有关的问题 4 题型五、行程问题 5 题型六、动态几何问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、传播问题 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 5．某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ (2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 题型二、增长率问题 6．据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11，12两月的月平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．今年全球多地持续高温天气，能源需求攀升，我国的煤炭进口量也随之大幅增加．尽管我国坐拥丰富的煤炭产能，但为了优化能源配置，保障工业生产与民生用能的稳定需求，每年仍需进口巨量煤炭．据海关总署发布的数据显示，年月份我国进口煤炭约万吨，而年月份我国进口煤炭约万吨，设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 8．电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 9．某商厦十月份的销售额为160万元，商厦从十一月份起加强管理，改善管理，使销售额逐步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率． 10．为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个． (1)求该吉祥物两次降价的平均百分率； (2)若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20个，若每天利润为2730元，则每个降价多少元? 题型三、营销问题 11．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 12．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，且要让顾客得到实惠，则每个应涨价（   ） A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 14．某商店经销一种成本为每件元的商品，据市场分析，若按每件元销售，每天能售出件．若销售价每降元，那么每天的销售量增加件． (1)若某天的销售单价定为每件元时，求当天的销售利润； (2)商店若想当天的销售利润达到元，该商品的销售单价应定为多少元？ 15.（24-25八年级下·山东泰安·期末）问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 题型四、与图形有关的问题 16．如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 18．如图是一个长，宽的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的三分之一，则彩条的宽度为 ． 19．如图，琪琪的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为 ． 20．已知甲、乙两个图形都是由矩形或正方形拼成的，其边长数据如图所示． (1)若乙图形的长比宽大6，则甲图形的周长为______； (2)若甲图形的面积比乙图形面积的2倍还大7，求x的值． 题型五、行程问题 21．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 22．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 23．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 24．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 25．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 题型六、动态几何问题 26．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 27．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 28．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 29．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 30．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 一、单选题 1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，此小组人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（   ） A． B． C． D． 3．据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 6．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（    ） A． B． C． D． 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东·期中）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．九（2）班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠一张贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为 人． 12．某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 13． “中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在临港区威海冰球馆吹哨开赛，分别采用单循环赛和小组赛．若在单循环赛中（每两支队伍之间进行一场比赛）共进行了78场，则本次锦标赛共有参赛队伍 支． 14．某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件16元涨到每件25元，则平均每次涨价的百分率为 ． 15． “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人． 16．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设平均每人每轮传染x人，根据题意列出方程得： . 17． 2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则 ． 18．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为 s． 三、解答题 19．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 20．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 21．利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 22．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、传播问题 1 题型二、增长率问题 3 题型三、营销问题 5 题型四、与图形有关的问题 8 题型五、行程问题 11 题型六、动态几何问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、传播问题 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出7支小分支， 故选：B． 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 3．（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 4．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【答案】一共有8个人过生日． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 5．某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ (2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 【答案】(1)每只发病的鸡平均每天传染7只鸡 (2)若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每只发病鸡平均每天传染只鸡，根据“第一天发现3只鸡发病．到第三天共有192只鸡发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3天后鸡的发病数天后鸡的发病数，即可求出3天后鸡的发病数，再将其与1500进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每只发病鸡平均每天传染只鸡， 依题意，得：， 解得：， （不合题意，舍去）． 答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡． （2）解：（只），． 答：若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只． 题型二、增长率问题 6．据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11，12两月的月平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设11，12两月的月平均增长率为，根据10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，12月将达到万辆，列出方程即可． 【详解】解：设11，12两月的月平均增长率为，根据题意得： ． 故选：A． 7．今年全球多地持续高温天气，能源需求攀升，我国的煤炭进口量也随之大幅增加．尽管我国坐拥丰富的煤炭产能，但为了优化能源配置，保障工业生产与民生用能的稳定需求，每年仍需进口巨量煤炭．据海关总署发布的数据显示，年月份我国进口煤炭约万吨，而年月份我国进口煤炭约万吨，设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解本题的关键在于理解题意，找出等量关系，并列出方程．设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为， 由题意得，， 故选：B． 8．电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 9．某商厦十月份的销售额为160万元，商厦从十一月份起加强管理，改善管理，使销售额逐步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月的平均增长率为，利用十二月份的销售额十月份的销售额平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这两个月的平均增长率为， 根据题意，得 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两个月的平均增长率为． 10．为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个． (1)求该吉祥物两次降价的平均百分率； (2)若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20个，若每天利润为2730元，则每个降价多少元? 【答案】(1)该吉祥物两次降价的平均百分率为 (2)每个降价16元 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为x， 根据“商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个”，列出方程求解即可； （2）设每天要想获得2730元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（不合题意，舍去） 答：该吉祥物两次降价的平均百分率为； （2）解：设每个商品应降价y元，由题意得： ， 解得：， 为了减少库存，应取， 答：每个降价16元． 题型三、营销问题 11．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设涨价元，根据单个利润销售量每天盈利，列出一元二次方程，求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设涨价元， 由题意可得：， 解得或， ∴现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价5元或10元， 故选：C． 12．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，且要让顾客得到实惠，则每个应涨价（   ） A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设涨价元，则每个盈利元，销量为个，根据盈利1500元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设涨价元， ， 解得：或， 让顾客得到实惠，， 故选：A． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 14．某商店经销一种成本为每件元的商品，据市场分析，若按每件元销售，每天能售出件．若销售价每降元，那么每天的销售量增加件． (1)若某天的销售单价定为每件元时，求当天的销售利润； (2)商店若想当天的销售利润达到元，该商品的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（）根据题意列出算式解答即可； （）设该商品的销售单价应定为元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解： （元）， 答：当天的销售利润为元； （2）解：设该商品的销售单价应定为元， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商品的销售单价应定为元． 15.（24-25八年级下·山东泰安·期末）问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】任务1：销售量的月增长率为；任务2：该品牌的头盔每个应涨价10元 【分析】任务1：根据四月份销售量以及月增长率相同的条件，设出月增长率，利用增长后的量增长前的量（n为增长次数）来列方程求解； 任务2：根据每个头盔的盈利和销售量的关系，设出涨价金额，根据利润 单个利润销售量列出方程，再结合让顾客得到实惠的条件确定涨价金额． 【详解】解：任务1：设头盔销售量的月增长率为x，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 销售量的月增长率为；. 任务2：设头盔每个涨价m元，根据题意得： 整理得 解得， (不符合题意，舍去) 答：该品牌的头盔每个应涨价10元。 【点睛】本题考查了平均增长率计算、一元二次方程的应用等知识点．解题的关键在于能够正确地建立数学模型，即通过设未知数、利用给定条件列出方程，并准确求解方程，同时结合实际背景做出合理的判断与选择． 题型四、与图形有关的问题 16．如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程-图形面积问题，将图中横纵道路分别平移到矩形底部和右侧，即可得到一个矩形草坪面积为，根据矩形面积公式即可列出方程﹒ 【详解】解：设道路的宽度为，则可列方程为﹒ 故选：C 17．（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据整个挂图的面积是为等量关系列方程即可得解． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 依题意得：， ， ， ， 故选：B． 18．如图是一个长，宽的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的三分之一，则彩条的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设彩条的宽度为，根据彩条所占面积是图案面积的三分之一，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合，即可得出彩条的宽度． 【详解】解：设彩条的宽度为， 依题意得：， 整理得：， 即， 解得，． 又， ． 即彩条的宽度为． 故答案为：． 19．如图，琪琪的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 墙长， 长为． 故答案为：． 20．已知甲、乙两个图形都是由矩形或正方形拼成的，其边长数据如图所示． (1)若乙图形的长比宽大6，则甲图形的周长为______； (2)若甲图形的面积比乙图形面积的2倍还大7，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：； ∴甲图形的周长， 故答案为： （2）解：根据题意得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴x的值为． 题型五、行程问题 21．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 22．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 23．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 25．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 题型六、动态几何问题 26．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 27．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，利用勾股定理，找出等量关系是解题的关键． 利用时间=路程÷速度，可求出点P运动到点B所需时间，过点Q作于点E，则四边形是矩形，当运动时间为t秒时，，，结合，可得出，根据，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（秒）． 过点Q作于点E，则四边形是矩形，如图所示． ， 当运动时间为t秒时，，， ∴． 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： ，， ∴当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了或4秒． 故选：B． 28．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 29．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 30．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)6，4 (2) (3)的长不能等于5，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据路程、速度与时间的关系求解即可得； （2）先求出当点在上时，，，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）假设，先求出当运动到上时，，，，再在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴当点到点时，（秒）； 当点到终点时，（秒）， ∴此时点运动的路程为， 又∵， ∴此时点运动到点， ∴此时的长等于， 故答案为：6，4． （2）解：点从点运动到达点所需时间为秒， ∴当点在上时，，，， ∴，， ∵，且的面积为9， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为1． （3）解：的长不能等于5，理由如下： 假设， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒， ∴当运动到上时，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（均不符合题意，舍去）， 所以的长度不能等于5． 一、单选题 1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，此小组人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单． 设此小组人数为x人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设此小组人数为x人，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：此小组人数为10人． 故选：D 2．喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均变化率与一元二次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； 【详解】解：由题意可列方程为：， 故选：C． 3．据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设月平均增长率为，根据增长后的辆数，列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得， ， 故选：A． 4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元二次方程． 设这批椽的数量为株，可得一株椽的价钱为文，根据题意列方程即可． 【详解】解：∵这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， 依题意得， 故选：A． 5． 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 6．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 8．（25-26九年级上·广东·期中）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，共有个队参加比赛，列式，即可作答． 【详解】解：赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，且设有个队参加比赛， ∴． 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程． 【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 ∴， 即， 故选：A． 10．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 二、填空题 11．九（2）班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠一张贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为 人． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该合唱小组人数为x人，根据题意可得每个人都要给其他人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】解：设该合唱小组人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 故答案为：6． 12．某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 13． “中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在临港区威海冰球馆吹哨开赛，分别采用单循环赛和小组赛．若在单循环赛中（每两支队伍之间进行一场比赛）共进行了78场，则本次锦标赛共有参赛队伍 支． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了78场”列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设共有x支队伍参加比赛， 根据题意，可得， 解得或（舍）， ∴共有支队伍参加比赛， 故答案为：． 14．某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件16元涨到每件25元，则平均每次涨价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设平均每次涨价的百分率为，结合售价由原来的每件16元涨到每件25元，进行列式，然后解得，即可作答． 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为， ∵某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件16元涨到每件25元， ∴， 解得（舍去）， ∴平均每次涨价的百分率为， 故答案为： 15． “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 16．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设平均每人每轮传染x人，根据题意列出方程得： . 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可得第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病，然后可得方程． 【详解】解：由题意得：第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病， 故方程为； 故答案为． 17． 2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，设该联赛有队伍x支，则比赛场数为，列出方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设该联赛有队伍x支，则每支球队会与除本身外的支球队进行比赛，故总共有场比赛，但考虑到重复计数问题（如“A队与B队比赛”和“B队与A队比赛”重复计算），故实际的比赛场数为， 由题可知， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：13． 18．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为 s． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，过点作于点，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 过点作于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴或， 由勾股定理，得， 解得或； 故答案为：或． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $