2.3二次函数与一元二次方程、不等式第一课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕一元二次不等式的定义、解法及“三个二次”关系展开，通过类比一元一次不等式引入新知，衔接初中一次函数、方程与不等式的联系，搭建从一次到二次的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以“三个二次”关系为主线，结合类比迁移、数形结合及表格梳理，培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（分类讨论判别式）与数学语言（规范解集表达）。例如通过函数图像分析不等式解集，步骤流程清晰，练习梯度合理，助力学生发展抽象能力与推理意识，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 一次函数 一元一次方程 方程的根是直线与轴交点的横坐标： 一元一次 不等式 对应图像为轴上部分；解集为： 对应图像为轴下部分；解集为： 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式， 是否也有这样的联系呢？ 新知探究 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 问题：写出情境中的不等式关系. [答案] 设这个矩形的一条边长为ｍ，则另一条边长为ｍ． 由题意，得:， 其中． 整理得，． 新知探究 3 思考1: 与一元一次不等式进行类比，这个不等式有何特点? 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 思考2: 结合一元一次不等式的定义，你能否给这个新不等式取个名称，并给出这种不等式的一般形式？ 新知探究 知识点一：　一元二次不等式的定义及解法 一元二次不等式 定义 只含有一个________，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 未知数 2 例如：-x2+2x+1>0 ， 2x2+3x>0 , x2-4<0等 注：若无a≠0这个条件，则该不等式不一定是一元二次不等式，需对a是否为零展开讨论. 新知探究 ④ 其中一定是一元二次不等式的____(填序号） 下列关于 的不等式： ① ② ③ ④ 对于一元二次不等式应怎样来解它呢 ? 这就是我们接下来要学习的内容. 新知应用 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 二次函数 对于 一元二次方程 一元二次不等式 它们的联系又是怎样的呢？ 新知探究 7 一元二次函数 对于 一元二次方程 一元二次不等式 它们的联系又是怎样的呢？ 步骤：1．做出函数的图象； 2．求出图象与x轴交点的横坐标； 3．观察图象位于x轴上方（或下方）所对应的x取值范围． （函数的零点） 新知探究 8 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的______，一元二次方程的根是相应二次函数的_____． 零点 零点 知识点二：　二次函数的零点 【注意】函数的零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标，是数. 函数的零点，方程的根，图象与x轴交点的横坐标. 函数 y=x2－2x－3的零点是 . 新知探究 二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段． 当x＜2 时，y＞0，即x2－12x+20>0； 当2<x＜10时，y<0，即x2－12x+20<0； 当x＞10时，y＞0，即x2－12x+20>0； 故一元二次不等式x2－12x＋20＜0 的解集是{x|2＜x＜10}． 观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？ 新知探究 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 二次函数与一元二次方程、不等式间关系 新知探究 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 和的解集. 步骤：①求根——求出一元二次方程的根 ②画图——根据开口方向及零点，画出一元二次函数图象 ③求解——根据图象确定一元二次不等式的解集 的零点是. 的根是 的解集为， 的解集为. 新知探究 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 x y O x1=x2 y x O x1=x2= 没有实根 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 x1 x2 x y O 有两不相等实根 x1, x2(x1<x2) x1 x2 x x x x1 x2 x x1=x2 x Φ Φ x “三个二次”的关系（要牢记） （一元二次不等式的解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系） 大于取上边 小于取下边 等于取零点 图形记忆 归纳总结 ziyuanku.com 13 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 _____________ _____________ ___ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 _____________ ___ ∅ {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R {x|x1＜x＜x2} ∅ 例1 (链接教材P52例1，2，3)解下列不等式： (1)－2x2＋x－6＜0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3＞0. 不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 新知应用 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6＞0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6＜0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0， 因为方程x2－6x＋9＝0的判别式Δ＝(－6)2－4×1×9=0， 所以函数y＝x2－6x＋9的图象开口向上，与x轴有一个交点(如图所示) 观察图象原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)因为方程x2－2x－3＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×1×>0， 所以方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1，0)和(3，0)，如图所示． 观察图象可得不等式x2－2x－3＞0.的解集为{x|x＜－1，或x＞3}． 1.查系数 解一元二次不等式的步骤： a<0 化为正数 2.解方程 先考虑分解因式 求根 计算Δ 求根公式 Δ>0 3.画图象 4.写解集 图像 不等号方向 写解集 不行 行 大于号两边 小于号取中间 有根 解一元二次不等式的流程图                 1．解下列不等式： (1)x2＋3>3(x＋1) 解：(1)原不等式可化为x2－3x＞0. 因为方程x2－3x＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×1×0=9>0 所以方程x2－3x＝0的两根是x1＝0，x2＝3. 所以函数y＝x2－3x的图象开口向上，与x轴有两个交点． 观察图象原不等式的解集为{x|x>3，或x<0}. 巩固练习 1．解下列不等式： (2)4x(2x－1)<3(2x－1)． 解：(1)原不等式可化4x(2x－1)－3(2x－1)＝(2x－1)(4x－3)<0 所以方程(2x－1)(4x－3)=0的两根是x1＝，x2＝. 所以函数y＝(2x－1)(4x－3)的图象开口向上，与x轴有两个交点， 观察图象原不等式的解集为 巩固练习 1．(2025·浙江杭州高一上期中)不等式(3－x)·(x＋2)>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<3} B．{x|－3<x<2} C．{x|x>3或x<－2} D．{x|x>2或x<－3} 解析：A　因为(3－x)(x＋2)>0，所以(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，所以(3－x)(x＋2)>0的解集为{x|－2<x<3}． 课后练习 2．(2025·安徽阜阳高一上期中)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为(　　) A．{x|x≤－3或x≥2} B．{x|x≤－3或x≥1} C．{x|－3≤x≤1或x≥2} D．∅ 解析：D　由不等式－3x2＋5x－4>0可化为3x2－5x＋4<0， 由Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4<0的解集为空集，故选D. 课后练习 3．(2025·湖北武汉高一上期中)已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2}　　　　 B．{1} C．{0，1} D．(0，2) 解析：B　由x2－2x<0得0<x<2， 即B＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{1}． 课后练习 4．若0＜m＜1，则不等式(x－m)＜0的解集为________． 解析：因为0＜m＜1，所以m＜，则不等式(x－m)＜0的解集为{x}． 答案：{x 课后练习 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 没有实数根 的解集 或 的解集 求根 画图 求解 求解步骤： 函数零点 方程的根 不等式解的端点值 课后小结 26 练习（第53页） 练习（第53页） 练习（第53页） 练习（第53页） $