精品解析：浙江省嘉兴市南湖区嘉兴市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

嘉兴市第一中学高一年级10月阶段测试 数学试题卷 出卷、审卷：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知满足，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则} C. 若，非空集合满足，则 D. 若非空集合满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为______________． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________________． 14. 已知实数满足且，则的最小值为_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合，集合，命题，命题，． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 如图，某厂商计划设计一个正方形地砖，图案的花纹由两个完全相同的矩形和构成，且矩形的面积为．灰色部分（图中四个矩形）的造价为100元；中心部分（图中黑色部分）的造价为140元：白色部分（图中八个三角形）的造价为40元．设的长度为（单位：）．试求： （1）地砖的面积（单位：），并计算的最小值； （2）当为何值的时候，单块地砖的造价最小，并求的最小值． 18. 设． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围： （2）若，设，比较与的大小，并说明理由： （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义． （1）用解析式表示，并写出的定义域： （2）证明：； （3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴市第一中学高一年级10月阶段测试 数学试题卷 出卷、审卷：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集运算的定义可知. 【详解】由交集运算可知，. 故选：D 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】已知命题，则是. 故选：B. 3. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 4. 设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】原式， 由于，则， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以， 故当时，原式最大值为1， 故选：B. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，解一元二次不等式及绝对值不等式即可求解. 【详解】，即，即， 可得，解得. 故选：. 7. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题可得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解， 所以，故A正确． 故选：A. 8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可. 【详解】如图所示， ， 设，， 则，，是方程，即的两个正根，所以， 令，解得或， 所以，由题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式性质即可对A判断求解；当时，即可对B判断求解；利用不等式性质即可对C，D判断求解. 【详解】对于A：由，则，所以，故A正确； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：由，则，故C正确； 对于D：由，可得， 且由已知得，得到，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知满足，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由，解不等式可判断，由，解不等式可判断；，利用换元法及基本不等式求解可判断；，利用换元法及基本不等式求解可判断. 【详解】对于：，移项可得， 所以，即，即， 解得，又因为，所以，故错误； 对于：， 即，解得或（舍），故正确； 对于：， 令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故错误； 对于：， 令，则，， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.故正确. 故选：. 11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则} C. 若，非空集合满足，则 D. 若非空集合满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，由不等式的性质即可判断；对于C，由集合相等的概念即可判断；对于D，令即可判断. 【详解】对于A，若，，则， 所以，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以，所以，故B错误； 对于C，设，，则， 所以只能，解得，所以，故C正确； 对于D，若， 则对任意非空集合，总有，所以不一定有，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】已知函数的定义域为，则要使得函数有意义， 则当且仅当，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知实数满足且，则的最小值为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】令，将条件转化为关于的式子，再利用基本不等式求解即可. 【详解】令，则， 因，则， 因，则， 则 ， 等号成立时，即， 则的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的定义求解即可； （2）讨论B是空集与B不是空集两种情况即可. 【小问1详解】 当时，集合， 根据并集的定义，可得. 【小问2详解】 当时，，解得，此时满足； 当时，，同时因为，所以， 解得， 综上，的取值范围是. 16. 已知集合，集合，命题，命题，． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【小问1详解】 若为真命题，则，所以，所以. 【小问2详解】 当为假命题时，即“”为真命题， 所以， 当时，，等号成立当且仅当， 所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 17. 如图，某厂商计划设计一个正方形地砖，图案的花纹由两个完全相同的矩形和构成，且矩形的面积为．灰色部分（图中四个矩形）的造价为100元；中心部分（图中黑色部分）的造价为140元：白色部分（图中八个三角形）的造价为40元．设的长度为（单位：）．试求： （1）地砖的面积（单位：），并计算的最小值； （2）当为何值的时候，单块地砖的造价最小，并求的最小值． 【答案】（1）2 （2），元 【解析】 【分析】（1）求出的表达式，再利用基本不等式求出最值即可； （2）先求出各个区域面积，再求出M的表达式，利用基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 在等腰直角三角形中，，同理， 由矩形的面积为可得， 在等腰直角三角形中，， 则， 则，， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以时，. 【小问2详解】 由题意，黑色部分面积为，灰色部分面积为1， 则白色部分面积为， ， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以当时，元. 18. 设． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围： （2）若，设，比较与的大小，并说明理由： （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，， 当时，，所以； 当且时，，所以，即； 所以，当时，；当且0时，. （3） 【解析】 【分析】（1）根号里面大于等于0，由二次函数开口向上，求解即可； （2）作差法比较大小即可； （3）分离参数，恒成立问题转化为最值问题，换元后结合基本不等式来求解即可. 【小问1详解】 要使在R上有意义，则，解得， 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 移项得， 因为，所以，两边同时除以得， 令 ，则，则恒成立， 根据基本不等式（当且仅当，即时取等号）， 所以. 19. 定义． （1）用解析式表示，并写出的定义域： （2）证明：； （3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1），定义域为； （2） 情况一：当时， 等式右边； 情况二：当时，， 等式右边. 综上，等式成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）按的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明； （3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案. 【小问1详解】 设 ，. 令得：， ， ，解得  或 ， 由于  是开口向上的二次函数（二次项系数为正）， 当  或  时，，故 ； 当  时，，故 . 因此，，定义域为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于  在  上单调递增，值域为 . 因此，只需满足对任意 ，有 . ， ， ， 令，， ， 由（2）知：， 要使对任意 恒成立， 又对任意 恒成立， 所以只需对任意 恒成立， 易知：当时，不成立； 当时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $