精品解析：山东省聊城市运河教育联合体2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第一次强化训练 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，题3分共30分） 1. 如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外取一点C，连接、，在上取点E，使，作交于点F，量得，则的长为（　　） A. 30m B. 24m C. 18m D. 12m 4. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 30 D. 40 5. 下列各式不正确的是( ) A. cos30°=sin60° B. tan45°=2sin30° C. sin30°＋cos30°=1 D. tan60o·cos60o=sin60o 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点B的坐标为，位似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（　　） A. B. 1 C. D. 8. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，，，，过点C作于，过点作⊥BC于，过点作于，这样继续作下去线段 （n 为正整数）等于（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6题，每题3分共18分） 11. 若与的相似比为，且两个三角形的周长之和为，则较大三角形的周长为_______． 12. 如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ________ ． 13. 如果，则的形状是________． 14. 如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________ 15. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，正方形的面积为________ 三．解答题（共8小题） 17. 计算：． （1）； （2）． （3）． （4）． 18. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是上的点，．连接，交于点G． （1）求的值； （2）求证：． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G （1）求证：： （2）若正方形的边长为4，求的面积． 20. 如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 21. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 23. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第一次强化训练 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，题3分共30分） 1. 如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF， ∴A． ，DF与BC不是对应边，它们可相等，比值成立，也可能不等比值不成立，选项不一定成立，不符合题意； B．，选项不成立，不符合题意； C．，选项不成立，不符合题意； D．，选项成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 2. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比， ∴这两个三角形对应边上高的比为， 故选：B． 3. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外取一点C，连接、，在上取点E，使，作交于点F，量得，则的长为（　　） A. 30m B. 24m C. 18m D. 12m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先判断三角形相似，根据相似三角形的性质得到对应边比例关系，再计算与的比例关系，最后计算出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，从而推出，，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∵被截成三等分， ∴， ∴，， ∴，， ∵图中阴影部分的面积是18，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列各式不正确的是( ) A. cos30°=sin60° B. tan45°=2sin30° C. sin30°＋cos30°=1 D. tan60o·cos60o=sin60o 【答案】C 【解析】 【分析】熟练掌握特殊锐角三角函数值，分别计算即可求解. 【详解】A. cos30°= , sin60° ,正确， B.tan45°,2sin30°,正确， C. sin30°＋cos30°,错误， D. tan60o·cos60o sin60，正确. 故答案选C. 【点睛】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题关键是熟练记忆这些三角函数值. 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点B的坐标为，位似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】解: 和是以点0为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点A与点C是对应点， 点C的坐标为，即， 故选:B. 7. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知∠MON＝90°，OB＝0C，又知点M、N分别为OB、OC的中点，可知ON＝OM，从而得到△OMN为等腰直角三角形，求出∠OMN＝45°，据此即可得到sin∠OMN的值． 【详解】解：在正方形ABCD中， OB＝OC，∠MON＝90°， 又∵点M、N分别为OB、OC的中点， ∴ON＝OM， ∴∠OMN＝45°， ∴sin∠OMN＝sin45°＝． 故选：C． 【点睛】此题结合正方形的性质考查了特殊角的三角函数值，要注意等腰直角三角形的判定和性质． 8. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D， ∴AD=2，BD=4， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9. 如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l． 【详解】解：由已知得：， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度较问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形． 10. 如图，△ABC中，，，，过点C作于，过点作⊥BC于，过点作于，这样继续作下去线段 （n 为正整数）等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，数字类规律变化，解直角三角形分别求出即可找到变化规律，进而即可求解，通过计算找到变化规律是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故选：D． 二．填空题（共6题，每题3分共18分） 11. 若与的相似比为，且两个三角形的周长之和为，则较大三角形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，结合相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：因为与的相似比为， 所以设的周长是，则的周长是， 则， 解得：， 那么较大三角形的周长是， 故答案为：． 12. 如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ________ ． 【答案】或5 【解析】 【分析】根据已知条件先求出斜边的长度，再分情况讨论与相似时的情况，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵与相似， ∴有以下两种情况： ①当时，，连接，如图所示： ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，，连接，如图所示： 则， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，折叠的性质及等腰三角形的性质． 13. 如果，则的形状是________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 14. 如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________ 【答案】100cm2 【解析】 【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可． 【详解】设AF＝x， ∵AF：AC＝1：3， ∴AC＝3x，CF＝2x， ∵四边形CDEF为正方形， ∴EF＝CF＝2x，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝＝， ∴BC＝6x， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2， 解得，x＝2， ∴AC＝6，BC＝12， ∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2） 故答案为：100cm2. 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确求得海里是解决本题的关键． 作于点D，在中，利用三角函数求得的长，然后在中，利用三角函数即可求得的长． 【详解】解：过点B作，交于点D， 由题可知（海里），，，， ∵在中，， ∴， ∴海里， ∵在中，， ∴， ∴海里， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，正方形的面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：如图，∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 以此类推， ∴后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍， ∴正方形的边长为， ∵A的坐标为，D点坐标为， ∴， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17. 计算：． （1）； （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后算乘方，最后算加减即可； （3）将特殊角的三角函数值代入，再按实数的运算法则计算即可； （4）将特殊角的三角函数值代入，再按实数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 解：原式 18. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是上的点，．连接，交于点G． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及相似三角形的判定定理． （1）由平行得到，则； （2）由相似得到，则，而平行四边形得到，则，那么，即可证明． 【小问1详解】 解：∵． ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴的值为； 【小问2详解】 证明：由（1）知：， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G （1）求证：： （2）若正方形的边长为4，求的面积． 【答案】(1)详见解析;(2)20. 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF； （2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长． 【详解】（1）证明：设正方形的边长为4， 为AD的中点， ，． ， ，， ，， ， 又， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用． 20. 如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值． 【详解】解：过点D作，交于E，如图， ∴， 在中， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 在中，，， ∴， ∴． 21. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】（1）米 （2）变短了，变短了米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 23. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 【答案】12米 【解析】 【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米，米，米， ∴，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， 答：城墙高12米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $