阶段小测(六)(范围：15.3 等腰三角形)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

阶段小 (范围：15.3时间：4 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.等腰三角形的一个底角为40°，则这个等 腰三角形的顶角为 A.50°B.65° C.80° D.100° 2.下列各项中，不能判定△ABC是等边三 角形的是 ( ) A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°，∠B=60° D.AB=AC,∠B=∠C 3.如图，在等边三角形ABC中，AB=4,D 是边BC上一点，且∠BAD=30°，则CD 的长为 A.1 B.1.5C.2 D.3 图① 图② (第3题图) (第4题图) 4.图①是实验室利用过滤法除杂的装置图， 图②是其简化示意图.在图②中，若AB∥ CD,AC∥OD,OD=OC,∠DOC=80°，则 ∠BAC的度数为 () A.50°B.60°C.70°D.80° 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平 分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平 分∠BAC,DE=3,则BC的长为() A.6 B.7 C.8 D.9 D B B (第5题图) (第6题图) 6.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的 平分线交于点F,过点F作DE∥BC交 AB于点D,交AC于点E,有下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD十CE;③△ADE的周长等于 ● 测（六） 0分钟满分：100分) AB与AC的和；④BF=CF.其中正确 的有 ( ) A.①②③ B.①②③④ C.①② D.① 二、填空题（每小题4分，共16分） 7.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC= 120°，则∠DAC的度数为 (第7题图) (第8题图) 8.如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长 线上一点，DE∥AB,交AC的延长线于点 E.若AB=5,AE=8,则DE的长为 9.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分 别与AC,BC交于点D,E,连接BD.若AB= CD,∠ABD=28°，则∠C的度数为 E (第9题图) (第10题图) 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， D为AC边上任意一点（不与点A,C重 合)，当△BCD为等腰三角形时，∠ABD 的度数是 三、解答题（共60分） 11.(10分)如图，在△ABC中，∠B=30°，D 是AB上一点，且AD=CD=BD.求证： △ACD是等边三角形. 5· 12.(12分)如图，△ABC为等边三角形，M 是线段BC上任意一点，N是线段CA上 任意一点，且BM=CN,BN与AM交于 点Q. (1)求证：△BAN≌△ACM; (2)求∠BQM的度数. 13.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,过 BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂 足分别为E,F (1)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数. E D 14.(12分)如图，在△ABC中，∠A=60°， ∠C=40°，∠ABC的平分线BD交边 AC于点D,E为BC的中点，连接DE. (1)求证：△BCD为等腰三角形； ·16 (2)求∠EDC的度数. 5.（14分)已知△ABC是等边三角形，将一 块含有30°角的直角三角尺DEF按如图 所示放置，让三角尺在BC所在的直线 上平移. B(E) 图① 图② (1)如图①，当点E与点B重合时，点A 恰好落在三角尺的斜边DF上.求 证：EF=2BC. (2)如图②，在三角尺平移过程中，设 AB,AC与三角尺的斜边的交点分别 为G,H,猜想线段AH与BE之间的 数量关系，并证明你的结论.M∠BDE=∠CDG, 点，.BD=CD.,AB∥CG,∴∠B=∠DCG.在△BDE和△CDG中，BD=CD, ∠B=∠DCG .△BDE≌△CDG(ASA).∴.BE=CG.(2)解：BE+CF>EF.理由如下：连接FG.由 (1)知△BDE≌△CDG,.DE=DG.DF⊥EG,∴∠FDE=∠FDG=90°.在△FDE FD-FD, 和△FDG中，∠FDE=∠FDG,∴.△FDE≌△FDG(SAS).∴.EF=GF.在△CFG中， DE=DG. CG+CF>GF,.BE+CF>EF 易错小测（四） 1.D2.C3.D【易错点拨】SSA不能判定两个三角形全等.4.A5.C【易错 点拨】三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，本题实质上是转化为比较AB与 AC十BC的大小关系，本题易忽略对三角形三边关系的运用.6.C7.角的内部到角 两边距离相等的点在角的平分线上8.79.45【易错点拨】本题求的是整个金属框 架所需的材料长，而不是图形的外轮廓所需的材料长。10.2或。【易错点拨】在判 定两个三角形全等时，若未明确对应关系，则需分类讨论.11.解：(1)3 (2).'△ABC2△DAE,∴.ED=AC=8,∠AED=∠ACB=90°..∠CED=180 ∠AED=90.Sm=CE·ED=12.12.解：如图所示： 13.证明：(1)，DE⊥AC,BF⊥AC,.∠AFB=∠DEC=90°.AE=CF,∴AE+EF CF+EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD:R△ABF≌ AF=CE. Rt△CDE(HL).(2),Rt△ABF≌Rt△CDE,,.BF=DE.在△BFG和△DEG中， ∠BFG=∠DEG, ∠BGF=∠DGE,∴.△BFG≌△DEG(AAS).∴.EG=FG.14.(1)解：DC=DB BF=DE. (2)证明：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F,则∠F= ∠DEB=90.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF.:∠B+∠ACD= 180°，∠ACD+∠FCD=180°，.∠B=∠FCD.在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB, ∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. DF=DE. 几何专练（二）与角平分线、垂直平分线的性质与 判定有关的计算及证明 1.证明：OP垂直平分AB,∴.PA=PB.,PA⊥OM,PB⊥ON,.点P在∠MON的 平分线上.∴.OP平分∠MON.2.解：AD⊥BC,BD=CD,∴.AB=AC.:点C在 AE的垂直平分线上，∴.AC=EC..AB=AC=CE=5.BD=CD=3,∴.BE=BD十 CD十CE=3+3+5=11,3.证明：：直线l是线段AB的垂直平分线，∴.CA=CB, AC=BC. AD=BD.在△ACD和△BCD中，AD=BD,∴.△ACD≌△BCD(SSS).∴∠CAD= CD=CD, ∠CBD.4.证明：.AC平分∠MAN,CE⊥AN,CF⊥AM,∴.CF=CE.,CD∥AN, ∴.∠FDC=∠DAE.:∠CBE=∠DAE,∴.∠CBE=∠FDC.在△CFD和△CEB中， ∠CDF=∠CBE, ∠CFD=∠CEB=90°，∴.△CFD≌△CEB(AAS).,.DF=BE.5.(1)证明：AD CF=CE, 是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∠C=9O°，∴.DC=DE.在Rt△FCD和Rt△BED中， 第40页（共54页） DC-DE,:R△FCDE2R△BED(H).CF=EB.(2)解：AB=AF+2BE.理由如 DF-DB. 下：在R△ACD和R△AED中，/DC=DE.:R△ACD2R△AEDC HLY.AC- AD=AD, AE.∴AB=AE+BE=AC+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.6.(1)证明：连接AE. ,EF是AB的垂直平分线，BE=AE.:AC=BE,∴AC=AE.:D为线段CE的中 点，∴.ED=CD.:AD=AD,∴△AED≌△ACD(SSS).∴.∠ADE=∠ADC.:∠ADE +∠ADC=180°，∴.∠ADC=90°..AD⊥BC.(2)解：由(1)知AD⊥BC,∠ADC=90. :∠C=60°，∴.∠CAD=90°-∠C=30°.：△AED≌△ACD,∴.∠EAD=∠CAD= 30°.∠BAC=90°，.∠BAE=90°-∠EAD-∠CAD=30°..∠BAE=∠EAD,即 AE平分∠BAD.:EF⊥AB,AD⊥BC,∴.EF=ED.:ED=CD=2,.EF=2. 7.(1)解：由作图痕迹可知AP平分∠BAC,EF垂直平分线段AC,∴.∠BAC= 2∠EAC,AE=CE,AF=CF.,EF=EF,∴.△AEF≌△CEF.∴.∠EAC=∠C ∴∠BAC=2∠C.:∠ABC=90°，∴.∠C+∠BAC=90°，即∠C+2∠C=90°..∠C= 30°.(2)证明：AP平分∠BAC,∠ABC=90°，EF⊥AC,∴BE=FE.∴点E在线段 BF的垂直平分线上.在R△ABE和R△AFE中，BE-FE:R△ABE≌R△AFE AE=AE, (HL).∴AB=AF,.点A在线段BF的垂直平分线上.∴AP垂直平分线段BF, 8.(1)证明：：P为∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC, PD=PE,PD=PF.PE=PF.(2)解：连接AP.:四边形ABPC的面积为20， .Sr+Sar=20..号AB·PE+号AC·PF=20.由(1)知PE=PF=PD=4, Z×4AB+号×4AC=20.AB+AC=10, 阶段小测（五） 1.A2.C3.B4.B5.C6.D7.如果|a>b,那么a>b8.50°9.7 10.(3,一2)11.解：如图所示， 12.证明：.AB=AC, .点A在线段BC的垂直平分线上.：PB⊥AB,PC⊥AC,∴.∠ABP=∠ACP=90°.在 AP=AP, Rt△ABP和Rt△ACP中， .Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)..BP=CP.∴点 AB=AC, P在线段BC的垂直平分线上.AP垂直平分BC.13.解：如图，点P及点P即为所求 O■ (第13题图) (第14题图) 14.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.A1(0,4),B1(2,2),C(1,1).(2)如图，△A2BC2 即为所求.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)是.如图，直线1即为所求.15.解：(1)AD 十CD≥BC.理由如下：连接BD.:直线l垂直平分线段AB,∴DA=DB.AD十CD =DB十CD≥BC.(2)连接AP.,直线I垂直平分线段AB,.PA=PB,.PB+PD= PA+PD≥AD,Sam=专BC·AD=6,BC=4.AD=3.PB+PD长的最小值 为3. 阶段小测（六） 1.D2.D3.C4.A5.D6.A7.60°8.39.38°10.18°或36°11.证明： :CD=BD,∴.∠DCB=∠B=30°..∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又，AD=CD, .△ACD是等边三角形.12.(1)证明：：△ABC为等边三角形，∴.AB=BC=CA, 第41页（共54页） ∠BAC=∠BCA=60°.BM=CN,.BC-BM=CA-CN,即CM=AN..△BAN≌ △ACM(SAS).(2)解：.'△BAN≌△ACM,∴.∠ABN=∠CAM.∴.∠BQM=∠ABN +∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.13.(1)证明：连接AD.,D是BC的中 点，AB=AC,∴.AD平分∠BAC.DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF.(2)解：DE⊥ AB,.∠BED=90°..∠B=90°-∠BDE=35°.：AB=AC,∴∠C=∠B=35°. .∠BAC=180°-∠B-∠C=110°.14.(1)证明：：∠A=60°，∠C=40°，∴.∠ABC =180°-∠A-∠C-=802.BD平分∠ABC.∴∠DBC=号∠ABC=40.:∠DBC ∠C.∴△BCD为等腰三角形.(2)解：：∠DBC=∠C=40°，∴.∠BDC=180°-∠DBC -∠C=100,DB=DC.:E为BC的中点，∴.DE平分∠BDC.∠EDC=号∠BDC =50°.15.(1)证明：由题意，得∠F=30°.△ABC是等边三角形，.AB=BC, ∠ABC=60°.∴.∠BAF=180°-∠F-∠ABC=90.∴.EF=2AB.∴EF=2BC.(2)解： AH=BE,证明如下：，△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB=60°.∴∠CHF= ∠ACB-∠F=30°.∴.∠CHF=∠F..CF=CH.,EF=2BC,.BE+CF=BC.又 .AC=AH+CH,AC=BC,..AH=BE. 易错小测（七） 1.A2.D3.D4.C5.D【易错点拨】由尺规作图痕迹判断线段或角的关系时理 解不清而致错.6.C【易错点拨】等腰三角形底和腰不明确时，按顶点逐一分类讨 论，不重复不遗漏，且不要忽略点P在AN下方的情况.7.7.58.40°或100° 【易错点拨】顶角和底角不明时，未分类讨论致错.9.1010.611.解：：AB=AC, AD为BC边上的中线，.AD⊥BC,∠CAD=∠BAD=50°..∠ADC=90°.：AD= AE,÷∠ADE=∠AED=2(180-∠CAD)=65.∠CDE=∠ADC-∠ADE= 25°.12.解：(1)(2,2)(0,4)(2)△AB'C‘如图所示. y 21.O12345x (3)5c=4X5-号×2×2-号×3×4-号×2X5=7.13.1)证明：连接BE :DE是AB的垂直平分线，.AE=BE.∴.∠ABE=∠A=30°.：∠ACB=90, ∴.∠ABC=90°-∠A=60°..∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.∴.在Rt△BCE中，BE= 2CE.AE=2CE.(2)解：△CDE是等腰三角形.理由如下：DE⊥AB,∴∠BDE= 90°.由(1)知∠ABE=30°，∴.在Rt△BDE中，BE=2DE.:BE=2CE,.CE=DE. .△CDE是等腰三角形.14.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.∠B=60°.：DQ AB,RQ⊥BC,∴.∠B+∠BQD=∠BQD十∠PQR=90°..∠PQR=∠B=60°.同理可 得∠PRQ=60°，.∠P=∠PQR=PRQ=60°..△PQR是等边三角形.(2)解： :△ABC是等边三角形.∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等边三角形， ∴.DQ=RD.又∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS).∴.BD=AR. ∠ADR=90°-∠A=30°，.AD=2AR=2BD.∴.AB=BD+AD=3BD=4cm. BD=专cm 阶段小测（八） 1.B2.D3.A4.B5.B6.D7.08.7.59.4010.2x2+7x-411.解： (1)原式=9.x2·2xy2=18.x3y2.(2)原式=a8·a3-a·a2=a1-a1=0.(3)原式= (背)”×(）)×()“×音=（背××）×号-1×音=④原式= 12 +3.x2-2x-6-x-2x2+x=x2-x-6.12.解：原式=3.x2-4y2+y+4y2-2xy+ 2xy-x2=2x2+y.当x=-1,y=-2时，原式=2×(-1)2+(-2)=0.13.解： 第42页（共54页）