阶段小测(五)(范围：15.1～15.2)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

∠BDE=∠CDG, 点，∴.BD=CD.·AB∥CG,∴.∠B=∠DCG.在△BDE和△CDG中，BD=CD, B-/DCG ∴△BDE≌△CDG(ASA)..BE=CG.(2)解：BE十CF>EF.理由如下：连接FG.由 (1)知△BDE≌△CDG,.DE=DG..DF⊥EG,.∠FDE=∠FDG=90°.在△FDE FD-=FD. 和△FDG中，∠FDE=∠FDG,∴.△FDE≌△FDG(SAS)..EF=GF.在△CFG中， DE-DG, CG+CEGE.BECEEF 易错小测（四） 1.D2.C3.D【易错点拨】SSA不能判定两个三角形全等.4.A5.C【易错 点拨】三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，本题实质上是转化为比较AB与 AC+BC的大小关系，本题易忽略对三角形三边关系的运用.6.C7.角的内部到角 两边距离相等的点在角的平分线上8.79.45【易错点拨】本题求的是整个金属框 架所需的材料长，而不是图形的外轮廓所需的材料长.10.2或号【易错点拔】在判 定两个三角形全等时，若未明确对应关系，则需分类讨论.11，解：(1)3 (2).△ABC2△DAE,.ED=AC=8,∠AED=∠ACB=90°..∠CED=180° ∠AED=90.Sm=号CE·ED=12.2.解：如图所示. 13.证明：(1)：DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠DEC=90.AE=CF,∴.AE+EF= CF+EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD:Rt△ABF≌ AF=CE, Rt△CDE(HL).(2)Rt△ABF≌Rt△CDE,.BF=DE.在△BFG和△DEG中， ∠BFG=∠DEG, ∠BGF=∠DGE,.△BFG≌△DEG(AAS)..EG=FG.14.(1)解：DC=DB BF=DE, (2)证明：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F,则∠F= ∠DEB=90°.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF.∠B+∠ACD= 180°，∠ACD+∠FCD=180°，.∠B=∠FCD.在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB, ∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. DF-DE, 几何专练（二）与角平分线、垂直平分线的性质与 判定有关的计算及证明 1.证明：OP垂直平分AB,∴.PA=PB.PA⊥OM,PB⊥ON,∴点P在∠MON的 平分线上..OP平分∠MON.2.解：AD⊥BC,BD=CD,.AB=AC.点C在 AE的垂直平分线上，.AC=EC..AB=AC=CE=5..BD=CD=3,.BE=BD十 CD十CE=3十3十5=11.3.证明：.直线1是线段AB的垂直平分线，.CA=CB, AC=BC, AD=BD.在△ACD和△BCD中，AD=BD,∴.△ACD≌△BCD(SSS).∴∠CAD= CD-CD. ∠CBD.4.证明：：AC平分∠MAN,CE⊥AN,CF⊥AM,∴.CF=CE.,CD∥AN, ∴∠FDC=∠DAE.∠CBE=∠DAE,∴∠CBE=∠FDC.在△CFD和△CEB中， ∠CDF=∠CBE, ∠CFD=∠CEB=90°，∴△CFD≌△CEB(AAS).DF=BE.5.(1)证明：，AD CF=CE, 是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∠C=90°，∴.DC=DE.在Rt△FCD和Rt△BED中， 第40页（共54页） DC=DE:R△FCD≌R△BED(HL).∴CF=EB.(2)解：AB=AF+2BE.理由如 DF=DB. 下：t在R△ACD和R△AED中，DC=DE,:R△ACD≌R△AED(HL.AC- AD=AD, AE.∴.AB=AE+BE=AC+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.6.(1)证明：连接AE EF是AB的垂直平分线，.BE=AE.:AC=BE,AC=AE.:D为线段CE的中 点，ED=CD.:AD=AD,.△AED≌△ACD(SSS).∴∠ADE=∠ADC.∠ADE +∠ADC=180°，∴∠ADC=90°.∴.AD⊥BC.(2)解：由(1)知AD⊥BC,∠ADC=90°. ∠C=60°，∴.∠CAD=90°-∠C=30°.：△AED≌△ACD,∴.∠EAD=∠CAD= 30°.∠BAC=90°，∴.∠BAE=90°-∠EAD-∠CAD=30°..∠BAE=∠EAD,即 AE平分∠BAD.:EF⊥AB,AD⊥BC,∴.EF=ED.ED=CD=2,∴.EF=2. 7.(I)解：由作图痕迹可知AP平分∠BAC,EF垂直平分线段AC,∴.∠BAC= 2∠EAC,AE=CE,AF=CF.EF=EF,.△AEF≌△CEF,∴.∠EAC=∠C .∠BAC=2∠C.∠ABC=90°，.∠C+∠BAC=90°，即∠C+2∠C=90°.∴.∠C= 30°.(2)证明：，AP平分∠BAC,∠ABC=90°，EF⊥AC,∴.BE=FE.∴点E在线段 BF的垂直平分线上.在Rt△ABE和Rt△AFE中， BE=FE:R△ABB2R△AFE AE=AE, (HL),AB=AF.∴.点A在线段BF的垂直平分线上.AP垂直平分线段BF, 8.(I)证明：：P为∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC, .PD=PE,PD=PF..PE=PF.(2)解：连接AP.·四边形ABPC的面积为20， ∴Sar十SaA=20.∴AB,PE+号AC.PF=20,由(1)知PE=PF=PD=4, ÷号×4AB+号×4AC=20.AB+AC=10, 阶段小测（五） 1.A2.C3.B4.B5.C6.D7.如果a>|b,那么a>b8.50°9.7 10.(3,一2)11.解：如图所示 12.证明：AB=AC, .点A在线段BC的垂直平分线上.PB⊥AB,PC⊥AC,.∠ABP=∠ACP=90°.在 AP=AP, Rt△ABP和Rt△ACP中， Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)..BP=CP.点 AB=AC. P在线段BC的垂直平分线上.∴AP垂直平分BC,13.解：如图，点P及点P即为所求. (第13题图) (第14题图) 14.解：(1)如图，△ABC即为所求.A(0,4),B:(2,2),C(1,1).(2)如图，△A2B,C2 即为所求.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)是.如图，直线l即为所求.15.解：(1)AD 十CD≥BC.理由如下：连接BD.,直线l垂直平分线段AB,.DA=DB..AD十CD =DB十CD≥BC.(2)连接AP.:直线I垂直平分线段AB,∴PA=PB,PB+PD= PA+PD≥AD.:SAAx= 号BC·AD=6,BC=4,AD=3.PB+PD长的最小值 为3. 阶段小测（六） 1.D2.D3.C4.A5.D6.A7.60°8.39.38°10.18°或36°11.证明： CD=BD,∴∠DCB=∠B=30°..∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又AD=CD, .△ACD是等边三角形.12.(1)证明：：△ABC为等边三角形，.AB=BC=CA, 第41页（共54页） ∠BAC=∠BCA=60°.：BM=CN,∴.BC-BM=CA-CN,即CM=AN.∴.△BAN≌ △ACM(SAS).(2)解：.'△BAN≌△ACM,.∠ABN=∠CAM.∴.∠BQM=∠ABN +∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.13.(1)证明：连接AD.D是BC的中 点，AB=AC,.AD平分∠BAC.:DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF.(2)解：DE⊥ AB,.∠BED=90°..∠B=90°-∠BDE=35°.：AB=AC,.∠C=∠B=35°. ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=110°.14.(1)证明：∠A=60°，∠C=40°，∴∠ABC =180°-∠A-∠C=80.BD平分∠ABC.∠DBC=之∠ABC=40.∠DBC= ∠C..△BCD为等腰三角形.(2)解：：∠DBC=∠C=40°，.∠BDC=180°-∠DBC -∠C=10O,DB=DC.:E为BC的中点，DE平分∠BDC.:∠EDC=含∠BDC =50°.15.(1)证明：由题意，得∠F=30°.△ABC是等边三角形，.AB=BC, ∠ABC=60°.∴∠BAF=180°-∠F-∠ABC=90°.∴.EF=2AB.∴EF=2BC.(2)解： AH=BE,证明如下：，△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB=60°，∴.∠CHF= ∠ACB-∠F=30°.∴∠CHF=∠F..CF=CH.EF=2BC,∴BE+CF=BC.又 .AC=AH+CH,AC=BC,..AH=BE. 易错小测（七） 1.A2.D3.D4.C5.D【易错点拨】由尺规作图痕迹判断线段或角的关系时理 解不清而致错.6.C【易错点拨】等腰三角形底和腰不明确时，按顶点逐一分类讨 论，不重复不遗漏，且不要忽略点P在AN下方的情况.7.7.58.40°或100° 【易错点拨】顶角和底角不明时，未分类讨论致错.9.1010.611.解：AB=AC, AD为BC边上的中线，.AD⊥BC,∠CAD=∠BAD=50°..∠ADC=90°..AD= AE,·∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)=65.∠CDE=∠ADC-∠ADE= 25°.12.解：(1)(2,2)(0,4)(2)△ABC如图所示. y 5-4- 21,012345x (3)Sx=4X5-号×2×2-合×3X4-号×2X5=7.13.(1)证明：连接BE, DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE.∴.∠ABE=∠A=30°.∠ACB=90°， .∠ABC=90°-∠A=60°.∴.∠CBE=∠ABC-∠ABE=30.∴.在Rt△BCE中，BE= 2CE.∴.AE=2CE.(2)解：△CDE是等腰三角形.理由如下：：DE⊥AB,∠BDE= 90°.由(1)知∠ABE=30°，∴.在Rt△BDE中，BE=2DE.:BE=2CE,∴.CE=DE. .△CDE是等腰三角形.14.(1)证明：，△ABC是等边三角形，∠B=60°.：DQL AB,RQ⊥BC,∴.∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°.∴.∠PQR=∠B=60°.同理可 得∠PRQ=60°，∴·∠P=∠PQR=PRQ=60°..△PQR是等边三角形.(2)解： :△ABC是等边三角形.∴∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等边三角形， ∴.DQ=RD.又：∠BDQ=∠ARD=90°，∴.△BDQ≌△ARD(AAS).∴BD=AR. :∠ADR=90°-∠A=30°，.AD=2AR=2BD.∴.AB=BD+AD=3BD=4cm. BD=号cm 阶段小测（八） 1.B2.D3.A4.B5.B6.D7.08.7.59.4010.2x2+7x-411.解： (1)原式=9x2·2xy2=18x3y2.(2)原式=a·a3-a·a2=a1-a1=0.(3)原式= (号)×（合）×（号）”×号-（背××号）“×号=1x号-名4原式= 、12 +3x2-2x-6-x3-2x2+x=x2-x-6.12.解：原式=3x2-4y2十y十4y2-2xy十 2xy-x2=2x2十y.当x=-1,y=-2时，原式=2×(-1)2+(-2)=0.13.解： 第42页（共54页）阶段小测（五） (范围：15.1~15.2时间：40分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题4分，共24分） 为对称轴，画出点D的对称点E,F,连接 1.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作 AE,AF,则∠EAF的度数为 () 品中，不是轴对称图形的是 ) A.113°B.124°C.129°D.134° 雪 二、填空题（每小题4分，共16分） 7.命题“如果a>b,那么|a>b”的逆命题 是 B D 8.如图，在△ABC中，∠B=∠C=75°，△AB'C 2.在平面直角坐标系中，若点P的坐标为 与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°， (2,1),则点P关于y轴对称的点的坐 则∠CAB的度数为 标为 ( A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1) 3.观察如图所示的作图痕迹，CD是△ABC的 ( (第8题图) (第9题图) A.中线 B.高 9.如图，在四边形ABCD中，DE垂直平分 C.角平分线 D.垂直平分线 AB,DF垂直平分BC.若AD=7,则CD 的长为 10.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换.若原来点 A的坐标是(3,2)，则经过第2025次变 (第3题图) (第4题图) 换后所得的点A的坐标是 4.如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线 MN对称，BB'交MN于点O,则下列说 法不一定正确的是 ) O7 70x A.AC-A'C' B.AB∥B'C 第1次 第2次 关于x轴对称 关于y轴对称 C.AA'⊥MN D.∠ABC=∠A'B'C y 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂 直平分AB,交BC于点D,连接AD.若 O △ACD的周长为50cm,则AC+BC的 第3次 第4次 值为 ( 关于x轴对称 关于y轴对称 A.25 cm B.45 cm 三、解答题（共60分） C.50 cm D.55 cm 11.(10分)如图，将各图形补成关于直线l 对称的图形 B D (第5题图) (第6题图) 6.如图，在△ABC中，∠B=62°，∠C=51°， 点D在BC上，分别以AB,AC所在直线 ·13 12.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,过 中画出这条对称轴. 点B作AB的垂线，过点C作AC的垂 线，两条垂线交于点P,作直线AP.求 证：AP垂直平分BC. 15.(14分)(1)如图①，直线1是线段AB的垂 直平分线，点C在直线l外，且与点A 在直线1的同侧，D是直线1上任意一 点，连接AD,BC,CD,判断AD十CD与 BC之间的大小关系，并说明理由， 13.(12分)电信部门要修建一座电视信号发 (2)如图②，在△ABC中，AD是BC边上 射塔P,按照设计要求，发射塔P到两城 的高，直线（是AB边的垂直平分线， 镇A,B的距离必须相等，到两条高速公 P是直线I上的动点.若S△ABC=6, 路m,n的距离也必须相等.请在图中作 BC=4,求PB+PD长的最小值 出发射塔P的位置.（尺规作图，不写作 法，保留作图痕迹) ●B 图① 图② ●A -n 14.(12分)△ABC在平面直角坐标系中的 位置如图所示。 (1)作出△ABC关于y轴对称的 △ABC,并写出△ABC各顶点 的坐标； (2)将△ABC向右平移6个单位长度， 作出平移后的△A2B2C2,并写出 △A2B,C2各顶点的坐标； (3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是 否关于某条直线对称？若是，请在图 ·14