15.1 图形的轴对称 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 √知识梳理 轴对称 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫 图形 作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后 的点是对应点，叫作对称，点 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ,那么就说 定义 这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直 轴对称 线叫作对称轴，折叠后 的点是对应点，叫作对称点 成轴对称的两个图形 性质 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 线段的垂 经过线段 并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 直平分线 √针对训练 1.下列图形不是轴对称图形的是 ( 5.如图，△ABC与△DEF关于直线l成轴 对称，下列结论正确的是 A.AC=DE B C B.∠B=∠F 2.下列图形中，成轴对称的是 C.直线l⊥AD 马6 55 2己 52 D.AD-3AP A B D 6.下列图形是轴对称图形吗？如果是，画 3.下列图形有两条对称轴的是 ( 出它所有的对称轴。 B (2 (3 4.如图，四边形ABCD是轴对称图形，直 线AC是它的对称轴.若∠BAC=70°， ∠B=55°，则∠D的度数为 A.80° B.70 C.55° D.50 ·14· 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 √知识梳理 线段的垂 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 直平分线 判定 与线段两个端点距离 的，点在这条线段的垂直平分线上 两个命题的题设、结论正好 ,我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题， 互逆命题 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是 命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 互逆定理 互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 针对训练 1.如图，直线L是线段AB的垂直平分线，5.如图，CD垂直平分AB.若 垂足为O,P是直线1上一点，则与线段 AC=4cm,AD=5cm,则 PA一定相等的是线段 ( 四边形ADBC的周长为 A.AO B.PB C.PO D.AB cm. 6.如图，在△ABC中，AC⊥BC,AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E,连接CE.求 证：AD是CE的垂直平分线. (第1题图) (第4题图) 2.点P在△ABC内，已知PA=5cm,PB= 5cm,则点P一定 A.是边AB的中点 B.在边AB的中线上 C.在边AB的高上 D.在边AB的垂直平分线上 3.“如果m,n互为相反数，那么m十n=0” 的逆命题是 ,该逆命题是 (填“真”或 “假”)命题， 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分 别交AB,BC于点D,E,连接AE.若 AE=4,EC=2,则BC的长是 ·15· 第2课时线段垂直平分线的有关作图 √针对训练 1.如图，根据尺规作图的痕迹，可判断AD5.如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由 一定是△ABC的 A处向B处行驶，M,N分别是位于公路 A.角平分线 AB两侧的村庄.当汽车行驶到哪个位 B.中线 置时，与村庄M,N的距离相等？（保留 C.高 作图痕迹，不写作法) D.无法确定 M 2.图①②③分别对应下列尺规作图：①作 B 条线段的垂直平分线；②作一个角的 平分线；③过直线上一点作直线的垂线： 其中作法正确的是 6.如图，已知线段a,b,按下列要求用直尺 ① ② ③ A.①② B.①③ 和圆规作△ABC,使∠A=90°，BC=a, C.②③ D.①②③ AB=b.(要求保留作图痕迹，不写作法) La一b 3.如图，在△ABC中，∠B= 54°，以点C为圆心，CA长 为半径作弧，交AB于点 D,分别以点A,D为圆心，大于AD长 为半径作弧，两弧相交于点E,作直线 CE,交AB于点F,则∠BCF的度数是 4.画出下列各图所有的对称轴. ·16…随堂反馈答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 首尾顺次相等相等 针对训练 1.C2.B3.B4.B5.(1)EFE(2)ABC AB6.解：等腰三角形是△ABE, △ADE,△CDE.等边三角形是△ADE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 大于小于 针对训练 1.A2.C3.C4.不合理三角形两边的和大于第三边5.66.解：(1)3十4= 7>5,.能摆成三角形.(2)8十7=15，.不能摆成三角形.(3)13十12=25>20， .能摆成三角形.(4)：5十5=10<11，∴.不能摆成三角形.7.解：(1)设第三边长为 x.:三角形的一边长为9，另一边长为1，.9-1<x<9十1，即8<x<10.(2)第三边 长为奇数，∴.第三边长为9.∴三角形的周长为9十1十9=19. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 中点D中线AE垂线 针对训练 1.B2.D3.A4.45.解：(1)∠CAB=90°，AD是边BC上的高，∴.S△Ax= 4C号BCAD.AD=ABAC=6X8=4,8(cm.(2FA证 BC 10 中线，.BE=CE..AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm),即 △ACE和△ABE的周长之差是2cm. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识梳理 180° 针对训练 1.B2.A3.B4.100°5.解：：∠B=42°，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+10°= ∠C,∠A+42°+∠A+10°=180°.∴.∠A=64°.6.解：(1)：∠B=66°，∠C=54, ∴·∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.又·AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30.·∠ADC=180°-∠C-∠CAD=96.(2):DE⊥AC,∠AED= 1 90°..∠ADE=180°-∠AED-∠CAD=60 第2课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 互余互余 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.60°6.证明：ED⊥BD,∠CDE=90°，∠CED+ ∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,∴.∠ACB+∠DCE=90°.∴∠ACE=180°-（∠ACB 十∠DCE)=90°.△ACE是直角三角形.7.解：∠EFG=90°，∠E=28°， .∠FGE=90°-∠E=62°.：GE平分∠FGD,.∠FGD=2∠FGE=124°.AB∥ CD,∴.∠BFG=180°-∠FGD=56°..∠EFB=90°-∠BFG=34°. 13.3.2三角形的外角 知识梳理 延长线不相邻360° 针对训练 1.C2.D3.C4.∠2>∠1>∠A5.75°6.解：根据三角形的外角的性质，得x十 70=x十x十10，解得x=60.∴x十70=130..y=180-130=50.7.解：：∠A=50°， ∠BDC=68°，∴.∠ABD=∠BDC-∠A=18°.：BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD =36°.又DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=36 第46页（共54页） 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 完全重合完全重合全等于对应边对应角相等相等 针对训练 1.D2.C3.C4.A5.51°6.解：.△ABD≌△ACE,.∠BAD=∠CAE,即 ∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAC.∴.∠BAC=∠DAE=30°.，∠CAD=100°， ∴.∠BAE=∠CAD-∠BAC-∠DAE=40 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 知识梳理 夹角SAS 针对训练 1.D2.C3.C4.解：BE∥DF.理由如下：AE=CF,.AE十EF=EF十CF,即 AD=CB, AF=CE.在△ADF和△CBE中，∠A=∠C,.△ADF≌△CBE(SAS).∠AFD= AF=CE, ∠CEB.BE∥DF.5.解：：C是BD的中点，∴CD=CB.在△ABC和△EDC中， CB=CD, ∠ACB=∠ECD,∴.△ABC≌△EDC(SAS).∴.AB=ED=42m.答：池塘AB的长为 CA=CE, 42m. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 知识梳理 相等ASA相等对边AAS 针对训练 1.C2.C3.73°4.35.证明：∠3=∠1十∠B,∠4=∠2十∠D,∠1=∠2，∠3 ∠1=∠2， =∠4，∴∠B=∠D.在△ACB和△ACD中， ∠B=∠D,.△ACB≌△ACD(AAS). AC-AC. ∠A=∠BEC, 6.(1)证明：·AD∥BC,∴.∠ADB=∠EBC.在△ABD和△ECB中， AD-EB. ∠ADB=∠EBC, .△ABD≌△ECB(ASA).(2)解：5 第3课时用“SSS”判定三角形全等 针对训练 1.B2.AC=BD3.100°4.证明：AD=BC,∴.AD-CD=BC-CD,即AC=BD (AC=BD, 在△ACE和△BDF中，JAE=BF,.△ACE≌△BDF(SSS) CE=DF, 第4课时尺规作角及平行线 针对训练 1.解：如图所示.2.解：如图，△ABC即为所求. (第1题图) (第2题图) 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 知识梳理 一直角边 HL 针对训练 1.C2.C3.(1)AC=BD(2)AB=CD4.75.证明：BD,CE是△ABC的高， 第47页（共54页） .∠BDC=∠CEB=90°.在Rt△BDC和Rt△CEB中， BC=CB..R△BDC≌ BD=CE, Rt△CEB(HL).6.证明：(1)在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF,:.R△ABE≌ AB=CB. Rt△CBF(HL..BE=BF,(2)由(1)，知Rt△ABE≌Rt△CBF,∠EAB=∠FCB. ∠FCB+∠F=90°，∴∠EAB+∠F=90°.∴∠FGA=90°.∴AG⊥CF 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的画法及性质 知识梳理 相等 针对训练 1.B2.C3.A4.145.解：如图，BD,CE即为所求. 6.证明： :CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,.OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.在△BOD ∠BDO=∠CEO, 和△COE中，OD=OE, ∴.△BOD≌△COE(ASA)..OB=OC ∠BOD=∠COE, 第2课时角的平分线的判定 知识梳理 相等三条角平分线 针对训练 1.C2.B3.B4.75.解：如图，点P即为所求. 6.证明： D是BC的中点，BD=CD.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°.在 ∠B=∠C, △BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD,.△BDE≌△CDF(AAS).∴.DE=DF.又 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,.点D在∠BAC的平分线上..AD平分∠BAC 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 互相重合 重合重合重合全等垂直平分中点垂直 针对训练 1.D2.D3.C4.C5.C 6.解：(1)(3)是轴对称图形，(1)(3)的对称轴如图所示. 米 (1) (3) 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 相等相等相反真 针对训练 1,B2.D3.如果m十n=0,那么m,n互为相反数真4.65.186.证明：：AD 平分∠BAC,DE⊥AB,AC⊥BC,·∠AED=∠ACD=90°，DE=DC.∴.点D在CE的 E直平分线上，在△AED和R△ACD中，E-CA△AED△ACD (HL)..AE=AC..点A在CE的垂直平分线上..AD是CE的垂直平分线 第48页（共54页） 第2课时线段垂直平分线的有关作图 针对训练 1.B2.C3.36°4.解：如图所示.5.解：如图，点C即为所求.6.解：如图， △ABC即为所求. 米米 AC B (第4题图) (第5题图) (第6题图) 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称图形 针对训练 1.B2.解：(1)如图，A'B即为所求 (2)如图，△DEF即为所求 3.解：如图所示 4.解：(1)如图所示 (2)65.解：如图所示.（答案不唯一） 第2课时用坐标表示轴对称 知识梳理 (x,-y)(x,y) 针对训练 1.D2.A3.A4.A5.16.(-1,2)7.解：(1)如图，△ABC即为所求.点B 的坐标为(-4，一5).(2)如图，△AB2C2即为所求，点B的坐标为(4,5). 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识梳理 底角等边对等角高三线合一轴对称对称轴 针对训练 1.C2.B3.B440°5.解：AB=AC,∠A=38,∠ABC=∠C=号180°- ∠A)=71°.AD=BD,∴∠ABD=∠A=38.∠DBC=∠ABC-∠ABD=33 6.解：AB=AC,AD是BC边上的高，BD=4cm,.BC=2BD=8cm.△ABC的周 30 cm,..AB++AC+BC=30 cm...2AC+8=30...AC=11 cm. 第49页（共54页） 第2课时等腰三角形的判定 知识梳理 两两等角对等边 针对训练 1.C2.A3.44.35.246.解：如图，△ABC即为所求 7.证明：.AB =AC,∴∠ABC=∠ACB.BP,CQ是△ABC两腰上的高，∴·∠BPC=∠BQC=90. ∴.∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC.∴.∠OBC=∠OCB.∴.OB=OC. 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识梳理 相等相等60°相等相等60 针对训练 1.B2.B3.D4.D5.206.证明：△AB0是等边三角形，.∠A=∠B= ∠AOB=60°.：CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°.又：∠COD=∠AOB= 60°，∴.∠C=∠D=∠COD.∴△OCD是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 一半 针对训练 1.B2.A3.B4.65.66.解：(1)AB=AC,∠C=30°，∠B=∠C=30. ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.AD⊥AB,∴∠BAD=90°.∴.∠DAC=∠BAC -∠BAD=30°.(2)：AD=6cm,∠B=30°，∠BAD=90°，.BD=2AD=12cm. :∠DAC=∠C=30°，∴.CD=AD=6cm.∴.BC=BD+CD=18cm. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 知识梳理 不变相加am+mam+a+pa”a2 针对训练 1.A2.B3.C4.D5.B6.87.解：(1)原式=x3+5=x.(2)原式=x3+a-= .8)原式=-子×（宁）广×子=-()”=-（分）=一点&解：2× 1 1+2+1 1 210×210×210=21+1o+1+1°=21(B).答：对于一个存储容量为2GB的内存盘，其存储容 量为21B. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 知识梳理 底数指数am乘方相乘a"b”(a”)m(ab)” 针对训练 1.C2.A3.D4.B5.D6.97.解：(1)原式=m”·m=m.(2)原式=23· (x)-x=8x-=7x.3)原式=-6(-6)=6“.（④）原式=[25×（房）门 =(-1)°=1.(5)原式=a8十a十(-2)2·(a)2=2a8十4a8=6a.8.解：9×27+ =81,.(32)×(3)+1=3..32×33+3=3,即3+3=3.5n十3=4，解得n=5 16.2整式的乘法 第1课时单项式与单项式相乘 知识梳理 系数同底数幂指数 针对训练 1D2B3C4.A5解：1)原式=「-号×(-4)]x·)=102.(2)原式= 第50页（共54页） [2×(-](·xy)=-8ry.(8)原式=4ry·(是r）-[4X (（专)]x·r)y·0=-22y6解：1光年=3X10)X8X10)=8 ×3)×(108×10)=9×105(m).9×105m=9×102km.答：1光年约是9×1012km. 第2课时单项式与多项式相乘 知识梳理 每一项相加pa十pb十pc 针对训练 1.C2.D3A4a+分ab5.一号6解：1)原式=3a·方ab+3a2…份= a2b+3ab.(2)原式=-2x·x2+(-2x)·(-2x)十(-2x)×3=-2x3十4x2-6x. (3)原式=(-x2-xy十y2)·x2y2=-x2·xy2+(-xy)·x2y2十y2·x2y2=-xy -y+2.7解：原式=-合2·2xy+(-合）·（4ry)+4 -xy2+2xy2+4x3y=3xy2+2xy.当x=2,y=-1时，原式=3×2×(-1)2+2 ×2×(-1)2=56. 第3课时多项式与多项式相乘 知识梳理 每一项每一项积ap十ag十bp十bg 针对训练 1.C2.B3.B4.a+4a十35.66.解：(1)原式=2a·(-a)十2a·(-3)+5· (-a)+5×(-3)=-2a2-6a-5a-15=-2a2-11a-15.(2)原式=2x·x+2x·5y +(-3y)·x十(-3y)·5y=2x2+10xy-3xy-15y2=2x2+7xy-15y2.(3)原式= (2a-1)(2a-1)=2a·2a+2a·(-1)+(-1)·2a+(-1)×(-1)=4a2-2a-2a+1 =4a2-4a十1.(4)原式=x·x2+x·(-xy)+x·y2+y·x2+y·(-xy)十y·y2= x3-x2y十xy2十x2y-xy2十y3=x3+y.7.解：(1)绿化的面积是(2a+b)(a十b)-a2 =2a+3ab+62-a=a2+3ab+(m).(2)当a=3,b=2时，a2+3ab+6=32+3×2 ×3十2=31..绿化的面积为31m. 第4课时同底数幂的除法 知识梳理 不变相减am-”11 针对训练 1.B2.B3.D4.C5.66.解：(1)原式=m22-2=m”.(2)原式=-x3÷(-x5) =x3-i=x8.(3)原式=(x2y)5-2=(x2y)3=xy3.(4)原式=a2m+4-m2》=am+, 7.解：(1)3”-2m=3"÷32m=3”÷(3m)2=36÷22=9.(2)由(1)知3m-2m=9=32,∴.n-2m =2.∴.2"÷4m=2"÷(22)m=2m÷22m=2m-2m=22=4. 第5课时单项式除以单项式 知识梳理 系数同底数幂字母指数 针对训练 1.D2.D3(1)4y(2)-号a641.4×105.解：(1D原式=(-8÷ 2)x-y2-1=-4xry.(2)原式=[-3÷(-9)]a3-1b62c=3a2c(3)原式=[1.5÷ 1 (-3)]×(108÷103)=-0.5×105=-5×10.(4)原式=-6a62÷6a6=-a2b. 6.解：(1)根据题意，得这条边上的高为2×8(a2b)3÷(2ab)2=16ab3÷4ab2=4ab. (2).(a5b2)2÷a2b2=a1b÷a2=a8b2=4,∴.(ab)2=4..ab>0,.ab=2.∴.4ab =8,即这条边上的高为8. 第6课时多项式除以单项式 知识梳理 每一项相加 针对训练 1.B2.B3.A4.A5.5y2-3y十16.-37.解：(1)原式=12x2y3÷4xy2- 8x3y2÷4x2y2=3y-2x.(2)原式=12x3÷(-4x)+8x2÷(-4x)-16x÷(-4x)= -3x2-2x十4.(3)原式=20x3y÷(-5x2y2)+10xy÷（-5x3y2)-20x3y2÷ 第51页（共54页）