14.1 全等三角形及其性质&14.2 三角形全等的判定 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 √知识梳理 全等形 能够 的两个图形叫作全等形 能够 的两个三角形叫作全等三角形.全等用符号“≌”表示，读作 定义 ”.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶，点，重 全等 合的边叫作 ,重合的角叫作 三角形 (1)平移、翻折、旋转前后的图形全等； 性质 (2)全等三角形的对应边 ,对应角 针对训练 1.下列图形中，与所给图形全等的是 4.如图，△ABC≌△DEC,点B,C,D在同 一条直线上.若CE=5,AC=7,则BD 的长为 ( ) A.12 B.7 C.2 D.14 5.如图，两个三角形全等，则∠α的度数是 2.如图，△AOC≌△BOD,C,D是对应点， 则下列结论错误的是 A.∠A与∠B是对应角 93s 3 93 B.∠AOC与∠BOD是对 6.如图，△ABD≌△ACE,∠DAE=30°， 应角 ∠CAD=100°，求∠BAE的度数. C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边 3.如图，已知△ABC≌△AED,∠B=30°， 则∠E的度数为 ( A.90° B.60° C.30° D.45° B (第3题图) (第4题图) 。7 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 √知识梳理 内容 图例 用“SAS”判定 两边和它们的 分别相等的两个三角形全等， 三角形全等 简写成“边角边”或“ 易错警醒 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 针对训练 1.如图，已知AB=CB,若依据“SAS”判定 BE和DF的位置关系，并说明理由. △ABD≌△CBD,需要补充的一个条 件是 A.∠A=∠C B.∠ADB=∠CDB C.BD=BD D.∠ABD=∠CBD 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分 ∠BAC,则下列结论错误的是( 5.如图，小明想要测量池塘AB的长，池塘 A.∠B=∠C B.AD⊥BC 西边有一电杆D,在BD的中点C处有 C.∠BAD=∠ACDD.BD=CD 棵松树，小明从点A出发，沿直线AC 一直向前经过点C走到点E(A,C,E三 点共线)，并使CE=CA,然后他测得点 E与电杆D之间的距离是42m,求池塘 B (第2题图) (第3题图) AB的长. 3.如图，AB与CD交于点O,OA=OC, OD=OB,∠A=50°，∠B=30°，则∠AOD 的度数为 ( A.50° B.80° C.100 D.110 4.如图，已知点A,E,F,C在同一条直线 上，∠A=∠C,AE=CF,AD=CB.判断 ·8· 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 √知识梳理 用“ASA”判 两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等，简写成“角边角”或 定三角形全等 用“AAS”判 两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写成“角 定三角形全等 角边”或“ 易错警醒 三个角分别相等的两个三角形不一定全等 √针对训练 1.如图，已知∠1=∠2，∠BDA=∠CDA,5.如图，点C在AE上，∠1=∠2，∠3= 则直接判定△ABD≌△ACD的依据是 ∠4，求证：△ACB≌△ACD. ( A.SSA B.SAS C.ASA D.AAS (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB,CD相交于点E,∠A=∠D, 添加下列条件后，仍不能判定△ACE≌ 6.如图，在四边形ABCD中，E为对角线BD上 △DBE的是 ( ) 一点，∠A=∠BEC,AD∥BC,且AD=BE. A.AE=DE B.CE=BE (1)求证：△ABD≌△ECB; C.AB-CD D.AC=DB (2)若BC=12,DE=7,则BE的长为 3.如图，AD=AE,点C在BE上，∠1= ∠2，∠D=∠E,∠B=73°，则∠ACD的 度数为 (第3题图) (第4题图) 4.如图，已知点B,D,C,F在同一条直线 上，AB∥EF,AC∥DE,AC=DE.若 BF=8,CD=2,则BD的长为 ·9 第3课时 用“SSS”判定三角形全等 针对训练 1.如图，AB=AC,BD=CD,则可推出 4.如图，点A,C,D,B在同一条直线上， AE=BF,CE=DF,AD=BC.求证： A.△BAD≌△BCD △ACE≌△BDF. B.△ABD≌△ACD C.△ACD≌△BCD D.△ACE≌△BDE 2.如图，已知AD=BC,用“SSS”判定 △ABD与△ABC全等，需要添加的一 个条件为 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，AD=DE,AB=BE, ∠A=80°，则∠CED的度数为 第4课时 尺规作角及平行线 √针对训练 1.如图，在△ABC中，点D在BC边上，请2.尺规作图：已知线段a和∠a,求作 用尺规作图法，在AC边上求作一点E,使 △ABC,使AB=a,AC=2a,∠BAC= 得DE∥AB.(保留作图痕迹，不写作法) ∠α.（保留作图痕迹，不写作法) ·10· 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 √知识梳理 用“HL”判定直 斜边和 分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或 角三角形全等 易错警醒 要判定两个三角形全等，至少需要三个条件，其中必有边相等的条件 针对训练 1.如图，P是∠BAC内一点，且点P到AB,5.如图，BD和CE是△ABC的高，且 AC的距离PE,PF相等，则直接判定 BD=CE.求证：△BDC≌△CEB: Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是( A.AAS B.ASA C.HL D.SSS B (第1题图) (第2题图) 2.如图，∠B=∠D=90°，AB=AD,∠1= 35°，则∠2的度数为 () 6.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC= A.35° B.45° C.55° D.60° 90°，F为AB延长线上的一点，点E在 3.如图，已知AB⊥BC于点B,CD⊥BC于 BC上，且AE=CF,延长AE,交CF于 点C. 点G. (1)若用“HL”判定△ABC≌△DCB,则 (1)求证：BE=BF; 应添加的一个条件为 (2)求证：AG⊥CF. (2)若用“SAS”判定△ABC≌△DCB,则 应添加的一个条件为 B D (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB 于点E,且AE=AC.若BC=7,则DE十 BD的值为 ·11·随堂反馈答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 首尾顺次相等相等 针对训练 1.C2.B3.B4.B5.(1)EFE(2)ABC AB6.解：等腰三角形是△ABE, △ADE,△CDE.等边三角形是△ADE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 大于小于 针对训练 1.A2.C3.C4.不合理三角形两边的和大于第三边5.66.解：(1)3十4= 7>5,.能摆成三角形.(2)8十7=15，.不能摆成三角形.(3)13十12=25>20， .能摆成三角形.(4)：5十5=10<11，∴.不能摆成三角形.7.解：(1)设第三边长为 x.:三角形的一边长为9，另一边长为1，.9-1<x<9十1，即8<x<10.(2)第三边 长为奇数，∴.第三边长为9.∴三角形的周长为9十1十9=19. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 中点D中线AE垂线 针对训练 1.B2.D3.A4.45.解：(1)∠CAB=90°，AD是边BC上的高，∴.S△Ax= 4C号BCAD.AD=ABAC=6X8=4,8(cm.(2FA证 BC 10 中线，.BE=CE..AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm),即 △ACE和△ABE的周长之差是2cm. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识梳理 180° 针对训练 1.B2.A3.B4.100°5.解：：∠B=42°，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+10°= ∠C,∠A+42°+∠A+10°=180°.∴.∠A=64°.6.解：(1)：∠B=66°，∠C=54, ∴·∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.又·AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30.·∠ADC=180°-∠C-∠CAD=96.(2):DE⊥AC,∠AED= 1 90°..∠ADE=180°-∠AED-∠CAD=60 第2课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 互余互余 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.60°6.证明：ED⊥BD,∠CDE=90°，∠CED+ ∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,∴.∠ACB+∠DCE=90°.∴∠ACE=180°-（∠ACB 十∠DCE)=90°.△ACE是直角三角形.7.解：∠EFG=90°，∠E=28°， .∠FGE=90°-∠E=62°.：GE平分∠FGD,.∠FGD=2∠FGE=124°.AB∥ CD,∴.∠BFG=180°-∠FGD=56°..∠EFB=90°-∠BFG=34°. 13.3.2三角形的外角 知识梳理 延长线不相邻360° 针对训练 1.C2.D3.C4.∠2>∠1>∠A5.75°6.解：根据三角形的外角的性质，得x十 70=x十x十10，解得x=60.∴x十70=130..y=180-130=50.7.解：：∠A=50°， ∠BDC=68°，∴.∠ABD=∠BDC-∠A=18°.：BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD =36°.又DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=36 第46页（共54页） 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 完全重合完全重合全等于对应边对应角相等相等 针对训练 1.D2.C3.C4.A5.51°6.解：.△ABD≌△ACE,.∠BAD=∠CAE,即 ∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAC.∴.∠BAC=∠DAE=30°.，∠CAD=100°， ∴.∠BAE=∠CAD-∠BAC-∠DAE=40 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 知识梳理 夹角SAS 针对训练 1.D2.C3.C4.解：BE∥DF.理由如下：AE=CF,.AE十EF=EF十CF,即 AD=CB, AF=CE.在△ADF和△CBE中，∠A=∠C,.△ADF≌△CBE(SAS).∠AFD= AF=CE, ∠CEB.BE∥DF.5.解：：C是BD的中点，∴CD=CB.在△ABC和△EDC中， CB=CD, ∠ACB=∠ECD,∴.△ABC≌△EDC(SAS).∴.AB=ED=42m.答：池塘AB的长为 CA=CE, 42m. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 知识梳理 相等ASA相等对边AAS 针对训练 1.C2.C3.73°4.35.证明：∠3=∠1十∠B,∠4=∠2十∠D,∠1=∠2，∠3 ∠1=∠2， =∠4，∴∠B=∠D.在△ACB和△ACD中， ∠B=∠D,.△ACB≌△ACD(AAS). AC-AC. ∠A=∠BEC, 6.(1)证明：·AD∥BC,∴.∠ADB=∠EBC.在△ABD和△ECB中， AD-EB. ∠ADB=∠EBC, .△ABD≌△ECB(ASA).(2)解：5 第3课时用“SSS”判定三角形全等 针对训练 1.B2.AC=BD3.100°4.证明：AD=BC,∴.AD-CD=BC-CD,即AC=BD (AC=BD, 在△ACE和△BDF中，JAE=BF,.△ACE≌△BDF(SSS) CE=DF, 第4课时尺规作角及平行线 针对训练 1.解：如图所示.2.解：如图，△ABC即为所求. (第1题图) (第2题图) 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 知识梳理 一直角边 HL 针对训练 1.C2.C3.(1)AC=BD(2)AB=CD4.75.证明：BD,CE是△ABC的高， 第47页（共54页） .∠BDC=∠CEB=90°.在Rt△BDC和Rt△CEB中， BC=CB..R△BDC≌ BD=CE, Rt△CEB(HL).6.证明：(1)在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF,:.R△ABE≌ AB=CB. Rt△CBF(HL..BE=BF,(2)由(1)，知Rt△ABE≌Rt△CBF,∠EAB=∠FCB. ∠FCB+∠F=90°，∴∠EAB+∠F=90°.∴∠FGA=90°.∴AG⊥CF 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的画法及性质 知识梳理 相等 针对训练 1.B2.C3.A4.145.解：如图，BD,CE即为所求. 6.证明： :CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,.OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.在△BOD ∠BDO=∠CEO, 和△COE中，OD=OE, ∴.△BOD≌△COE(ASA)..OB=OC ∠BOD=∠COE, 第2课时角的平分线的判定 知识梳理 相等三条角平分线 针对训练 1.C2.B3.B4.75.解：如图，点P即为所求. 6.证明： D是BC的中点，BD=CD.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°.在 ∠B=∠C, △BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD,.△BDE≌△CDF(AAS).∴.DE=DF.又 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,.点D在∠BAC的平分线上..AD平分∠BAC 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 互相重合 重合重合重合全等垂直平分中点垂直 针对训练 1.D2.D3.C4.C5.C 6.解：(1)(3)是轴对称图形，(1)(3)的对称轴如图所示. 米 (1) (3) 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 相等相等相反真 针对训练 1,B2.D3.如果m十n=0,那么m,n互为相反数真4.65.186.证明：：AD 平分∠BAC,DE⊥AB,AC⊥BC,·∠AED=∠ACD=90°，DE=DC.∴.点D在CE的 E直平分线上，在△AED和R△ACD中，E-CA△AED△ACD (HL)..AE=AC..点A在CE的垂直平分线上..AD是CE的垂直平分线 第48页（共54页）