第十三章 三角形 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

第十三章整 高频考点突破⊙ 考点1三角形的有关概念及三边关系 1.下列长度的三条线段，能构成三角形的 是 A.9,6,4 B.11,6,5 C.6,2,3 D.3,10,6 2.(2024·陕西中考)如图，在△ABC中， ∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC 的中点，连接AE,则图中的直角三角形共 有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.直观想象数形结合下列图形中，每个盒子 里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀 按图中所示剪成两段，这两段小棒再与另一 根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的 是 考点2 三角形的中线、角平分线、高及 稳定性 4.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD, E,F,G,H,M,N分别是四条边上的点.为了 稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条 应钉在 ( ) A.G,N两点处 B.B,D两点处 C.E,F两点处 D.M,H两点处 ED (第4题图) (第5题图) 合与提升 5.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分 线，AF是中线，则下列说法错误的是() A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° C.∠BAF=∠CAFD.S△ABc=2 SAABF 6.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线， AD=4,S△ABc=12,则BE的长为( A.1.5B.3 C.4 D.6 (第6题图) (第7题图) 7.如图，点D是△ABC的重心，连接AD,BD, 延长AD交BC于点E.若△ABD的面积为 3,则△ACE的面积为 考点3三角形的内角与外角 8.在△ABC中，三个内角度数之比为2：3：5， 则△ABC的形状是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 9.如图，∠1=∠2=150°，则∠3的度数为( A.30° B.150° C.120° D.609 309 B∠ (第9题图) (第10题图) 10.(2025·宁夏银川一模)将直尺与30°角的三 角尺如图所示叠放在一起，若∠2=70°，则 ∠1的大小是 11.学科融合光的反射如 图，两面镜子AB,BC B 的夹角为∠a,当光线 经过镜子后反射， ∠1=∠2，∠3=∠4.若∠α=70°，则∠3的 度数是 数学Ⅱ八年级上册14 12.(2025·宁夏吴忠二模)将 2 块含30°角的直角三角尺 ABC按如图方式放置在A4 纸片上，其中点A,B分别落在纸片边上.若 ∠1=105°，则∠2的度数为 13.如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角 平分线，AE,BF相交于点O,∠C=70°. (1)∠AOB的度数为 (2)若∠ABC=50°，求∠DAE的度数， @易错易混专攻。 易错点在三角形的计算中因无图未分 类讨论导致漏解 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在 AB边上，连接CD,若△ACD为直角三角 形，则∠BCD的度数为 2.在△ABC中，BC=6,BC边上的高AD=4, 且BD=2,则△ACD的面积为 身新趋势·新题型·新考向。 新趋势新定义在一个三角形中，若一个内角 的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的 三角形称为“优美三角形”.例如：三个内角分别 为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”. 15第十三章三角形 【概念理解】 (1)如图①，∠MON=60°，点A在边OM上，过 点A作AB⊥OM,交ON于点B,以A为端 点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与 点O,B重合). ①△AOB “优美三角形”；（选填 “是”或“不是”) ②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三 角形”； 【应用拓展】 (2)如图②，点D在△ABC的边AB上，连接 DC,∠BDC>90°，作∠ADC的平分线，交 AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+ ∠BDC=180°，∠DEF=∠B.若△BCD是 “优美三角形”，求∠B的度数 M 图① 图②有四个面，每个面都是一样大小的三角形 动手操作2：解：如图所示，移 动最上面两根火柴棒即可！ 【变式题】解：如图所示 活动2 解：(1)如图所示 56(2)按照上述三种方 法，n边形分别可以被分割成n一2，n一1，n个三角形 第十三章整合与提升 高频考点突破 1.A2.C3.B4.B5.C6.B7.4.58.D9.D10.50°11.40°12.75° 13.解：(1)125°(2)：∠C=70°，∠ABC=50°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60. :AE平分∠BAC∠CAE=号∠BAC=30.:AD是△ABC的商，∠ADC=90. ∴.∠DAC=90°-∠C=20°.∴.∠DAE=∠CAE-∠DAC=10°. 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 新趋势·新题型·新考向 解：(1)①是②：∠MON=60°，∠ACB=80°，.∠OAC=∠ACB-∠MON=20. :∠AOC=3∠OAC,∴.△AOC是“优美三角形”.(2)：∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC +∠BDC=180°，∴.∠EFC=∠ADC,∴.AD∥EF,.∠DEF=∠ADE.,∠DEF= ∠B,∴∠B=∠ADE,DE∥BC,∴.∠CDE=∠BCD.DE平分∠ADC,∠ADE= ∠CDE,∴.∠B=∠BCD.,△BCD是“优美三角形”，∠BDC>90°，∠BDC=3∠B. :∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴.3∠B+∠B+∠B=180°，∴∠B=36. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 基础过关 1.B2.C3.D4.CDDO∠C5.△EDF F ED6.C7.C8.13 9.(1)证明：，'△ABC≌△CDE,,.∠BAC=∠DCE.'.AB∥CE.(2)解：，'△ABC≌ ACDE,..CD=AB=12,AC=CE=7...AD=CD-AC=5. 能力提升 10.D11.B12.813.解：(1).△ABC≌△DEB,.AB=DE=10,EB=BC=4. .AE=AB-EB=6.(2):△ABC≌△DEB,∴.∠A=∠D=30°，∠C=∠DBA=70. .∠ABC=180°-∠A-∠C=80°.·∠DBC=∠ABC-∠DBA=10°. 思维拓展 14.解：(1)AC⊥CE.理由如下：AB⊥BD,.∠B=90°..∠A十∠ACB=90 :△ABC≌△CDE,.∠A=∠DCE..∠DCE+∠ACB=90°.：∠DCE+∠ACB+ ∠ACE=180°，∴.∠ACE=90°..AC⊥CE.(2)AC⊥BE.理由如下：由平移的性质，得 BE∥CE.由(1)知AC⊥CE,∴.AC⊥BE.(3)S△Ae=12,AF:CF=3：1,.S△C =Sm-3.由平移的性质，得△BDE'2△CDE.:△ABC2△CDE,△ABC≌ △BD'E'..SAo'E=S△ABc=12..S四边形Ep=SADE-S△re=9. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 基础过关 L.C2.C3.AEB SAS4.证明：∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE+∠CAE=∠CAD AB-AE, 十∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌ AC-AD 第4页（共54页） OA-OD. △AED(SAS).5.证明：在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC,.△AOB≌ OB=OC, △DOC(SAS),.∠B=∠C,∴AB∥DC.6.解：BC=EF.理由如下：由题意可知， ∠CAB=∠FDE=90°，易得AC=DH=2m,DE=DH+HE=2十2=4(m),∴.DE= AB-DE, AB,DF=AC.在△ABC和△DEF中，J∠CAB=∠FDE,.△ABC≌△DEF(SAS), AC=DF, .BC=EF,即两个滑梯BC和EF的长度相等. 能力提升 7.B8.D9.解：由题意，得AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°.：D村在公路BC的 AD-AD. 中点处，.BD=CD.在△ADB和△ADC中，∠ADB=∠ADC,.△ADB≌ BD=CD, △ADC(SAS).AB=AC=3km..EF=AB-AE-BF=1.1km..斜拉桥EF至少 有1.1km长.10.(1)证明：BE平分∠ABC,.∠ABE=∠DBE.在△ABE和 (AB=DB, △DBE中，∠ABE=∠DBE,∴△ABE≌△DBE(SAS).(2)解：65°(3)解：，BC= BE=BE, 10,DB=AB=7,.CD=BC-BD=3..△ABE2△DBE,,DE=AE.∴.△DCE的周 长为CD+CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=8. 思维拓展 11.1或1.2【点拨】根据题意，得AP=tcm,则BP=(5-t)cm.已知∠A=∠B,分两 种情况进行讨论：当AC=BP,AP=BQ时，可判定△ACP≌△BPQ;当AC=BQ,AP =BP时，可判定△ACP≌△BQP.分别进行计算即可解答. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 基础过关 1.全等ASA2.∠A=∠BCE(答案不唯一)3.94.证明：，AB∥CD,AE∥CF, ∴∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.:BF=DE,.BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在 ∠B=∠D, △ABE和△CDF中，BE=DF, .△ABE≌△CDF(ASA).∴AB=CD. ∠AEB=∠CFD, 5.D6.(1)ASA(2)AAS7.28.证明：DE∥AB,∴∠ADE=∠BAC.在△ADE ∠E=∠C, 和△BAC中， ∠ADE=∠BAC,∴.△ADE≌△BAC(AAS),∴AE=BC. AD=BA. 能力提升 9.A10.0.411.证明：(1).BD平分∠ABC,OB平分∠EOF,.∠EBO=∠FBO, (∠BOE=∠BOF, ∠BOE=∠BOF.在△OBE和△OBF中，OB=OB, ..△OBE≌ ∠EBO=∠FBO, △OBF(ASA).(2):∠BOE=∠COD=180°-∠BOC=60°，∴.∠BOF=∠BOE=60. ∴.∠COF=∠BOC-∠BOF=60°.∴∠COF=∠COD.:CE平分∠ACB,∴.∠FCO= ∠COD=∠COF, ∠DCO.在△COD和△COF中，OC=OC, ∴.△COD≌△COF(ASA). ∠DCO=∠FCO, 思维拓展 12.解：任务一①DC0OD②理由如下：，AO⊥OD,∴.∠AOB=∠DOC=90°.在 (∠AOB=∠DOC, △AOB和△DOC中，J∠ABO=∠DCO,..△AOB≌△DOC(AAS)...OA=OD. AB=DC, 任务二同意.理由如下：.△AOB≌△DOC,.OB=OC,OA=OD,∠OAB=∠ODC. .OA-OC=OD-OB,即AC=DB.在△ACE和△DBE中， ∠CAE=∠BDE, ∠AEC=∠DEB,.△ACE≌△DBE(AAS)..AE=DE. AC=DB, 第5页（共54页） 第3课时用“SSS”判定三角形全等 基础过关 1.C2.证明：AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.在△ADF和△BCE (AD-BC, 中，JAF=BE,∴.△ADF≌△BCE(SSS).3.AOF SSS∠EAO=∠FAO全等三 DF=CE, 角形的对应角相等4.证明：：C为AB的中点，∴.AC=BC.在△ACD和△BCE中， (AC=BC, CD=CE,.△ACD≌△BCE(SSS)..∠ACD=∠BE.∴.∠ACD-∠ECD= AD-BE, ∠BCE-∠ECD,即∠ACE=∠BCD.5.(I)BC=DA(2)∠BAC=∠DCA6.解： 选择②.理由如下：，AC∥DE,AB∥DF,∠ACB=∠DEF,∠B=∠F.,BE=CF, ∠B=∠F, ∴.BE十CE=CF+CE,即BC=FE.在△ABC和△DFE中， BC=FE, ∠ACB=∠DEF, .△ABC≌△DFE(ASA).∴.AB=DF.(答案不唯一) 能力提升 AE=AF, 7.C8.26°9.125°10.证明：(1)连接AC.在△ACE和△ACF中，CE=CF, AC=AC, .△ACE≌△ACF(SSS)..∠AEC=∠AFC.(2):∠AFC=∠AEC,.∠DFC= ∠BEC.·CB⊥AB,CD⊥AD,∴·∠B=∠D=90°.在△ECB和△FCD中， ∠B=∠D, ∠BEC=∠DFC,∴.△ECB≌△FCD(AAS)..CB=CD. CE=CF, 思维拓展 11.(1)证明：由题意，得∠B=∠ADF=90°，AB=AD.在△ABE和△ADF中， ∠B=∠ADF, ∠AEB=∠F,∴.△ABE≌△ADF(AAS)..AE=AF.(2)解：EM=BE+DM.理由 AB=AD, 如下：·△ABE≌△ADF,∠BAE=∠DAF,BE=DF.由题意，得∠BAD=90°， .∠BAE+∠DAM=90°-∠EAM=45°..∠DAF+∠DAM=45°，即∠FAM=45° (AE=AF, .∠EAM=∠FAM.在△EAM和△FAM中，∠EAM=∠FAM,.△EAM≌ AM=AM, AFAM(SAS)..EM-FM-DF+DM=BE+DM. 第4课时尺规作角及平行线 基础过关 1.B2.B3.解：直线l,m如图所示.（答案不唯一） 能力提升 4.90°-a5.解：如图，△ABC即为所求」 6.解：(1)如图所示. (2)CD∥BA(3)全等ASA 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 基础过关 1.D2.BC=AD3.40°4.(1)证明：AD⊥CE,BE⊥CE,∴.∠E=∠ADC=90°.在 Rt△BCE和Rt△CAD中， BC=CA·:Rt△BCE≌R△CAD(Hl.(2)解： BE=CD, 第6页（共54页）