13.3.2 三角形的外角-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

参考答案 正文答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)△ABO,△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)∠OBC OB3.14 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE 能力提升 5.C6.37.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA (2)等腰三角形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. 思维拓展 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE 13.2与三角形有关的线段 弥 13.2.1三角形的边 帐基础过关 1.B2.A3.4(答案不唯一)4.A5.三角形的稳定性 能力提升 6.D7.C8.2b-2a9.解：(1)设底边长为acm,则腰长为3acm.由题意，得3a十3a 十a=21,解得a=3..3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当 等腰三角形的底边长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7.5(cm).则等腰三角形的三边 长分别为6cm,7.5cm,7.5cm,能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm时，底 她 边长为21一2×6=9(cm).则等腰三角形的三边长分别为6cm,6cm,9cm,能构成 角形.故等腰三角形其他两边的长为7.5cm,7.5cm或6cm,9cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 封 基础过关 1B2.A3.204C5.D6B7.A89 【变式题】4.8 能力提升 报 9.C10.45°1L.312.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：，DE∥AC,EF∥ AD∠BED=∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC..∠BAD=7∠BAC .∠BEF= 2 ∠BED,即EF平分∠BED..EF是△BDE的角平分线.I3.解： (1)如图所示。 (2):AD为△ABC的中线，BC=10Sm=号Sa 线 =20,BD=5.同理可得SADE= 号Sam=10.:SaE=专BD·EF,X5EF= 10.∴.EF=4. 思维拓展 14.48【变式题】36 微专题 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1A【延伸问132.1号 (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 基础过关 1.A2.B3.B4.B5.606.23°7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，∴.∠C 180°-∠BAC-∠B=60.(2):∠CAD=75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 第1页（共54页） 能力提升 8.B9.D10.50°11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45°，∠ACE=50°. .∠ACB=∠ACE+∠BCE=95°.AD∥CE,.∠DAC=∠ACE=50°.∴.∠CAB= ∠DAB-∠DAC=35°.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50, 思维拓展 12.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∠BPC=90°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.：∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴.∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =合∠A+45.【解析】由题意，易得∠A十∠ACP=∠P+∠ABP,∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A十∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA. :BO,C0分别平分∠ABP,∠ACP,∠OBA=号∠ABP,∠AC0=∠ACP.·∠0 =∠A+∠ACP-∠ABP=∠A+2(90°-∠A)=∠A+45. 第2课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.D2.C3.D4.解：，AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴.∠1+∠2=90. :∠1=∠2+4°，∴.∠2+4°+∠2=90°..∠2=43°.，∠C=64°，.∠DAC=90°-∠C =26.∴.∠BAC=∠2+∠DAC=69°.5.直角 能力提升 6.D7.120°8.120°9.(1)解：'∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A-∠B =90.CE平分∠ACB,∠ACE=合∠ACB=45.(2)i证明：CD1AB.∠B=60, .∠BCD=90°-∠B=30°.，CE平分∠ACB,∴.∠BCE=∠ACE=45°.∴.∠DCF= ∠BCE-∠BCD=15°.∴.∠DCF+∠CDF=90°.∴.△CFD是直角三角形. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.：AE平分 ∠BAC.∠BAE=号∠BAC=20.:AD是BC边上的高，∠D=90.∴∠BAD= 90°-∠B=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°， ∠C=70°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.：AD平分∠BAC,∴.∠CAD= 号∠BAC=37:AEL BC,∠AEC=90.∠CAE=90-∠C=20.∠DAE ∠CAD-∠CAE=17.(2):AD平分∠BAC,·∠CAD=号∠BAC=2(I80-∠C -∠B).:AE⊥BC,.∠AEC=90°.∴.∠CAE=90°-∠C.∴.∠DAE=∠CAD ∠CAE=180-∠C-∠B)-(90-∠0=（∠C-∠B)=10.【变式题2】解： 猜想：∠DEF=(∠C-∠B.证明如下：过点A作AG L BC于点G.:EFLBC, AG/ER.∠DAG=∠DEE.易得∠DAG=(∠C-∠B.∠DEF=(∠C ∠B). 【拓展应用11)∠F=2(∠C-∠B)(2)32°（3)22 13.3.2三角形的外角 基础过关 1.D2.C3.A4.B5.120°6.(1)60(2)407.解：∠A=50°，∠ACF=105°， ∴.∠B=∠ACF-∠A=55°.∴.∠BDF=180°-∠B-∠F=100°.8.解：(1)：∠A= 30°，∠ABC=70°，∴.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠BCD=50,(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BBC=∠ABC- ∠BCE=20°.，DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 能力提升 9.C10.C11.100°12.解：(1)，AD⊥BC,.∠ADC=90.:∠DAC=10°， ∴∠ACB=90°-∠DAC=80°.(2)：AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC, 第2页（共54页） ∠MAE=号∠MAC,∠ABF=号∠ABC.“∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC 的外角，∴.∠MAE=∠ABF+∠AFB,∠MAC=∠ABC+∠ACB.∴∠AFB=∠MAE -∠ABF=号∠MAC-号∠ABC=2(∠MAC-∠ABC)=Z∠ACB=A0 思维拓展 13.解：(1)10°(2)：∠B=a,∠BCA=3,∴.∠CAF=a+B.,AD平分∠CAF, ∴∠DAC=3∠CAF=号(a+B.:∠BCA=∠D+∠DAC,·∠D=∠BCA ∠DAC=A(a+B=合g-a.:PELAD.∠DPE=902.∠PED=90-∠D =90-2(g-a0. 专题二与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 母题：解：：∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4 =80°.：∠1=∠2，∠3=∠4，.2∠2+2∠4=80°.∠2+∠4=40°..x°=180° (∠2+∠4)=140°，即x=140.【延伸问】解：：∠A=n°，∴.∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180°-n°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°-n.:∠1=∠2，∠3=∠4，∴.2∠2+ 2∠4=180-.∠2+∠4=90°-号m.∴=180-（∠2+∠4）=90+2心即7 =90+7.【变式题1】解：1)：∠ACB=70,∠ACD=180°-∠ACB=110 :B0平分∠ABC.C0平分∠ACD,.∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=号∠ACD 55.·∠0=∠DC0-∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：B0平分∠ABC,C0 平分∠ACD.∠DC0=7∠ACD,∠CB0-=号∠ABC.∠0=∠DC0-∠CB0 之（∠ACD-∠ABC)=号∠A.【变式题2】解：(D:∠C=70,∠CAB+∠CBA= 180°-∠C=110°..∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°.AD,BD是 △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.∴∠D= 180°-（∠DAB+∠DBA)=5.(2)∠D=90°-∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA =180°-∠C,.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)= 180+∠C“AD.BD是△ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA=(∠EAB+ ∠FBA)=号180+∠CO=90+∠C∴∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=180° (90+2∠C)=90°-7∠c 专题三利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解法一：解：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°， ∴.∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A +∠D+∠AOD=110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC= ∠ABC+∠BCD=110°.：∠BAE=28°，∠CDE=12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB +∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°. 4.(1)180°(2)180°(3)360°【变式题】解：连接EF.由题意，得∠BOF=∠B+∠C =∠EFO+∠FEO=120°，∠A+∠D=∠DFE+∠AEF.∴.∠A+∠D+∠CFD+ ∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD+∠AEB=∠EFO+∠FEO=12O°.∴.∠A+∠B +∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240°. 数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1 动手操作1：解：如图所示. 延伸问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边 三角形，再把剩下的3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，如图所示，三棱锥 第3页（共54页）13.3.2 ②基础过关◇逐点击破 知识点1三角形的外角的定义 1.如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上， △CEF的顶点E在AB上，下列说法错误 的是 A.∠ACF不是△ABC的外角 B.∠ACD是△ABC的外角 C.∠AEC是△BCE的外角 D.图中没有角是△ACE的外角 (第1题图) (第2题图)》 知识点2三角形的外角的性质 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，外角∠ACD= 100°，则∠B的度数是 A.100° B.80° C.60 D.40 3.(2024一2025·甘肃庆阳期末)如图，在图中， ∠1+∠2+∠B等于 ( A.∠AEC B.∠ADB C.∠ACB D.∠DEC D M (第3题图) (第4题图)》 4.(教材P17习题T6变式)如图，AB∥CD: MN⊥AC于点N,∠NMB=118°，则∠DCE 的度数为 A.22 B.28 C.32 D.38° 5.如图，∠A=50°，∠ACE= 110°，则∠ABD的度数为 D 9第十三章三角形 角形的外角 6.(教材P16练习变式)直接写出下列各图中x 的值： 20° △Cx+20)° 130° (x+80)9 10° 图① 图② (1)如图①，x的值为 (2)如图②，x的值为 7.如图，DF分别交△ABC的边AB,AC于点 D,E,交BC的延长线于点F.若∠A=50°， ∠ACF=105°，∠F=25°，求∠BDF的度数. 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ABC=70°， △ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB 的延长线于点E (1)求∠BCE的度数； (2)过点D作DF∥CE,交AB的延长线于点 F,求∠F的度数. S可能力提升。整合运用 9.一副三角尺拼成的图形如图所示，则∠CEB 的度数为 ) A.90° B.100° C.105° D.110° 反光镜 3 焦点 (第9题图) (第10题图) 10.学科融合光的反射(2025·甘肃庆阳三模) 汽车大灯通常由灯泡、反光镜和配光镜三部 分组成.如图，光源位于焦点处，光线经反射 后平行于地面射出.已知∠1=20°，∠3= 56°，则∠2的度数为 A.20°B.26 C.36° D.76 11.如图，∠1=∠2=25°，∠3=∠4，∠5=∠6， 则∠7的度数为 7 1 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠DAC=10°，AE是△ABC的外角∠MAC 的平分线，交BC的延长线于点E,BF平分 ∠ABC,交AE于点F,交AC于点G (1)求∠ACB的度数； (2)求∠AFB的度数. ⊙思维拓展⊙学科素养 13.(1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,P 为线段AD上一点，PE⊥AD于点P,交 直线BC于点E.若∠B=50°，∠BCA= 70°，则∠PED的度数为 (2)如图②，AD平分△ABC的外角 ∠CAF,P为线段AD上一点，PE⊥ AD,交直线BC,AB,AC于点E,F,G. 若∠B=a,∠BCA=B,求∠PED的度 数.（用含，3的式子表示） 图① 图② 数学Ⅱ八年级上册10