13.3.1 三角形的内角&专题一 三角形的角平分线与高的夹角问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

13.3三角形 13.3.1 第1课时 ②基础过关◇逐点击破 知识点 三角形的内角和定理 1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的 度数是 ( A.80 B.90° C.100° D.105° 2.在△ABC中，∠C=40°，∠B=4∠A,则∠A 的度数为 ( A.26 B.28° C.30° D.40° 3.(教材P13练习T2变式)如图，点E,D分别 在AB,AC上.若∠B=35°，∠C=45°，则 ∠1+∠2的度数为 A.85 B.80° C.75° D.709 AD (第3题图) (第4题图) 4.（教材P12例1变式)如图，在△ABC中，AD 是∠BAC的平分线，过点C作射线CE∥ AD.若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠ACE的 度数为 A.40° B.45° C.55 D.60 5.(教材P16习题T1变式)如图，x的值为 (x+16) x-16) D R (第5题图) (第6题图) 5第十三章三角形 的内角与外角 角形的内角 角形的内角和 6.(教材P13练习T1变式)如图，某气象小组 在观测点A处测得探空气球底端C的仰角 ∠A=37°，随后向气球方向水平移动一段距 离后到达观测点B,测得仰角∠CBD=60°， 点D,A,B共线，则从点C处观测A,B两处 的视角∠ACB的度数是 7.如图，在△ABC中，∠BAC=95°，∠B=25°， ∠CAD=75°. (1)求∠C的度数； (2)求∠ADC的度数. 能力提升。整合运用 8.如图，在△ABC中，∠B+∠C=110°，AM平 分∠BAC,交BC于点M,MN∥AB,交AC 于点N,则∠AMN的度数是 () A.30° B.35 C.40° D.55° 9.(教材P16习题T2变式)一个三角形的三个 内角中 A.至少有一个等于90° B.至少有一个大于90° C.不可能有两个大于89° D.不可能都小于60 10.如图，在△ABC中，∠A= 55°，∠B=75°，将三角形的 一角折叠，点C的对应点 A C'落在△ABC内.若∠CDA=20°，则 ∠CED的度数为 11.情境题建筑测量（教材P12例2变式）利 用课后服务时间，同学们在操场上进行实地 测量.如图，在A处测得建筑物B在北偏东 85°的方向上，在C处测得建筑物B在南偏 东45°的方向上，原测量点A在南偏西50° 的方向上，则在建筑物B处测得A,C两处 的视角∠B是多少度？ ⊙ 思维拓展。学科素养 12.逻辑推理类比探究如图①，点P在△ABC 内，连接BP,CP,且∠P=90°. 图① 图② (1)若∠A=60°，则∠ABC+∠ACB的度数 为 ； (2)求证：∠ABP+∠ACP=90°-∠A; (3)将题干中“点P在△ABC内”改成“点P在 △ABC外”，其他条件不变，如图②所示 ①若∠A=60°，则∠ACP-∠ABP的度 数为 ②若BO,CO分别平分∠ABP,∠ACP,直 接写出∠O与∠A之间的数量关系. 数学Ⅱ八年级上册6 第2课时 直角三 ②基础过关。逐点击破 知识点1直角三角形的性质 1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，则∠A的 度数为 ( A.25 B.75° C.55 D.65° 2.如图，直线1∥AB,CD⊥1于点D.若∠C= 40°，则∠1的度数是 ( A.30° B.40° C.50° D.609 409 (第2题图) (第3题图) 3.(教材P14练习T1变式)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,则下 列结论不一定成立的是 A.∠A与∠1互余B.∠B与∠2互余 C.∠A=∠2 D.∠1=∠2 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,∠1= ∠2+4°，∠C=64°，求∠BAC的度数， 知识点2直角三角形的判定 5.(教材P14练习T2变式)如图， 在△ABC中，E是AC边上的 点，过点E作ED⊥AB,垂足为 E D.若∠1=∠2，则△ABC是 B 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 7第十三章三角形 角形的性质与判定 同能力提升○整合运用 6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形 的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 7.学科融合受力分析一只杯子静止在斜面上， 其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下， 支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方 向与斜面平行.若斜面的坡角α=30°，则摩擦力 F2与重力G方向的夹角β的度数为 G (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△ABC中，已知∠ABC=66°， ∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB 上的高，BE,CF交于点H,则∠EHF的度 数是 9.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE 平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数： (2)若CD⊥AB于点D,点F在CE上， ∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB= 【变式题2】角平分线十高线>角平分线+高线 110°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC,求 的平行线 ∠DAE的度数. 【构造模型】如图，在△ABC中，AD是∠BAC 的平分线，∠B<∠C,点E在AD上，EF⊥BC 于点F,猜想∠DEF与∠B,∠C之间的数量关 系，并证明。 小明受到前面题目的启发，提出可过点A作 AG⊥BC于点G,快速做出猜想.请你按照小明 的思路完成此题， 【变式题】改变背景：钝角三角形→锐角三角形 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,AD平分 ∠BAC. (1)若∠B=36°，∠C=70°，求∠DAE的度数； (2)若∠C-∠B=20°，求∠DAE的度数. 【拓展应用】(1)如图①，在△ABC中，∠C> ∠B,AD平分∠BAC,点F在DA的延长线 上，FE⊥BC于点E,直接写出∠F与∠C, ∠B之间的数量关系： D B D 图① 图② 图③ 方法总结：三角形一个角的平分线与这个角的对边 (2)如图②，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 上的高形成的夹角等于另外两个角之差（大角减小 EA的延长线上一点，FD⊥BC于点D.若 角)的一半 ∠ABC=88°，∠C=24°，则∠F的度数为 已知：如图，在△ABC中，AD BC,AE平分∠BAC,∠B>∠C. (3)如图③，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 易得∠DAE=∠B-∠C AE的延长线上一点，FD⊥BC于点D.若 2 ∠B=32°，∠C=76°，则∠F的度数为 利用上述关系可以快速解决相关小题 数学Ⅱ八年级上册8参考答案 正文答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)△ABO,△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)/OBC OB3.14 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE 能力提升 5.C6.37.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA (2)等腰三角形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. 思维拓展 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE 13.2与三角形有关的线段 弥 13.2.1三角形的边 基础过关 1.B2.A3.4(答案不唯一)4.A5.三角形的稳定性 能力提升 6.D7.C8.2b-2a9.解：(1)设底边长为acm,则腰长为3acm.由题意，得3a十3a 十a=21,解得a=3.∴.3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当 等腰三角形的底边长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7.5(cm).则等腰三角形的三边 长分别为6cm,7.5cm,7.5cm,能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm时，底 柏 边长为21一2×6=9(cm).则等腰三角形的三边长分别为6cm,6cm,9cm,能构成三 角形.故等腰三角形其他两边的长为7.5cm,7.5cm或6cm,9cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 封 基础过关 1.B2A3.204.C5D6B7A89 【变式题】4.8 能力提升 报 9.C10.45° 1L.312.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：DE∥AC,EF∥ AD,∠BED=∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC,·∠BAD=号∠BAC. .∠BEF= ∠BED,即EF平分∠BED..EF是△BDE的角平分线.13.解： (1)如图所示 (2):AD为△ABC的中线，BC=10,Sam=S =20,BD=5.同理可得SADE= 2SaAm=10.:SnE=号BD,ER,合X5EF= 10.∴.EF=4. 思维拓展 14.48【变式题】36 微专题 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1.A【延伸问32.1) (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 基础过关 1.A2.B3.B4.B5.606.23°7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，∴.∠C= 180°-∠BAC-∠B=60°.(2)：∠CAD=75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45 第1页（共54页） 能力提升 8.B9.D10.50°11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45°，∠ACE=50°. ∴.∠ACB=∠ACE+∠BCE=95°.AD∥CE,∴.∠DAC=∠ACE=50°.∴.∠CAB= ∠DAB-∠DAC=35.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50°. 思维拓展 12.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.:∠BPC=90°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.，∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴.∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =合∠A+45.【解析】抽题意，易得∠A+∠ACP=∠P+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA. :B0.C0分别平分∠ABP,∠ACP,∠OBA=∠ABP,∠AC0=合∠ACP.·∠0 =∠A+号∠ACP-号∠ABP=∠A+号(90°-∠A)=号∠A+45, 第2课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.D2.C3.D4.解：AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°.∴∠1+∠2=90°. :∠1=∠2+4°，∠2+4°+∠2=90°.∠2=43°.∠C=64°，.∠DAC=90°-∠C =26°.∴.∠BAC=∠2+∠DAC=69°.5.直角 能力提升 6.D7.120°8.120°9.(1)解：：∠A=30°，∠B=60°，.∠ACB=180°-∠A-∠B =90.:CE平分∠ACB,∠ACE=∠ACB=45.(2)证明：CD1AB,∠B=60, .∠BCD=90°-∠B=30°..CE平分∠ACB,.∠BCE=∠ACE=45°..∠DCF= ∠BCE-∠BCD=l5°..∠DCF+∠CDF=90°..△CFD是直角三角形. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：∠B=30°，∠ACB=110°，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 ∠BAC,∠BAE=号∠BAC=20.:AD是BC边上的高，.∠D=90.∴∠BAD= 90°-∠B=60°.∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°， ∠C=70°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.：AD平分∠BAC,∴.∠CAD= 号∠BAC=3,:AEL BC,∠AEC=90,∠CAE=90°-∠C=20.∠DAE= ∠CAD-∠CAE=17.(2):AD平分∠BAC,∠CAD=号∠BAC=号180°-∠C -∠B).AE⊥BC,∴.∠AEC=90°.∴.∠CAE=90°-∠C.∠DAE=∠CAD ∠CAE=合(180°-∠C-∠B)-(90-∠C)=(∠C-∠B)=10.【变式题2】解： 猜想：∠DEF=(∠C-∠B.证明如下：过点A作AG1BC于点G.:EF LBC, ∴AG/ER.∠DAG=∠DER.易得∠DAG=合（∠C-∠B∠DEF=(∠C ∠B). 【拓展应用1)∠F=2(∠C-∠B)(2)32°(3)22 13.3.2三角形的外角 基础过关 1.D2.C3.A4.B5.120°6.(1)60(2)407.解：：∠A=50°，∠ACF=105°， ∴∠B=∠ACF-∠A=55.∴∠BDF=180°-∠B-∠F=100°.8.解：(1)∠A= 30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD的平分线， ∠BCE=∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BBC=∠ABC ∠BCE=20°..DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 能力提升 9.C10.C11.100°12.解：(1)：AD⊥BC,∴.∠ADC=90°.：∠DAC=10°， ∴∠ACB=90°-∠DAC=80°.(2)：AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC, 第2页（共54页） ·∠MAE=号∠MAC,∠ABF=号∠ABC.:∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC 的外角，∴.∠MAE=∠ABF+∠AFB,∠MAC=∠ABC+∠ACB.∴∠AFB=∠MAE -∠ABF=号∠MAC-号∠ABC=（∠MAC-∠ABCO)=号∠ACB=A0. 思维拓展 13.解：(1)10°(2)∠B=a,∠BCA=B,∴∠CAF=a+B.AD平分∠CAF, ∴∠DAC=2∠CAF=号(a+B).'∠BCA=∠D+∠DAC,·∠D=∠BCA ∠DAC=g(a+=g-a).:PE.AD,∠DPE=90.∠PED=90-∠D =90-ga. 专题二与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 母题：解：：∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2十∠3+∠4 =80°.∠1=∠2，∠3=∠4，.2∠2+2∠4=80°.∠2+∠4=40°..x°=180° (∠2十∠4)=140°，即x=140.【延伸问】解：：∠A=n°，.∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180°-n°，即∠1十∠2+∠3+∠4=180°-n.:∠1=∠2，∠3=∠4，∴.2∠2+ 2∠4=180°-2.∠2+∠4=90°-m.x=180°-（∠2+∠4）=90+2，即x =90+【变式题1】解：1)：∠ACB=70,∠ACD=180-∠ACB=110 :B0平分∠ABC.C0平分∠ACD∠CB0=∠ABC=30,∠DC0=号∠ACD= 55.∴∠0=∠DC0-∠CB0=25:(2)∠0=∠A.理由如下：B0平分∠ABC,C0 平分∠ACD,∠DC0=号∠ACD.∠CB0=名∠ABC,∠0=∠DC0-∠CB0= (∠ACD-∠ABC)=号∠A.【变式题2】解：1)：∠C=70,∠CAB+∠CBA= 180°-∠C=110°.∴∠EAB+∠FBA=360-（∠CAB+∠CBA)=250°.：AD,BD是 △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.·∠D= 180°-（∠DAB+∠DBA)=55.(2)∠D=90-号∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA =180°-∠C,∴∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)= 180+∠C.:AD,BD是△ABC的外角平分线，·∠DAB+∠DBA=号（∠EAB+ ∠FBA)=号(180°+∠C)=90+号∠C.·∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=180° (90+2∠C)=90-∠C 专题三利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A 十∠D十∠AOD=110°，解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC= ∠ABC+∠BCD=110°.∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE=(∠DAB +∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°..∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°. 4.(1)180°(2)180°(3)360°【变式题】解：连接EF.由题意，得∠BOF=∠B十∠C =∠EFO+∠FEO=120°，∠A+∠D=∠DFE+∠AEF.∴.∠A+∠D+∠CFD+ ∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD+∠AEB=∠EFO+∠FEO=12O°.∴.∠A+∠B +∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240°， 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1 动手操作1：解：如图所示. 延伸问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边 三角形，再把剩下的3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，如图所示，三棱锥 第3页（共54页）