13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段&微专题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 宁夏专版）

第十三章 13.1三有 ②基础过关○逐点击破 知识点1三角形的有关概念 1.下列由三条线段组成的图形中，是三角形 的是 B 2.(教材P4习题T1变式)看图填空： (1)图中以AB为边的三角形有 ;含 ∠ACB的三角形有 (2)在△BOC中，OC的对角是 ∠OCB的对边是 知识点2三角形的分类 3.如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AD⊥BC于 点D,过点D作DE⊥AC于点E,则图中一共有 个钝角三角形，有 个直角三角形. D (第3题图) (第4题图) 4.(教材P3例题变式)如图，在△ABC中，点 D,E在边BC上，AB=AC,BD=DE= EC-AD-AE. (1)图中的等腰三角形是 (2)图中的等边三角形是 网能力提升⊙整合运用 5.(2024-2025·兰州期中)下面给出的四个三 角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角 形类型的是 1第十三章三角形 三角形 形的概念 6.新趋势新定义若有一条公共 边的两个三角形称为一对“共边 三角形”，则图中以BC为公共 边的“共边三角形”有 对. 7.如图，在△ABC中，AB=AC=BC,AD⊥BC 于点D,P是AD上一点，连接BP,CP, (1)图中的锐角三角形是 ;直角三角 形是 ;钝角三角形是 (2)若AP=BP=CP,找出图中的等腰三角 形和等边三角形. ○思维拓展。学科素养 8.逻辑推理演绎思想（教材P4习题T5变式） 如图，已知点A,B,C在直线n上，点D在直 线m上 一m b应 AB七n (1)以点A,B,C,D中的任意三点作为三角 形的顶点，一共可以组成 个三角 形，分别为 (2)若在直线m上增加一点E,以点A,B,C, D,E中的任意三点作为三角形的顶点， 一共可以组成 个三角形，其中以 点B为顶点的三角形是 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 ②基础过关。逐点击破 能力提升。整合运用 知识点1三角形的三边关系 6.(教材P7练习T2变式)将周长是12cm的 1.(2025·连云港中考)下列长度（单位：cm)的 三角形三条边展开，展开图正确的是( 3根小木棒能搭成三角形的是 L 6 cm 4cm 2cm 6 cm 3 cm 3cm A A.1,2,3 B.2,3,4 7cm 3 cm 2 cm 5cm 5 cm 2cm C.3,5,8 D.4,5,10 D 2.如图，人字梯的支架AB,AC的长度都为2m 7.直观想象数形结合三根底端对齐的小棒中 (连接处的长度忽略不计)，则B,C两点之间 有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示， 的距离可能是 若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒 A.3 m 的长度可以是 ( B.4.2m A.2 C.5m B.3 D.6 m C.4或5 3.新趋势半开放性题(2024·西宁中考)若长 D.6 度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角 8.若△ABC的三条边长分别为a,b,c,则化简 形，则整数a的值可以是.（写出一个 a-b-c|-a十c-b的结果是 即可) 9.(教材P6例题变式)已知等腰三角形的周长 知识点2三角形的稳定性 为21cm. 4.下列图形具有稳定性的是 (1)若腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)若一边长为6cm,求其他两边长. B 5.情境题工程安全设计如图，在生活中，为了 保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成 三角形，这是利用了 数学Ⅱ八年级上册2 13.2.2三角形的 ②基础过关○逐点击破 知识点1三角形的中线 1.如图，已知AD是△ABC的中线，BD=2,则 BC的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 D B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在正方形网格中，点A,B,C,D,E,F, G均在格点上，则△ABC的重心是( ) A.点D B.点E C.点F D.点G 3.如图，在△ABC中，AB=7,AC=5,AD是 △ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长 之差为 ,面积之差为 B (第3题图) (第5题图) 知识点2三角形的角平分线 4.三角形的角平分线是 A.直线 B.射线 C.线段 D.以上均不对 5.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误 的是 A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠ACB=2∠3 D.CE是△ABC的角平分线 知识点3三角形的高 6.如图，在△ABC中，利用三角尺作BC边上 的高正确的是 ( 3第十三章三角形 中线、角平分线、高 7.如图，在△ABC中，边BC上的高是( A.线段AE B.线段CD C.线段AF D.线段BF 8.(教材P10习题T7变式)如图，在△ABC中， AD与CE是△ABC的两条高，AB=CE= 4,BC=5,则AD的长为 (第8题图) (变式题图) 【变式题】背景改变：锐角三角形→直角三角形 如图，已知AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别是 C,D.若AC=6,BC=8,AB=10,则点C到 AB的距离是 习能力提升。整合运用 9.新趋势动手操作如图，下面是三名同学的折 纸示意图，则AD依次是△ABC的( D R D B'C BC)D 图① 图② 图③ A.中线，角平分线，高 B.高，中线，角平分线 C.角平分线，高，中线 D.角平分线，中线，高 10.如图，AD,AE分别是 △ABC和△ABD的角平 分线，且∠BAC=60°，则 ∠EAC的度数为 11.如图，在△ABC中，AD, AE分别是边BC上的中 线和高，点D在点E的左B DE 侧.已知AE=4,DE=1,SAAc=16,则CE 的长为一· 12.(教材P10习题T8变式)如图，在△ABC 中，AD是角平分线，DE∥AC,交AB于点 E,EF∥AD,交BC于点F.试问：EF是 △BDE的角平分线吗？请说明理由. 13.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD 的中线。 (I)作△BED的边BD上的高EF; 微专题 微专题与三角形中线有 1.如图，D为BC的中点，E为AD的中点.若 △ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积 为 A号 B号 C.1 D.2 【延伸问】连接BE,则S△ABE十S△cDE的值为 (2)若△ABC的面积为40，BC=10,求EF 的长 父思维拓展。学科素养 14.如图，在△ABC中 (AC>AB),AC=2BC, BC边上的中线AD把A三 △ABC的周长分成60cm和40cm两部分， 则边AC的长为 cm. 【变式题】无图时，需分类讨论 在△ABC中，AC=2BC,BC边上的中线 AD把△ABC的周长分成70和50两部分， 则AB的长为 关的面积问题【一图多变】 2.在△ABC中，已知D,E,F分别为BC,AD, CE的中点. (1)如图①，若S△Ac=1cm,则△BEF的面积 为 cm; (2)如图②，若S△mc=1cm2,则△ABC的 面积为 cm. D 图① 图② 数学Ⅱ八年级上册4参考答案 正文答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)△ABO,△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)∠OBC OB3.14 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE 能力提升 5.C6.37.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA (2)等腰三角形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. 思维拓展 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE 13.2与三角形有关的线段 弥 13.2.1三角形的边 帐基础过关 1.B2.A3.4(答案不唯一)4.A5.三角形的稳定性 能力提升 6.D7.C8.2b-2a9.解：(1)设底边长为acm,则腰长为3acm.由题意，得3a十3a 十a=21,解得a=3..3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当 等腰三角形的底边长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7.5(cm).则等腰三角形的三边 长分别为6cm,7.5cm,7.5cm,能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm时，底 她 边长为21一2×6=9(cm).则等腰三角形的三边长分别为6cm,6cm,9cm,能构成 角形.故等腰三角形其他两边的长为7.5cm,7.5cm或6cm,9cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 封 基础过关 1B2.A3.204C5.D6B7.A89 【变式题】4.8 能力提升 报 9.C10.45°1L.312.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：，DE∥AC,EF∥ AD∠BED=∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC..∠BAD=7∠BAC .∠BEF= 2 ∠BED,即EF平分∠BED..EF是△BDE的角平分线.I3.解： (1)如图所示。 (2):AD为△ABC的中线，BC=10Sm=号Sa 线 =20,BD=5.同理可得SADE= 号Sam=10.:SaE=专BD·EF,X5EF= 10.∴.EF=4. 思维拓展 14.48【变式题】36 微专题 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1A【延伸问132.1号 (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 基础过关 1.A2.B3.B4.B5.606.23°7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，∴.∠C 180°-∠BAC-∠B=60.(2):∠CAD=75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 第1页（共54页） 能力提升 8.B9.D10.50°11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45°，∠ACE=50°. .∠ACB=∠ACE+∠BCE=95°.AD∥CE,.∠DAC=∠ACE=50°.∴.∠CAB= ∠DAB-∠DAC=35°.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50, 思维拓展 12.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∠BPC=90°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.：∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴.∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =合∠A+45.【解析】由题意，易得∠A十∠ACP=∠P+∠ABP,∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A十∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA. :BO,C0分别平分∠ABP,∠ACP,∠OBA=号∠ABP,∠AC0=∠ACP.·∠0 =∠A+∠ACP-∠ABP=∠A+2(90°-∠A)=∠A+45. 第2课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.D2.C3.D4.解：，AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴.∠1+∠2=90. :∠1=∠2+4°，∴.∠2+4°+∠2=90°..∠2=43°.，∠C=64°，.∠DAC=90°-∠C =26.∴.∠BAC=∠2+∠DAC=69°.5.直角 能力提升 6.D7.120°8.120°9.(1)解：'∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A-∠B =90.CE平分∠ACB,∠ACE=合∠ACB=45.(2)i证明：CD1AB.∠B=60, .∠BCD=90°-∠B=30°.，CE平分∠ACB,∴.∠BCE=∠ACE=45°.∴.∠DCF= ∠BCE-∠BCD=15°.∴.∠DCF+∠CDF=90°.∴.△CFD是直角三角形. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.：AE平分 ∠BAC.∠BAE=号∠BAC=20.:AD是BC边上的高，∠D=90.∴∠BAD= 90°-∠B=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°， ∠C=70°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.：AD平分∠BAC,∴.∠CAD= 号∠BAC=37:AEL BC,∠AEC=90.∠CAE=90-∠C=20.∠DAE ∠CAD-∠CAE=17.(2):AD平分∠BAC,·∠CAD=号∠BAC=2(I80-∠C -∠B).:AE⊥BC,.∠AEC=90°.∴.∠CAE=90°-∠C.∴.∠DAE=∠CAD ∠CAE=180-∠C-∠B)-(90-∠0=（∠C-∠B)=10.【变式题2】解： 猜想：∠DEF=(∠C-∠B.证明如下：过点A作AG L BC于点G.:EFLBC, AG/ER.∠DAG=∠DEE.易得∠DAG=(∠C-∠B.∠DEF=(∠C ∠B). 【拓展应用11)∠F=2(∠C-∠B)(2)32°（3)22 13.3.2三角形的外角 基础过关 1.D2.C3.A4.B5.120°6.(1)60(2)407.解：∠A=50°，∠ACF=105°， ∴.∠B=∠ACF-∠A=55°.∴.∠BDF=180°-∠B-∠F=100°.8.解：(1)：∠A= 30°，∠ABC=70°，∴.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠BCD=50,(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BBC=∠ABC- ∠BCE=20°.，DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 能力提升 9.C10.C11.100°12.解：(1)，AD⊥BC,.∠ADC=90.:∠DAC=10°， ∴∠ACB=90°-∠DAC=80°.(2)：AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC, 第2页（共54页） ∠MAE=号∠MAC,∠ABF=号∠ABC.“∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC 的外角，∴.∠MAE=∠ABF+∠AFB,∠MAC=∠ABC+∠ACB.∴∠AFB=∠MAE -∠ABF=号∠MAC-号∠ABC=2(∠MAC-∠ABC)=Z∠ACB=A0 思维拓展 13.解：(1)10°(2)：∠B=a,∠BCA=3,∴.∠CAF=a+B.,AD平分∠CAF, ∴∠DAC=3∠CAF=号(a+B.:∠BCA=∠D+∠DAC,·∠D=∠BCA ∠DAC=A(a+B=合g-a.:PELAD.∠DPE=902.∠PED=90-∠D =90-2(g-a0. 专题二与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 母题：解：：∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4 =80°.：∠1=∠2，∠3=∠4，.2∠2+2∠4=80°.∠2+∠4=40°..x°=180° (∠2+∠4)=140°，即x=140.【延伸问】解：：∠A=n°，∴.∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180°-n°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°-n.:∠1=∠2，∠3=∠4，∴.2∠2+ 2∠4=180-.∠2+∠4=90°-号m.∴=180-（∠2+∠4）=90+2心即7 =90+7.【变式题1】解：1)：∠ACB=70,∠ACD=180°-∠ACB=110 :B0平分∠ABC.C0平分∠ACD,.∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=号∠ACD 55.·∠0=∠DC0-∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：B0平分∠ABC,C0 平分∠ACD.∠DC0=7∠ACD,∠CB0-=号∠ABC.∠0=∠DC0-∠CB0 之（∠ACD-∠ABC)=号∠A.【变式题2】解：(D:∠C=70,∠CAB+∠CBA= 180°-∠C=110°..∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°.AD,BD是 △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.∴∠D= 180°-（∠DAB+∠DBA)=5.(2)∠D=90°-∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA =180°-∠C,.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)= 180+∠C“AD.BD是△ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA=(∠EAB+ ∠FBA)=号180+∠CO=90+∠C∴∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=180° (90+2∠C)=90°-7∠c 专题三利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解法一：解：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°， ∴.∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A +∠D+∠AOD=110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC= ∠ABC+∠BCD=110°.：∠BAE=28°，∠CDE=12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB +∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°. 4.(1)180°(2)180°(3)360°【变式题】解：连接EF.由题意，得∠BOF=∠B+∠C =∠EFO+∠FEO=120°，∠A+∠D=∠DFE+∠AEF.∴.∠A+∠D+∠CFD+ ∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD+∠AEB=∠EFO+∠FEO=12O°.∴.∠A+∠B +∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240°. 数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1 动手操作1：解：如图所示. 延伸问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边 三角形，再把剩下的3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，如图所示，三棱锥 第3页（共54页）