精品解析：四川省成都市盐道街中学2025-2026学年高三上学期九月月考数学试题

成都市盐道街中学2025-2026学年（上）九月月考 高2023级数学试题 命题人：王寒 审题人：廖洋 一、单选题 1. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则计算即得. 【详解】由，可得. 故选：C. 2. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 3. 某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，由此求得实数m的取值范围. 【详解】由，得，所以， 故. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，. 即是集合的真子集，又， 所以， 故选：C. 4. 函数在时有极值10，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由取得极值的必要条件得或，再由取极值的充分条件检验即可. 【详解】由题意， 因为函数在时有极值10， 所以，消去可得，解得或， 当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意； 当时，，， 或，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意. 故选：B. 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 【答案】A 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数即可. 【详解】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，得到， 两边同时取自然对数得， ， 则， 则给氧时间至少还需要小时. 故选：A 6. 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用的单调性求得结果． 【详解】设，则， 由，得，又， 所以，故函数在上单调递减． 因为为奇函数，且定义域为， 所以，得， 所以， 不等式等价于，即， 又函数在上单调递减，所以， 故不等式的解集是． 故选：D． 7. 已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， 因为， 在上，， ，故， 所以在上单调递增， 因为，， 又，， 所以， 又单调递增，所以 即. 故选：A. 8. 设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（ ） A. 0 B. 1013 C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解的值. 【详解】令，则，所以． 令，则，又，所以． 令，则，所以函数的图像关于直线对称． 令，则，所以，的图像关于点对称． 故，则,是周期的函数． 又，当为偶数时，．当为偶数时，也为偶数，此时；当为奇数时，令，则. 所以1013． 故选：B． 二、多选题 9. 下列结论错误的是（ ） A. 当相关系数时，两个变量负相关 B. 线性回归直线必过样本数据的中心点 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为9 D. 若样本数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为9 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的定义判断即可；对于B，根据线性回归直线的性质判断即可；对于C，根据百分位数的定义计算即可；对于D，根据方差的性质计算即可． 【详解】对于A，相关系数的取值与变量相关性的关系为：当时，两个变量正相关；当时，两个变量负相关，故A错误； 对于B，根据线性回归直线的性质，线性回归直线必过样本数据的中心点，故B正确； 对于C，将数据3,4,8,7,9,12,13从小到大排序为3,4,7,8,9,12,13，共个数据，计算，由于不是整数，上取整为，所以第60百分位数为第个数，即，故C正确； 对于D，已知原数据方差为，则的方差为，故D错误． 本题选择不正确的， 故选：AD． 10. 已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（ ） A. xy的最大值为18 B. 的最小值为1 C. 的最小值为13 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，， 所以 所以，又， 则，当且仅当，时取等号，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B错误； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C，得 ， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 有3个零点 C. 若关于的方程有四个不同实根，则 D. 若，恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分段函数的解析式和导数相关知识判断函数的单调性，即可判断；令，分段求出的值即可判断；先解方程求出的值，再根据函数的单调性和最值画出函数图象，通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，进而判断；由已知将问题转化为求函数，的最大值问题，通过求导判断函数的单调性即可求解最值，进而求解的范围. 【详解】当时，，此时在上单调递增， 当时，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的单调递增区间为，故A正确； 当时令，得， 当时，令，得，所以函数有2个零点，故B错误； 因为，即， 所以或， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 当时，，所以的图象如图所示， 由图可知有一个根， 若满足关于的方程有四个不同实根， 则有三个不同实根，所以，故C正确； 若，恒成立，则， 令，，所以， 由，得（舍）或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，有最大值为，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知函数，则在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算，按照直线方程的点斜式求解. 【详解】由题可知：，所以. 则切线方程为：. 故答案为： 13. 展开式中的第五项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得， 即展开式中第五项的系数为， 故答案为： 14. 已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，设函数，代入点即可求出，进而求出函数的解析式.将问题转化为，，构造函数，，利用导数求出函数的最值，从而得出答案. 【详解】由函数的导函数为，所以设函数， 又函数的图象经过点，代入，得，解得， 所以， 因为对任意一个负数，不等式恒成立，即， 得，， 构造函数，，则， 令，则，令，解得， 所以当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 且，，，， 所以存在使，且， 所以当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递减， 所以在时取得最大值，为， 由，得到， 代入得到，， 从而得函数， 由于且取整数，所以的最小值为 故答案为： 四、解答题 15. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 （1）依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； （2）从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 【答案】（1）不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据公式计算，结合独立性检验判断即可； （2）由题知的可能取值为0，1，2，求出对应概率，列出分布列计算期望即可． 【小问1详解】 零假设：该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别无关． ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 即不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关. 【小问2详解】 由题意的可能取值为0，1，2． ，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 17. 如图所示，直三棱柱，，． （1）求证：； （2）若，E为中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明， 可得平面，进而得到； （2）以B点为原点建立空间直角坐标系求解即可． 【小问1详解】 因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，， 又，，且，AB、平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，且、平面， 所以平面，且平面， 所以． 【小问2详解】 设，由及勾股定理得， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，，，，， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 结合图形可知，二面角余弦值． 18. 已知椭圆，点，，在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程． （2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点． （ⅰ）若O为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点Q是线段MN上异于M，N的一点，直线QA，QM的斜率分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）1 【解析】 【分析】（1）把椭圆C上的三点代入椭圆方程，解方程组求出即可； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，点，，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，，求得面积，令，，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由，所以，所以点Q在线段AD的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解． 【小问1详解】 点，，在椭圆C上， 则有，所以，椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线l的方程为，点，， 由消去x得：， 则，，则或， 所以， 所以面积， 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. (ii)因为，所以直线QA，QM的倾斜角互补，所以， 所以点Q在线段AD的垂直平分线上，所以， 所以， 同理得，，， 所以， 因为， 所以， 所以的值为1. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市盐道街中学2025-2026学年（上）九月月考 高2023级数学试题 命题人：王寒 审题人：廖洋 一、单选题 1. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在时有极值10，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 6. 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（ ） A. 0 B. 1013 C. 2025 D. 4050 二、多选题 9. 下列结论错误的是（ ） A. 当相关系数时，两个变量负相关 B. 线性回归直线必过样本数据的中心点 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为9 D. 若样本数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为9 10. 已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（ ） A. xy的最大值为18 B. 的最小值为1 C. 的最小值为13 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 有3个零点 C. 若关于的方程有四个不同实根，则 D. 若，恒成立，则 三、填空题 12. 已知函数，则在点处的切线方程为______． 13. 展开式中的第五项的系数为______． 14. 已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 四、解答题 15. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 （1）依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； （2）从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 如图所示，直三棱柱，，． （1）求证：； （2）若，E为中点，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆，点，，在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程． （2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点． （ⅰ）若O为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点Q是线段MN上异于M，N的一点，直线QA，QM的斜率分别为，，且，求的值． 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $