学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（南通专用，测试范围：二次函数+圆+反比例函数）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十二章（二次函数）、二十四章（圆），九年级下册第二十六章（反比例函数）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 2．已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 3．反比例函数经过（   ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．二、三象限 D．三、四象限 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 9．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12每小题3分，第13—18每小题4分，共30分． 11．函数的图象与y轴交点的坐标为 ． 12．如图，已知是的外接圆，，则 ．    13．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 14．在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 15．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 16．反比例函数图象与矩形的边，交于点，为的中点，求 ． 17．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是 ． 18．如果人人都献出一点爱，世界将变成美好的明天，如图是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成的爱心图案，点是图案与其对称轴的两个交点，点是图案与坐标轴的交点，且点的坐标为． （1） ； （2）若点是该图案上一个动点，是点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中作的切线（切点不与重合）． 20．（9分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 21．（10分）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 22．（11分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，大会吉祥物为“琮琮、宸宸、莲莲”．某特许零售店“琮琮”的销售日益火爆，若“琮琮”的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后若再涨价，则每涨1元每个月少卖3件．设每件“琮琮”的售价为x元，每个月的销售量为y件． (1)求y关于x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)设每月的销售利润为w，请直接写出w与x的函数关系式； (3)每件“琮琮”的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 24．（13分）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 25．（13分）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________． [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 26．（14分）定义：对于给定的一个函数，另一个函数称为它的互联函数须满足下列条件：任取自变量的一个值，若，则它的互联函数值与原函数值互为相反数；若，则它的互联函数值比原函数值大1．如函数，它的互联函数为． (1)已知函数． ①写出它的互联函数表达式； ②当时，求它的互联函数的取值范围． (2)已知二次函数． ①对于的任一值，当它的互联函数时，对应的自变量都有三个值，求的取值范围． ②若，当时，它的互联函数的取值范围为，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十二章（二次函数）、二十四章（圆），九年级下册第二十六章（反比例函数）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 2．已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 3．反比例函数经过（   ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．二、三象限 D．三、四象限 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 9．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12每小题3分，第13—18每小题4分，共30分． 11．函数的图象与y轴交点的坐标为 ． 12．如图，已知是的外接圆，，则 ．    13．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 14．在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 15．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 16．反比例函数图象与矩形的边，交于点，为的中点，求 ． 17．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是 ． 18．如果人人都献出一点爱，世界将变成美好的明天，如图是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成的爱心图案，点是图案与其对称轴的两个交点，点是图案与坐标轴的交点，且点的坐标为． （1） ； （2）若点是该图案上一个动点，是点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中作的切线（切点不与重合）． 20．（9分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 21．（10分）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 22．（11分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，大会吉祥物为“琮琮、宸宸、莲莲”．某特许零售店“琮琮”的销售日益火爆，若“琮琮”的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后若再涨价，则每涨1元每个月少卖3件．设每件“琮琮”的售价为x元，每个月的销售量为y件． (1)求y关于x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)设每月的销售利润为w，请直接写出w与x的函数关系式； (3)每件“琮琮”的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 24．（13分）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 25．（13分）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________． [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 26．（14分）定义：对于给定的一个函数，另一个函数称为它的互联函数须满足下列条件：任取自变量的一个值，若，则它的互联函数值与原函数值互为相反数；若，则它的互联函数值比原函数值大1．如函数，它的互联函数为． (1)已知函数． ①写出它的互联函数表达式； ②当时，求它的互联函数的取值范围． (2)已知二次函数． ①对于的任一值，当它的互联函数时，对应的自变量都有三个值，求的取值范围． ②若，当时，它的互联函数的取值范围为，求的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十二章（二次函数）、二十四章（圆），九年级下册第二十六章（反比例函数）。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“二次函数中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c”进行求解即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选B． 2．已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 3．反比例函数经过（   ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．二、三象限 D．三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握“当时，反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限”是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质作答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：． 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，利用左加右减，上加下减的口诀即可解答，解决本题的关键是熟知抛物线平移的口诀． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是， 故选：B． 5．如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 6．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，进行解答，即可． 【详解】∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为：， 故选：B． 7．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 8．如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，先求出的坐标，进而求出点坐标，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∴， 当时，， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴的面积； 故选C． 10．如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：将y＝0代入， 得：， 解得：，， 抛物线与轴交于点、， ，， 抛物线向左平移4个单位长度， ∵， 平移后解析式， 如图， 当直线过点，有2个交点， ， 解得：， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， 整理得：， 相切， ， 解得：， 若直线与、共有3个不同的交点， ， 故选：A． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12每小题3分，第13—18每小题4分，共30分。 11．函数的图象与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 令，则有，即可求解图象与y轴交点的坐标． 【详解】解：令，则有， 所以，该函数图象与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 12．如图，已知是的外接圆，，则 ．    【答案】/25度 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，推出，利用三角形内角和定理求出，进而得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 14．在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 15．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 16．反比例函数图象与矩形的边，交于点，为的中点，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及矩形的性质，解题的关键是正确设出点的坐标来表示线段的长． 设，则，然后根据反比例函数图象经过点表示出，最后由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， ∵反比例函数经过，F为的中点， 设， ∴， 把代入，则， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先得到是等边三角形，求出，当平移到时，和相切于点M，此时平移距离最短，当平移到时，和，分别相切于点G，H时，此时平移距离最长，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵圆心恰好为正六边形的中心， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当平移到时，和相切于点M，此时平移距离最短， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴此时平移的距离； 当平移到时，和，分别相切于点G，H时，此时平移距离最长， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴此时平移的距离； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，正多边形和圆综合，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．如果人人都献出一点爱，世界将变成美好的明天，如图是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成的爱心图案，点是图案与其对称轴的两个交点，点是图案与坐标轴的交点，且点的坐标为． （1） ； （2）若点是该图案上一个动点，是点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据点横坐标的范围求的最大值． （1）根据轴对称的性质得到点的对称点点的坐标为，再把点的坐标代入抛物线的解析式中，求出即可； （2）根据点、是抛物线与直线的交点，求出的取值范围，设点的坐标为，由轴对称的性质可知，点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得：，根据二次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：点的坐标为， 由轴对称的性质，可知点的坐标为， 将点的坐标代入， 可得：， 解得：； 故答案为：； （2）解：如图所示，连接、，过点作轴，过点作轴， 由（1）可知抛物线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， 解得：， 点的横坐标是，点的横坐标是， 设点在对称轴左边的图象上，点在对称轴左边的图象上， ∴设点的坐标为， ， 轴，轴， ， ，， 由轴对称的性质可知：，， 在和中， ， ∴， ，， 点的坐标为， ， 又， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中作的切线（切点不与重合）． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）如图所示，设与交于点，连接，根据等边对等角，平行线的性质即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证，得到，由切线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴即为所求作作图；（4分） （2）解：如图所示，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴，且是半径，点是半径外端点， ∴是的切线，即是所求作图形．（8分） 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形的定义，平行线的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（9分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为；（5分） （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，．（9分） 21．（10分）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，函数图像的平移，解二元一次方程组和平移坐标的变化是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）新抛物线顶点坐标为，将上述点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 故表达式为；（5分） （2）解：原抛物线顶点式：， 顶点向左平移m个单位后，新顶点为， 新顶点在直线上，代入得， 解得．（10分） 22．（11分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；（6分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得．（11分） 23．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，大会吉祥物为“琮琮、宸宸、莲莲”．某特许零售店“琮琮”的销售日益火爆，若“琮琮”的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后若再涨价，则每涨1元每个月少卖3件．设每件“琮琮”的售价为x元，每个月的销售量为y件． (1)求y关于x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)设每月的销售利润为w，请直接写出w与x的函数关系式； (3)每件“琮琮”的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)售价定为90元时．每个月可获得最大利润，最大利润为7500元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，y关于x的函数关系式即可； （2）根据利润单个的利润销售量，写出函数解析式即可； （3）分两种情况分别求出最大利润，然后得出结果即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即． 则；（4分） （2）解：当时，销售利润： ； 当时， ， 综上分析可知，；（8分） （3）解：当时，， 当时有最大值，最大值为：（元）； 当时，， 当时，有最大值，最大值为7500元． 故售价定为90元时．每个月可获得最大利润，最大利润为7500元．（12分） 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的最大值，求一次函数解析式，将二次函数一般式变为顶点式，解题的关键是理解题意求出函数解析式． 24．（13分）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）连接，由知，则，由可证，根据得，得证； （2）设，在中由勾股定理求得 【详解】（1）证明：连接， ， ． ． ， ． ． ． ， ， 又是半径． 是的切线．（7分） （2）解：设， ， ． 在中， ，，， ． 解得． 的半径是3．（13分） 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直． 25．（13分）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 【答案】[变式探究]点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]； [拓展应用], 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应用[问题再现]的方法，作出辅助线． [变式探究]作，截取，可推出四边形是平行四边形，从而，从而得出点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]在上截取，连接，可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆，进而得出结果； [拓展应用]作，截取，可得出点在以上的点为圆心，为半径色圆上运动，连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小，进一步得出结果． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆；（4分） [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：；（8分） [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：，（13分） 26．（14分）定义：对于给定的一个函数，另一个函数称为它的互联函数须满足下列条件：任取自变量的一个值，若，则它的互联函数值与原函数值互为相反数；若，则它的互联函数值比原函数值大1．如函数，它的互联函数为． (1)已知函数． ①写出它的互联函数表达式； ②当时，求它的互联函数的取值范围． (2)已知二次函数． ①对于的任一值，当它的互联函数时，对应的自变量都有三个值，求的取值范围． ②若，当时，它的互联函数的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或． (2)①；②． 【分析】（1）①根据互联函数的定义即可得出解析式；②分和两种情况讨论，结合一次函数的性质即可求解． （2）先根据定义得出二次函数的互联函数，再作出函数的大致图象，利用数形结合思想求解；②作出当时的函数图象，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得，函数的互联函数为．（3分） ②当时，函数单调递减， ； 当时，函数单调递增， ． 综上，当时，它的互联函数的取值范围为或．（7分） （2）解：①二次函数的互联函数为， 函数与轴交点的纵坐标为， 函数与轴交点的纵坐标为，其函数图象的对称轴为直线，当，， 作出两函数的大致图象如图所示， 由图可知，当时，要使对应的自变量都有三个值，则，解得， 的任一值，当时，对应的自变量都有三个值， 即直线与图象有三个交点， ，解得：．（10分） ②当时，， 作出其图象如图所示， 由图可知，互联函数的取值范围为，， 当时，互联函数的取值范围为， ．（14分） 【点睛】本题主要考查有关函数的新定义问题、一次函数的性质、二次函数的图象与性质，解题关键是理解新定义并正确列出关于的互联函数解析式，结合数形结合思想解决问题． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 6 7 8 9 10 B B B B C B B C A 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11一12每小题3分，第13一18每小题4分，共30分。 11.(0,3) 12.25°/25度 13.314.（-2,6 15.-4<x<-1 16 17.5V5≤d≤10 18.-4 17W2 4 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(8分) 【详解】(1)解：如图所示，设⊙O与OA交于点D,连接CD, B 0C=0D, .∠0CD=LODC, .BCA, .LODC=∠BCD, ∴.∠OCD=∠BCD, .CD是∠BCO的角平分线， .CD即为所求作作图；(4分) (2)解：如图所示，延长CO交⊙O于点E,连接AE,OB, 1/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,0B=0C, ..Z0CB=Z0BC ,BC‖0A, .∠EOA=∠OCB,∠AOB=∠OBC, ∴.∠EOA=∠B0A, 在△AOE和△AOB中， OE=OB ∠EOA=∠BOA, OA=OA .△AOE≌△AOB(SAS), .LAE0=∠AB0, :AB是⊙O的切线，B为切点， .∠AB0=90°， ∠AE0=90°，且OE是半径，点E是半径外端点， ∴.AE是⊙O的切线，即AE是所求作图形.(8分) 20.(9分) 【详解】1)由题意可设1-会 :点(2,10在函数1-点的图象上， 10 22’k=220, :电流(A)与电阻R(Q之间的函数表达式为1=-2 R :5分) 220 (2)当R=5时，I= 5’1=44, 由函数图象可知，该函数在第一象限内I随R的增大而减小， ·当R>5时，0<I<44.(9分) 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(10分) 【详解】(1)解：将(3,0)，(0，-3)代入y=-x□+bx+c, 「-9+3b+c=0 c=-3 解得c=-3,b=4, 故表达式为y=-xC+4x-3;(5分) (2)解：原抛物线顶点式：y=-(x-2+1, 顶点(2,1)向左平移m个单位后，新顶点为2-m,1), 新顶点在直线y=-2x-3上，代入得-2(2-m)-3=1, 解得m=4.(10分) 22.(11分) 【详解】(1)证明：如图，连接AC, .BC=CD, ∴.BC=CD, ∴.∠BAC=∠EAC, .CD =CE, .ZE ZCDE,BC=CE, ,四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°， ,∠ADC+∠CDE=180°， .∠ABC=∠CDE, .∠ABC=∠E, 在ABC与△AEC中， 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠BAC=∠EAC ∠ABC=∠AEC, BC=CE .△ABC≌△4EC(AAS, .AB=AE;(6分) (2)解：，AD=DE=2, .AE=AD+DE=2+2=4, .AB=AE=4, ,BD为⊙O的直径， .∠BAD=90°， 在Rt△ABD中利用勾股定理，得BD=√AB2+AD2=V42+22=2√5.(11分) 23.(12分) 【详解】(1)解：当50≤x≤80时，y=210-(x-50),即y=260-x, 当80<x<140时，y=210-(80-50)-3(x-80),即y=420-3x. 260-x50≤x≤80) 则y= 420-3x80<x≤140：（4分) (2)解：当50≤x≤80时，销售利润： w=(x-40)(260-x)=-x2+300x-10400: 当80<x≤140时， w=(x-40)(420-3x=-3x2+540x-16800, -x2+300x-10400(50≤x≤80j 综上分析可知， W= -3r+540x-1680(80<x5140):(8分) (3)解：当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400=-(x-150)2+12100, 当x=80时有最大值，最大值为：-(80-150)2+12100=7200（元）： 当80<x≤140时，w=-3x2+540x-16800=-3(x-90)2+7500, 当x=90时，有最大值，最大值为7500元. 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故售价定为90元时.每个月可获得最大利润，最大利润为7500元.(12分) 24.(13分) 【详解】(1)证明：连接OE, E 1Q2 G B AE=DE, .AE DE .∠1=∠2. :0B=0E, L2=∠3. ∠1=∠3. OE∥BF. :EF⊥BC, OE⊥GF, 又：OE是半径. .GF是⊙O的切线.(7分) (2)解：设0A=0E=r, OE⊥GF, ∠GE0=90°. 在Rt△GOE中， :0G2=GE2+0E2,AG=6,GE=6N2, (6+2=(62+r2. 解得r=3 ⊙0的半径是3.(13分) 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(13分) 【详解】解：[变式探究]如图1， D E F 0 图1 作0E⊥OA,截取OE=BC=3, :BC⊥OA, ..OE BC, ·四边形BCEO是平行四边形， :EC=OB=5, :点C的运动路径是以E为圆心，5为半径的圆；(4分) [结论应用]如图1， 在OE上截取EF=CD=1,连接FD, 同理可得DF=CE=5,点C运动路径是以E为圆心，5为半径的圆， 因为2πr=10π， 故答案为：10π；(8分) [拓展应用]如图2， D 图2 作OA⊥AD,截取0A=EF=2, 由上可知：OF=AE=3, ·点G在以OA上的点为圆心，3为半径的圆上运动， 连接C0,并延长，交⊙O于点G,连接AC,交0A于G", 此时CG最大，CG”最小， 6/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△B0C中，BC=5,OB=AB+OA=5, .0C=5V2 0G=5√2+3 在Rt△ABC中，BC=5,AB=3 AC=V52+32=34, CG'=V34-3 故答案为：5√2+3，√34-3.(13分) 26.(14分) -2x-2(x<0) 【详解】(1)解：①由题意可得，函数y=2x+2的互联函数为y= 2x+3x≥0)· (3分) ②当-1≤x<0时，函数y=-2x-2单调递减， -2<y≤0： 当0≤x≤3时，函数y=2x+3单调递增， .3≤y≤9. 综上，当-1≤x≤3时，它的互联函数y的取值范围为-2<y≤0或3≤y≤9.(7分) x2-2x-k(x<0) (2)解：①二次函数y=-x2+2x+k的互联函数为y= -x2+2x+k+1x≥0)' 函数y=x2-2x-k与y轴交点的纵坐标为-k, 函数y=-x2+2x+k+1与y轴交点的纵坐标为k+1,其函数图象的对称轴为直线x=1,当x=1,y=k+2, 作出两函数的大致图象如图所示， k+2 V=D k+1 由图可知，当少=P时，要使对应的自变最×都有三个值，则+12-，解得≥ 7/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1≤p≤1.5的任一p值，当y=p时，对应的自变量x都有三个值， 即直线y=p(1≤p≤1.5)与图象有三个交点， 「k+1≤1 k+2>15,解得：-05<ks0.(10分) x2-2x-1(x<0) ②当k=1时，y= -x2+2x+2x≥0) 作出其图象如图所示， y=3 3 --y=-1 由图可知，互联函数y的取值范围为-1<y≤3,1-√5≤x<3, :当-1≤x≤m(m>-)时，互联函数y的取值范围为-1<y≤3， .1≤m≤3.(14分) 8/82025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【√1【/] 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1 [A][B][c][D] 5[A][B][CI[D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][CI[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（本题共8小题，第11一12每小题3分，第13一18每小题4 分，共30分.) 11. 12 13 14. 15. 16. 17 18. 三、解答题（本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步嚎.） 19.(8分) 第1页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 图1 图2 20.(9分) AIA (22,10 R/2 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(11分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第3页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 24.(13分) E G B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) B 0 A 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第5页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第6页 ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共8小题，第11 — 12每小题3分，第13 — 18每小题4分，共30分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 11． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 17． ______________ 18． ______________ 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19． （8分） ) ( 20． （9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （10分） 22． （11分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （12分） 24． （13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25． （13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $