高二数学上学期期中模拟卷01（北师大版选择性必修第一册1～3章：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版第1~3章（直线与圆、圆锥曲线、空间向量与立体几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A． B． C． D． 2．平行直线与间的距离为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ） A． B． C． D． 4．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ） A． B． C． D． 5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 7．已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为锐角 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知，，，则点C到直线的距离为_____________________. 13．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为_____________________． 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为_______________________，若点，则的最小值为______________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 17．（15分）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 18．（17分）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线斜率的定义 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 2．平行直线与间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将直线化为，再利用两条平行直线的距离公式即可. 【详解】直线可化为，平行直线与间的距离为. 故选：. 3．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 4．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二联立解得或 所以． 故选：B. 5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得． 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，，，则或，故C错误； 对于D，由，得，，，则，故D正确. 故选：D． 6．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 7．已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断. 【详解】由圆的方程可化为，，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而， 当直线时，，，此时最小． ∴即，由解得，． 所以以为直径的圆的方程为，即， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 10．在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 【答案】BCD 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的定义求解判断ABC；表示出的面积，进而求解判断D. 【详解】由抛物线，则，准线， 设直线的方程为，， 联立，则， 则，， 则， ， 而，. 对于A，由，则，即， 则，解得（舍去）或，即， 所以，或，， 则直线的斜率为或，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D，， 点到直线的距离为， 则， 当时，的面积取得最小值8，故D正确. 故选：BCD. 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为锐角 【答案】BCD 【知识点】求点面距离、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及夹角和距离的向量方法，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出方向向量和法向量，根据公式逐一判断各选项的正误，求出结果. 【详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则，则， 故， 故，， 对于选项A，，设平面的法向量， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 当时，点到平面的距离为0， 当时，，当且仅当时取等号， 所以点到平面的最大距离为，故A错误. 对于选项B，当平面，因为平面，所以， 则，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于选项C，当时，取得最小值，由B得此时， 则，， 所以，即的最小值为，故C正确； 对于选项D，当为中点时，则，， 则，， 所以，所以为锐角，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知，，，则点C到直线的距离为_____________________. 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 13．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为_____________________． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题设椭圆方程，求出相关点坐标，设，利用求得，即得，代入椭圆方程计算即得离心率. 【详解】不妨设椭圆方程为，如图，，设， 由可得，解得，即， 因点在椭圆上，可得，解得. 故答案为：. 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为_______________________，若点，则的最小值为______________________． 【答案】； 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设，根据条件得到，化简即可求解；根据题设得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设，因为，且， 则，整理得到，即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用，从而有，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】（1）根据垂直直线的斜率关系由边上的高的方程求直线的斜率，再由点斜式求结论； （2）联立直线与直线的方程求点的坐标，求点关于的对称点的坐标，由此可得直线的斜率，利用点斜式求结论. 【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． （2）联立，解得，即． 设点关于直线对称的点为， 所以， 解得，即． 直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. 【详解】（1）由题意：，所以． 又因为，，所以，， 即椭圆的方程为． （2）当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组得， ∴ ， ∴， ∴ ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 17．（15分）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 18．（17分）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，线段的长为 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. 【详解】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面. （2）因为， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. （3）设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 19．（17分）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A B D D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分． 12． 13．/ 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据垂直直线的斜率关系由边上的高的方程求直线的斜率，再由点斜式求结论； （2）联立直线与直线的方程求点的坐标，求点关于的对称点的坐标，由此可得直线的斜率，利用点斜式求结论. 【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即．……………………6分 （2）联立，解得，即． 设点关于直线对称的点为， 所以， 解得，即．……………………………….10分 直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得。……………………………13分 16．（15分） 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. 【详解】（1）由题意：，所以． 又因为，，所以，， 即椭圆的方程为．………………………….6分 （2）当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组得， ∴………………………………………………….9分 ， ∴，…………………………….12分 ∴ ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或．………………….15分 17．（15分） 【答案】(1) (2)或 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即，……………………3分 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为………………………………7分 （2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离，………………………..9分 ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意；…………………………..11分 ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或………………………………15分 18．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，线段的长为 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. 【详解】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得，………………4分 又因为，则，可得. 且平面，所以平面………………………………………6分 （2）因为， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得，…………………..9分 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为…………………………………11分 （3）设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，……………………..14分 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为…………….17分 19．（17分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为．……………………….5分 （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，，……………9分 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，，………………….12分 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上．………………………….17分 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版第1~3章（直线与圆、圆锥曲线、空间向量与立体几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A． B． C． D． 2．平行直线与间的距离为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ） A． B． C． D． 4．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ） A． B． C． D． 5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 7．已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为锐角 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知，，，则点C到直线的距离为_____________________. 13．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为_____________________． 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为_______________________，若点，则的最小值为______________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 17．（15分）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 18．（17分）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $