第5章二次函数 专题8：（解决实际问题）专项训练 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

2025-2026学年苏科版数学九年级下册 第5章二次函数专题8：（解决实际问题） 【典型例题】 【例1】一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球落到地面需要经过的时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【例2】苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A. 4米 B. 8米 C. 米 D. 米 【例3】一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程y为______米． 【例4】如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为米． 【例5】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【例6】某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2160元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【举一反三】 【变式1】 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（ ） A. 39分钟 B. 35分钟 C. 39.5分钟 D. 34.5分钟 【变式2】如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【变式3】飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行的时间x(单位：s)的函数解析式是，则飞机着陆后滑行____s后才能停下来． 【变式4】古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米． 【变式5】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）． （1）写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； （2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【变式6】某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x（元/件）时，日销售量为（200-x）件． （1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式 （2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？ （3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ 【巩固练习】 1.如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（   ） A. B. C. D. 3.汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了__________． 4.小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 5.小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是．有下列结论：①小球从飞出到落地需要；②小球的飞行高度可以是；③小球飞行的高度大于飞行的高度．其中正确的是________（填序号） 6.如图1，单孔拱桥形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为拱桥的最高点到水面的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度﹒ 7.某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 8.为增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，某校九年级一班的同学准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗．据了解，若购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需要210元，若购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需要380元． （1）A，B两种花苗每盆的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定从A，B两种花苗中选购共12盆装扮教室．种植基地的销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠方案：A种花苗按单价出售，B种花苗按购买n盆，B种花苗每盆单价就降n元出售．那么，本次购买最多需要多少元？最少需要多少元？ 9.如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？ 10.一座拱桥示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 11.某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 12.某商场经营一种商品，进价是每千克30元，根据市场调查发现，每日的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是某两日的有关数据： x（元/千克） 35 40 y（千克） 850 800 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量取值范围）： （2）在销售过程中销售单价不低于成本价，且不高于80元，某日该商场出售这种商品获得了14000元的利润，求该商品的售价？ （3）若某日该商场这种商品的销售量不少于500千克，求这一天该商场销售这种商品获得的最大利润为多少元？ 答案解析 【典型例题】 【例1】一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球落到地面需要经过的时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】B 【例2】苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A. 4米 B. 8米 C. 米 D. 米 【答案】B 【例3】一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程y为______米． 【答案】40 【例4】如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为米． 【答案】 【例5】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【答案】（1）由图象可知， 抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（12，0）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4， 则0＝a（12﹣6）2+4， 解得，a＝﹣， 即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4； （2）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3， ∴货船能顺利通过此桥洞． 【例6】某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2160元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】解：设每件玩具的售价定为x元时，月销售利润恰为2160元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， ∵每件玩具售价不能高于40元， 答：每件玩具的售价定为38或32元时，月销售利润恰为2160元； 【小问2详解】 解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润为y元， 根据题意，得： ， ∵， ∴当时，y有最大值为2250， 答：每件玩具的售价定为35元时可使月销售利润最大，最大的月利润是2250元． 【举一反三】 【变式1】 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（ ） A. 39分钟 B. 35分钟 C. 39.5分钟 D. 34.5分钟 【答案】C 【变式2】如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【变式3】飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行的时间x(单位：s)的函数解析式是，则飞机着陆后滑行____s后才能停下来． 【答案】20 【变式4】古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米． 【答案】 【变式5】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）． （1）写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； （2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）解：由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 【变式6】某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x（元/件）时，日销售量为（200-x）件． （1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式 （2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？ （3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ 【答案】（1）y=（x-120）（200-x）=-x2+320x-24000 ； （2）日销售利润是1500元，即y=1500，则 1500=-x2+320x-24000 解得：x1=170，x2=150 当x=170时，日销售量是30件，当x=150时，日销售量是50件 ∴当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件 ． （3）∵y=-x2+320x-24000 =-（x-160）2+1600 ∴当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【巩固练习】 1.如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 3.汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了__________． 【答案】 4.小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 【答案】10 5.小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是．有下列结论：①小球从飞出到落地需要；②小球的飞行高度可以是；③小球飞行的高度大于飞行的高度．其中正确的是________（填序号） 【答案】①③ 6.如图1，单孔拱桥形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为拱桥的最高点到水面的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度﹒ 【答案】（1）设二次函数解析式为 由题意得， 解析式为 （2）由题意得，水面宽度的横坐标为和． 水面上涨的高度为． 7.某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）设，将、代入， 得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意得： ， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 8.为增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，某校九年级一班的同学准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗．据了解，若购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需要210元，若购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需要380元． （1）A，B两种花苗每盆的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定从A，B两种花苗中选购共12盆装扮教室．种植基地的销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠方案：A种花苗按单价出售，B种花苗按购买n盆，B种花苗每盆单价就降n元出售．那么，本次购买最多需要多少元？最少需要多少元？ 【答案】（1）解：设两种花苗的单价分别是元和元， 则， 解得：， 答：两种花苗的单价分别是20元和30元； 【小问2详解】 解：设购买花苗盆，则购买花苗为盆，设总费用为元， 由题意得：为整数， ∵． 故有最大值，当时，的最大值为265， 当时，的最小值为216， 故本次购买至少准备216元，最多准备265元． 9.如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？ 【答案】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； 【小问2详解】 解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∵ ∴当时，y有最大值，最大值为648． ∴当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 10.一座拱桥示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【答案】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， 【小问3详解】 解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处， ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 11.某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1）当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 12.某商场经营一种商品，进价是每千克30元，根据市场调查发现，每日的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是某两日的有关数据： x（元/千克） 35 40 y（千克） 850 800 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量取值范围）： （2）在销售过程中销售单价不低于成本价，且不高于80元，某日该商场出售这种商品获得了14000元的利润，求该商品的售价？ （3）若某日该商场这种商品的销售量不少于500千克，求这一天该商场销售这种商品获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）设y＝kx+b 由表格知，当x＝35时，y＝850；当x＝40时，y＝800； 得， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1200； （2）由题意可知，（x﹣30）（﹣10x+1200）＝14000， 整理得x2﹣150x+5000＝0 ∴x1＝50x2＝100， ∵30≤x≤80 ∴x2＝100不符题意，舍去， 答：该海产品的售价是每千克50元； （3）由题意可知：﹣10x+1200≥500 ∴x≤70， 设出售海产品的利润为w元 则：w＝（x﹣30）（﹣10x+1200） ＝﹣10x2+1500x﹣36000 ＝﹣10（x﹣75）2+20250， ∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下， ∴当x＜75时，w随着x的增大而增大， ∵x≤70∴当x＝70时，W最大＝﹣10×（70﹣75）2+20250＝20000， 答：该商场销售这种海产品获得的最大利润是20000元． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $