第5章二次函数专题3：（二次函数与一次函数的综合） 专项训练 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

2025-2026学年苏科版数学九年级下册 第5章二次函数专题3： （二次函数与一次函数的综合） 【典型例题】 【例1】已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣ax2的图象有可能是（　　） A．B．C． D． 【例2】函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 【例3】二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【例4】函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）求的面积． 【例6】已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为(1，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S． 【举一反三】 【变式1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【变式2】如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 【变式3】如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　　． 【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 　　． 【变式5】已知直线l：y＝kx+1与抛物线y＝x2﹣4x． （1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点； （2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝﹣2时，求△OAB的面积． 【变式6】已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标． （2）求直线CM的解析式． 【巩固练习】 1.一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2 3.函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　） ①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2． ④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN． A．1 B．2 C．3 D．4 5.若抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为　　． 6.二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y＝3x﹣2上，则二次函数的关系式为：　 　． 7.如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是________． 8.如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ___________． 9.已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 10.已知如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，且△AOP的面积为4． （1）求直线AB的表达式； （2）求a的值． 11.我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． （1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”； （2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”． 12.如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． （1）则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； （2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 答案解析 【典型例题】 【例1】已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣ax2的图象有可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【例2】函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【例3】二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【例4】函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 【答案】或 【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点D坐标为； 【小问2详解】 令，则， ∴， 令，则， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； 【例6】已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为(1，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S． 【答案】（1）∵一次函数的图象与y轴交于点B； ∴令x＝0时，y＝1，即点B的坐标为(0，1)， 将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入得 解之 所以抛物线的解析式为． (2)设C(，)，则有 解得 ∴ C(4，3)． 由图可知：． 又由抛物线的对称轴为可知E(2，0)． ∴. 【举一反三】 【变式1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【变式2】如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 【答案】D 【变式3】如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　　． 【答案】2＜x＜5． 【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 　　． 【答案】m＜﹣3 【变式5】已知直线l：y＝kx+1与抛物线y＝x2﹣4x． （1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点； （2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝﹣2时，求△OAB的面积． 【答案】（1）联立 化简可得：x2﹣（4+k）x﹣1＝0， ∴△＝（4+k）2+4＞0， 故直线l与该抛物线总有两个交点； （2）当k＝﹣2时， ∴y＝﹣2x+1 过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E， ∴联立 解得：或 ∴A（1﹣，2﹣1），B（1+，﹣1﹣2） ∴AF＝2﹣1，BE＝1+2 易求得：直线y＝﹣2x+1与x轴的交点C为（，0） ∴OC＝ ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝OC•AF+OC•BE ＝OC（AF+BE） ＝××（2﹣1+1+2） ＝ 【变式6】已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标． （2）求直线CM的解析式． 【答案】（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∴顶点坐标M（2，﹣1）， （2）设直线CM的解析式为y＝kx+b， 将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得： ， ∴． ∴y＝﹣2x+3． 【巩固练习】 1.一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2 【答案】C 3.函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 4.在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　） ①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2． ④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 5.若抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为　　． 【答案】y＝﹣x﹣2 6.二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y＝3x﹣2上，则二次函数的关系式为：　 　． 【答案】y＝2x2﹣4x+3或y＝2x2﹣6x+7 7.如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是________． 【答案】 8.如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ___________． 【答案】 9.已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）把点B（﹣2，4）代入二次函数y＝ax2得4a＝4，a＝1， 二次函数的解析式y＝x2；点A（1，m）代入二次函数解析式得m＝1， 把点A（1，1），B（﹣2，4）代入一次函数y＝kx+b得 ，解得，故一次函数的解析式y＝﹣x+2． （2）一次函数与y轴交于点C（0，2），S△AOB＝S△AOC+S△COB＝×2×1+×2×2＝3． 10.已知如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，且△AOP的面积为4． （1）求直线AB的表达式； （2）求a的值． 【答案】( 1)将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx+b得，解得， 故直线AB的表达式为y＝﹣x+4； （2）∵△AOP的面积为4，∴×4×yP＝4，∴yP＝2， 再把yP＝2代入y＝﹣x+4，得x＝2，所以P（2，2）． 把P（2，2）代入到y＝ax2中得：a＝．故a的值为． 11.我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． （1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”； （2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”． 【答案】（1）∵y＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1， ∴抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1； （2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q， 设P（t，t2﹣2t+2），则Q（t，t﹣1）， ∴PQ＝t2﹣2t+2﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+3＝（t﹣）2+， 当t＝时，PQ有最小值，最小值为， ∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为． 12.如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． （1）则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； （2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）解：当时，， ∴； ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设点的坐标为， 令时，则， 解得，， ∴， ∴， 由（）知：， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值是， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，， 分三种情况： ①如图，当时，， ∴或， 解得（不合，舍去），，， ∴点的坐标为或； ②当为对角线时， ∵，四边形是菱形， ∴的中点在轴上， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴； ③如图，当时，则， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或或或． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $