专题4.9 相似三角形的解题模型（知识梳理+6个考点讲练+难度分层练 共44题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题4.9 相似三角形的解题模型 （知识梳理+6个考点讲练+难度分层练 共44题） 知识梳理 技巧点拨 1 解题模型01：A字模型 1 解题模型02：8字模型 2 解题模型03：母子型相似 2 解题模型04：三角形内接矩形模型 3 解题模型05：一线三等角模型 4 解题模型06：手拉手模型 4 解题模型07：对角互补相似模型 5 解题模型08：角含半角模型 5 优选题型 考点讲练 6 模型讲练01：（双）A字型相似 6 模型讲练02：（双）8型相似 7 模型讲练03：母子型相似 10 模型讲练04：旋转相似 12 模型讲练05：K字型相似 16 模型讲练06：三角形内接矩形 18 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 25 解题模型01：A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 【小结】A字型有一个公共角或角有公共部分，只要再设法证明另一组角相等或公共角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似.遇到两三角形有一公共角或者出现平行线，可以考虑A字型.注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，发挥基本图形的作用，依据基本图形对图形进行分解、组合，或作辅助线构造相似三角形. 【补充】共边反A字模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型. 解题模型02：8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 【小结】“8”字相字型有一组隐含的等角(对顶角)，只要再设法证明另一组角相等或等角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似，必要时可根据题目中的条件和问题构造相似图形. 解题模型03：母子型相似 类型 母子相似模型 构造母子相似模型 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 延长BE交AC于点F ∆ABF∽∆ACB 过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G， ∆ABC∽∆ACG 【母子型相似模型小结】在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛.有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似，双垂直模型可看作特例.深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率. 类型 射影定理 作高用射影定理 条件 ∠ABC=∠ADB=90° F，A，B三点共线，C，A，E三点共线，∠ACB=∠AFE=90° 图示 结论 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 过点C作CD⊥AB于点D ∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB 解题模型04：三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 解题模型05：一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 解题模型06：手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 解题模型07：对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 解题模型08：角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 模型讲练01：（双）A字型相似 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【变式训练1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 模型讲练02：（双）8型相似 【典例精讲】（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2) 如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【变式训练1】（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【变式训练2】（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 【变式训练3】（24-25九年级下·湖南常德·期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 模型讲练03：母子型相似 【典例精讲】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【变式训练1】（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 【变式训练2】（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【变式训练3】（21-22九年级上·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 模型讲练04：旋转相似 【典例精讲】（2025·湖北武汉·三模）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． (1)求证：； (2)如图（1），若点在上，直接写出的值； (3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 【变式训练1】（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【变式训练2】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【变式训练3】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 模型讲练05：K字型相似 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【变式训练1】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【变式训练2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 模型讲练06：三角形内接矩形 【典例精讲】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式训练1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【变式训练2】（24-25九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 基础夯实 1．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 6．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 7．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 8．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 10．（2024·山东淄博·一模）如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 培优拔高 11．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 12．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 14．（2024·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 15．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 16．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．    17．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 18．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 19．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 20．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.9 相似三角形的解题模型 （知识梳理+6个考点讲练+难度分层练 共44题） 知识梳理 技巧点拨 1 解题模型01：A字模型 1 解题模型02：8字模型 2 解题模型03：母子型相似 2 解题模型04：三角形内接矩形模型 3 解题模型05：一线三等角模型 4 解题模型06：手拉手模型 4 解题模型07：对角互补相似模型 5 解题模型08：角含半角模型 5 优选题型 考点讲练 6 模型讲练01：（双）A字型相似 6 模型讲练02：（双）8型相似 11 模型讲练03：母子型相似 27 模型讲练04：旋转相似 32 模型讲练05：K字型相似 44 模型讲练06：三角形内接矩形 53 难度分层 拔尖冲刺 61 基础夯实 61 培优拔高 73 解题模型01：A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 【小结】A字型有一个公共角或角有公共部分，只要再设法证明另一组角相等或公共角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似.遇到两三角形有一公共角或者出现平行线，可以考虑A字型.注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，发挥基本图形的作用，依据基本图形对图形进行分解、组合，或作辅助线构造相似三角形. 【补充】共边反A字模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型. 解题模型02：8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 【小结】“8”字相字型有一组隐含的等角(对顶角)，只要再设法证明另一组角相等或等角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似，必要时可根据题目中的条件和问题构造相似图形. 解题模型03：母子型相似 类型 母子相似模型 构造母子相似模型 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 延长BE交AC于点F ∆ABF∽∆ACB 过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G， ∆ABC∽∆ACG 【母子型相似模型小结】在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛.有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似，双垂直模型可看作特例.深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率. 类型 射影定理 作高用射影定理 条件 ∠ABC=∠ADB=90° F，A，B三点共线，C，A，E三点共线，∠ACB=∠AFE=90° 图示 结论 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 过点C作CD⊥AB于点D ∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB 解题模型04：三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 解题模型05：一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 解题模型06：手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 解题模型07：对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 解题模型08：角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 模型讲练01：（双）A字型相似 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【思路引导】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【考点剖析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 【变式训练2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【规范解答】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练3】（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得： ． 模型讲练02：（双）8型相似 【典例精讲】（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【思路引导】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【规范解答】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【考点剖析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 【变式训练1】（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【思路引导】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【规范解答】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式训练2】（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或． 【思路引导】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）； （2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可； ②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=． 【规范解答】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC， ∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD， ∵∠GDH=∠CDA=60°， ∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°， ∴∠HDA =∠CDG， 在△ADH和△CDG中 △ADH≌△CDG（ASA）； （2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α， ∴∠ACD=∠ADC＝α， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD， ∵∠GDH=α=∠ADC， ∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α， ∴∠ADH =∠CDG， ∴△ADH∽△CDG； ②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12， ∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG， ∴△AGE∽△CGD， ∴， ∴， ∵AD=AC=12， ∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12， ∴AG=3， ∴CG=AC-AG=12-3=9， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∴GM∥CN， ∴△AMG∽△ANC， ∴， ∴,， ∴EM=AE-AM=， 在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=， 当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵AE∥CD， ∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC， ∴△GAE∽△GCD， ∴， ∴， ∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12, ∴GA=6， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∵CN⊥AB， GM⊥AE， ∴GM∥CN， ∴△GMA∽△CNA， ∴， ∴，， ∴EM=AE-AM=3-， 在Rt△GME中，根据勾股定理EG=， ∴综合EG的长为或． 【考点剖析】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键． 【变式训练3】（24-25九年级下·湖南常德·期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【思路引导】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【考点剖析】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 模型讲练03：母子型相似 【典例精讲】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【规范解答】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 【答案】经过2秒或秒时，与相似． 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【规范解答】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 【变式训练2】（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【规范解答】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 【变式训练3】（21-22九年级上·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析 【思路引导】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案； （3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【规范解答】（1）∵矩形ABCD中，， ∴m ∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， ∴ ， ∴ 故答案为：，，； （2）根据（1）的结论，得 ， ， ， ∵ ∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似 当时，得 ∴ ∴； 当时，得 ∴ ∴； （3）如图，过点P作，交BC于点M ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等． 【考点剖析】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 模型讲练04：旋转相似 【典例精讲】（2025·湖北武汉·三模）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． (1)求证：； (2)如图（1），若点在上，直接写出的值； (3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①等腰直角三角形，② 【思路引导】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明，即可得出结论； （2）作，垂足为，由（1）可知，，，由相似三角形的性质可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，即，再证明，易得，然后根据，由此得出，进而求出得出求解即可； （3）①延长交于点，连接，，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，即可得出结论． ②取的中点，连接，可以证明，，由此可得点在过点平行于直线上运动，点从点运动到点，点的运动路径长为 ，由此即可解题． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，即，， ∴， ∴； （2）解：如下图，连接，作，垂足为， 由（1）可知，，， ∴， ∵，，是的中点， ∴，，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ， ∴ （3）以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，证明如下： 延长交于点，连接，，设交于点， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴点在过点平行于直线上运动， 当点在点时，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴， ∴， 当点运动到点时，此时，则，， ∴点从点运动到点，点的运动路径长为 【考点剖析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形． 【变式训练1】（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【思路引导】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及旋转变换的性质，． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解. 【规范解答】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 【变式训练2】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【思路引导】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 【变式训练3】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【思路引导】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【规范解答】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 模型讲练05：K字型相似 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【思路引导】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【规范解答】（1）证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 【变式训练1】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的定义及性质，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】证明：，， ， ， 即， ， ， ． 【变式训练2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【思路引导】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【规范解答】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【考点剖析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 【变式训练3】（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【思路引导】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【考点剖析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 模型讲练06：三角形内接矩形 【典例精讲】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【思路引导】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【规范解答】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式训练1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【规范解答】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【考点剖析】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 【变式训练2】（24-25九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【思路引导】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【规范解答】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 【变式训练3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或 【思路引导】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t； （2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值； （3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式； （4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值． 【规范解答】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB， ∴∠A＝∠ADP＝45°， ∴AP＝DP＝2t， 故答案为2t， （2）如图， ∵四边形DEFP是正方形， ∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°， ∵∠A＝∠B＝45°， ∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°， ∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF， ∵AB＝AP+PF+FB， ∴2t+2t+2t＝8， ∴t＝； （3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积， 即S＝DP2＝4t2， 当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积， ∵AP＝DP＝PF＝2t， ∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t， ∵BF＝HF＝8﹣4t， ∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8， ∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE， ∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32， 综上所述，S与t之间的函数关系式为. （4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝5a， ∴， ∴， ∴t＝， 如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝3a， ∵， ∴， ∴t＝， 综上所述：t＝或. 【考点剖析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【规范解答】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【规范解答】解： ， ，， 故选：A． 3．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【规范解答】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】证明，由相似三角形的性质得出，求出，，过点作于点，由勾股定理可求出答案． 【规范解答】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似 ，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 6．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【思路引导】由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 【考点剖析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【思路引导】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【规范解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【思路引导】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求． 【规范解答】解：如图，点D即为所求． 理由：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 10．（2024·山东淄博·一模）如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2)或 【思路引导】（1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 培优拔高 11．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【思路引导】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【规范解答】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【考点剖析】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 12．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【规范解答】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 13．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【规范解答】解：如图1，过点作，交于点， ∵在正方形中， ∴，，，， ∴、是等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴，故结论②正确； ∴，即是等腰三角形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故结论①正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确， 过点作，如图2； 设，由可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， ∵，， ∴不一定等于，， ∴ 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选C． 14．（2024·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【规范解答】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 15．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【思路引导】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【规范解答】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 16．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．    【答案】 【思路引导】过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，可求，，设，可证，由即可求解． 【规范解答】解：如图，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， ， 故答案：． 【考点剖析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 17．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 18．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【思路引导】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析；当时，有最大值 (3)点运动到的中点 【思路引导】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，即可用证明即可得出结论； （2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，． 【规范解答】（1）解：， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， ∴ 当时，有最大值为； （3）解：当E点是的中点时，． 理由如下： ∵ E是中点， ∴ ， ∴ ． 又∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 20．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)或，见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【规范解答】（1）解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， （2）解：， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $