专题4.8 图形的位似（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题4.8 图形的位似 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：位似图形的有关概念 1 知识点梳理02：位似图形的性质 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：位似图形的识别 3 考点2：判断位似中心 9 考点3：位似图形相关概念辨析 12 考点4：求两个位似图形的相似比 16 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 20 考点6：求位似图形的对应坐标 24 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 27 考点8：在坐标系中画位似图形 31 考点9：在坐标系中画位似中心 36 考点10：坐标与图形综合 41 中考真题 实战演练 47 难度分层 拔尖冲刺 53 基础夯实 53 培优拔高 64 知识点梳理01：位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点梳理02：位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点梳理03：位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点梳理04：平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 考点1：位似图形的识别 【典例精讲】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查图形变换—平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对①②③④逐一画图分析即可得解． 【规范解答】解：①如图， 假设沿所在直线向下平移得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次平移和一次位似可以得到， 故①正确； ②如图， 假设绕点C旋转，得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次旋转和一次位似可以得到， 故②正确； ③两次轴对称之后，可以看作一次平移， 所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到， 故③正确； ④如图， 假设先沿所在直线轴对称，得到， 再绕点O旋转得到， 由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形， 故④错误； 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【思路引导】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【思路引导】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【规范解答】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 考点2：判断位似中心 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了位似的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心是由位似图形的对应顶点的连线的交点是解答本题的关键． 先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为，求出A点的坐标；然后再求出直线的解析式，直线与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标． 【规范解答】解：∵是由等腰直角三角形经过位似变换得到的， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴G点的坐标分别为 ∵D点坐标为，位似比为， ∴A点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与x的交点坐标为， ∴位似中心的坐标是． 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三个顶点分别为，，，已知与是位似图形，且，． (1)请直接写出位似中心的坐标：________________； (2)在网格中将补充完整． 【答案】(1) (2)图见解析 【思路引导】本题主要考查了判断位似中心，写出直角坐标系中点的坐标，在坐标系中画位似图形等知识点，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，并分别延长相交于点，则点即为与的位似中心，于是即可得出答案； （2）结合位似图形的性质，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，即可． 【规范解答】（1）解：连接，，并分别延长相交于点， 则点即为与的位似中心， 位似中心的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，，则即为所求． 考点3：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 根据位似的性质直接判断即可. 【规范解答】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，、、三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，垂足为，． (1)求证：是直角三角形． (2)可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）证明，得到，结合，即可得证； （2）根据题意推出，，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） ， ， ， ， ， ， 可以绕点逆时针旋转，使得与重合，再以A为位似中心，将旋转后的三角形按照一定位似比进行位似变换，位似比为，此时就可以得到． 【变式训练2】（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【答案】(1)①②； (2)； (3)证明见解析 【思路引导】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似． （2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果． （3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【规范解答】（1）解：如图1，    故答案为：①② （2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，    是公共角，， ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 将代入得 ， 解得． （3）证明：如图4，    延长，交于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 考点4：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】D 【思路引导】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质． 根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于2， ∴的面积为18． 故选：D． 【变式训练1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查位似变换，根据位似图形的概念得到，根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【规范解答】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①② 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【规范解答】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【思路引导】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 【变式训练1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线． (2)在图②中，以点为位似中心，作的位似，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-位似变换、勾股定理、三角形中位线． （1）分别取，的中点D，E即可； （2）由位似的性质得，，相似比为，点M在上，点N在上，进而可得．结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【规范解答】（1）解：如图①，点D，E即为所求； （2）解：由题意得，，相似比为，点M在上，点N在上， ∴， ∴． 如图②，即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）图、图、图均是的正方形方格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的方格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中以点为位似中心，把缩小为原来的，嘉琪的想法是可以找到的中点和的中点，连接，即所求，他利用矩形的中心为对角线的中点很快便找到了点，请仿照嘉琪的作法作的中点，连接，并直接写出的值． (2)在图中，作的高线． (3)在图中，嘉琪在边上按如图所示的方式作点，求线段的长． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【思路引导】（）利用矩形的对角线互相平分即可作出点，再根据即可得到的值； （）根据网格的特点作图即可求解； （）利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质可求出 的长； 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，点即所求， ∵， ∴， 即的值为； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由网格得，， ∵， ∴， ， ， ． 考点6：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．任意两个菱形不一定相似 B．两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 C．若线段，点C是线段的黄金分割点且，则 D．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是 【答案】D 【思路引导】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，黄金分割比，位似图形，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、任意两个菱形对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，故该选项不符合题意； B、两边对应成比例的两个直角三角形，运用勾股定理算出第三边， 故三边都成比例的直角三角形一定相似，故该选项不符合题意； C、若线段，点C是线段的黄金分割点且， 则，即， 解得，故该选项不符合题意； D、∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，且， ∴点的对应点的坐标为或，即点A的对应点的坐标是或， 故该选项符合题意； 故选：D 【变式训练1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了求位似图形的对应坐标，根据位似比以及相应的象限求出对应点的坐标即可． 【规范解答】解：，位似比为， 则点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， 又位于第一象限， ． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．过点A作轴于点E，过点作轴于点F，根据题意可得出，，结合相似三角形的性质即可求出和的长，即得出点A的坐标． 【规范解答】解：如图，过点A作轴于点E，过点作轴于点F， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，． ∵的位似图形为， ∴， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：B． 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【思路引导】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 【变式训练1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了作图-位似变换，位似图形的性质，位似图形的坐标变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）依据位似中心的位置以及位似比的大小，即可得到； （2）根据位似图形的性质面积比等于相似比的平方，求解即可； （3）依据对应点的坐标的关系：横坐标比等于纵坐标比等于相似比，即可得到点M在中的对应点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示， 即为所求． （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：． （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE． (1)当DE∥BC时，如图1． ①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长； ②若DE平分△ABC的周长，求AD的长； (2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【思路引导】（1）①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；②根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）过点E作EF⊥AC于F，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【规范解答】（1）解：①∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∵DE平分△ABC的面积， ∴＝， ∴＝，即， 解得：AD＝； ②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∴△ABC的周长＝3+4+5＝12， ∵DE平分△ABC的周长， ∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD， ∵DE∥BC， ∴＝，即＝， 解得：AD＝； （2）如下图过点E作EF⊥AC于F， 设DE将△ABC的周长平分， 则AD+AE＝6， 设AD＝x，则AE＝6﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得：EF＝， ∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x， 当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×， 解得：x1＝，x2＝， ∵0＜x＜3， ∴x＝， 当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分． 【考点剖析】本题考查相似比，勾股定理 ，三角形的相似，一元二次方程应用于实际问题的方法，解题的关键是根据已知条件表示出有关线段的长． 考点8：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，在第一象限内，以原点为位似中心，画出的位似图形，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点的对应点的坐标． 【答案】见解析，点的坐标为 【思路引导】本题考查作图-位似变换，根据位似图形的性质，找到点、、的位置，再顺次连接即可得，根据在平面直角坐标系中的位置即可得到点的坐标． 【规范解答】解：如图，即为所求． 点的对应点的坐标为． 【变式训练1】（21-22九年级上·云南文山·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是______； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为2: 1，点的坐标是______；（画出图形） (3)的面积是____平方单位. 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)10 【思路引导】本题主要考查作图－平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出的面积． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求，点坐标是， 故答案为： （2）如图所示，即为所求； 点的坐标是， 故答案为：； （3）∵，，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析，． 【思路引导】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，解决本题的关键是按要求做出图形． 根据网格结构找出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，并写出的坐标； 利用位似的性质，找出点、、的位置，然后画出图形，并写出的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示，分别作出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、得到， 即为所求． 由图可知，的坐标为； （2）解：如图所示，连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接点、、得到， 即为所求， 由图可知，点的坐标为． 考点9：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解，点坐标为 【思路引导】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解，连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：和是位似图形，点为所求位似中心，如图点即为所求． 可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并在网格点上， ∴点坐标为． 【变式训练1】（24-25九年级下·安徽六安·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【思路引导】本题考查了利用位似变换作图，确定位似中心，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心P； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标． 【规范解答】（1）解：点的位置如图所示 ； （2）解：如图，即为所求； ∴. 【变式训练2】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【思路引导】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 考点10：坐标与图形综合 【典例精讲】（23-24九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识，将的值转化点到点和点的最小值，求出，则：的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作于， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， 则点， ∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式训练1】（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 【答案】(1)， (2)①；②，或， 【思路引导】（1）根据“k值关联点”的定义计算即可得解； （2）①根据“k值关联点”的定义计算得出，结合轴，得出，即可求出，从而得解；②由①可得，求出点在直线上，再分两种情况：当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于；当点在点下方时；分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点是点的“k值关联点”， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵点是点的“k值关联点”， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即； ②由①可得， ∵， ∴点在直线上， 如图，当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴以为圆心，为半径作，直线与交于（与在同侧）， ∵， ∴，此时满足条件， 由可得，， 解得：（此时、不在的同侧，舍去）或， ∴； 如图，当点在点下方时， 同理可得：，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，，或，． 【考点剖析】本题考查了坐标与图形综合、两点间的距离公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式训练2】（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①或；② (3)或 【思路引导】本题考查了新定义：与的“度量”，一元一次不等式组的拓展；理解新定义，能根据具体情况进行分类讨论，会解含有绝对值的不等式组是解题的关键； （1）由与的“度量”的定义，即可求解； （2）由线上与点的“度量”为2得，求出，即可求解；设直线上存在与点的“度量”为2的点为，由新定义得，可得，由即可求解； （3）由新定义可求、、、，进行分类讨论①，②，③④分别解出，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得： ， 故答案为：2； （2）解：由题意得： ， 过点作平行于轴的直线， 可设直线上点的坐标为， 直线上与点的“度量”为2， ， 整理得：， 解得：， 直线上与点的“度量”为2的点的坐标为或； 设直线上存在与点的“度量”为2的点为， ， 整理得：， ， ， 解得：， 故的取值范围； （3）解：由题意得： ， 同理可求：， ， ， ， ①， 解得：或， ②， 解得：， ③ 解得：， ④ 解得：， 综上所述：或． 【真题演练1】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【规范解答】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 【真题演练2】（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【规范解答】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 【真题演练3】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【规范解答】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 【真题演练4】（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【思路引导】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 【真题演练5】（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．    (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论； （2）先根据题意和轴对称性质作出轴对称前的，即以点为位似中心缩小的，在作出Q对应的，进而作出点对应的点P即可； （3）延长交于点，证明和得到，进而得到，证明得到，利用平行线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；    ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，   ， ③与不成自位似轴对称， 故答案为：①②； （2）解：如图， 1）分别在和上截取，， 2）连接，在上截取， 3）连接并延长交于P，则点即为所求；    （3）证明：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．    【考点剖析】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 基础夯实 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，的周长为9，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．25 【答案】B 【思路引导】本题考查的是位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比定义相似比计算即可． 【规范解答】解：与是位似图形， ，， ， ， 的周长：的周长， 的周长为9， 的周长为15， 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【思路引导】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【规范解答】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 3．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得，再由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为32， 故选：D． 4．（25-26九年级上·贵州·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【规范解答】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为 ； 【答案】 【思路引导】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．连接，由题意得，则有，，，进而可得，，然后可求，最后问题可求解． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的周长为； 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出，使与关于点中心对称； (2)以点为位似中心将放大，得到，使与的相似比为，在第三象限内画出一个满足条件的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据与的相似比为，且在第三象限内画出点，再依次连接，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【思路引导】此题考查了中心旋转的作图和位似的作图，熟练掌握作图方法找到对应点是解题的关键． （1）作出点绕点逆时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，找到点的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）即为所求； （2）即为所求， 点的坐标为． 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） (1)在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为； (2)在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）； (3)在第二象限中画，使且面积是的倍． 【答案】(1)画图见解析 (2)， (3)画图见解析 【思路引导】（）根据位似图形的性质画图即可； （）根据位似图形的坐标变换规律即可求解； （）根据相似三角形的性质画图即可； 本题考查了位似作图，位似图形的性质，画相似三角形，掌握位似图形和相似三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 10．（2022·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点B顺时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标（   ）； (2)以点O为位似中心，将的边长放大为原来的2倍，画出放大后的； (3)在点A、B、C、、、六个点中，找出距离最近的两个点，并求此两点间的距离． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)距离最近的两个点是A、B，两点间的距离为3 【思路引导】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （2）根据位似的性质作图即可； （3）由（2）所画的图可知，在点A、B、C、、、六个点中，距离最近的两个点是A、B，再根据两点的坐标可计算出两点间的距离． 【规范解答】（1）解：绕点B顺时针旋转后得到的如图所示： ∵，， ∴，轴， 由旋转可得，， 过作交于， ∴轴，，点到轴的距离为， ∴，， ∴，即， 故答案为：． （2）解：画出放大后的，如图所示： （3）解：由（2）所画的图可知，在点A、B、C、、、六个点中，距离最近的两个点是A、B，． 培优拔高 11．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵ 与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为，即， ∵， ∴， 故选：C． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为是关于点A的位似图形，且的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，理解位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 过点B作轴于点E，过点作轴于点F，根据位似变换的性质得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可. 【规范解答】过点B作轴于点E，作轴于点F， 则， 由题意得，， ∵点A、B的坐标分别为是关于点A的位似图形， 且的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 则点的坐标为． 故选：C． 14．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是等边三角形性质、勾股定理及坐标与图形，先求出等边三角形边长，以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H，求出，，进而求出结论． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H， ， ， 设， ， ， ∴， ， 解得：， ∴， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段．若点， ， ， 则点 的对应点 的坐标是 【答案】 【思路引导】本题考查的是位似图形与直角坐标系的关系，能够根据位似图形得出位似比是解题的关键． 利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标的关系． 【规范解答】解：以原点为位似中心，把线段放大后得到线段，且， 点的横纵坐标与点的横纵坐标的比值也为． ， 点的横坐标为，纵坐标为． ． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为平面内一动点，且，连接，作（点D在x轴上方），使，，当C点坐标为 时，长度最大，的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】以为直角边、A为直角顶点，构造等腰直角，如图1所示，连接、．证明，得到长度，分析出D点的轨迹，发现当A、E、D三点共线时，如图2所示，此时值最大，也能根据，求出C点坐标． 【规范解答】解：以为直角边、A为直角顶点，构造等腰直角，如图1所示，连接、． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D点是在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∵C点是在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、E、D三点共线时，如图2所示， 此时值最大，最大为， ∵，， ∴， ∴最大值为， 过点C作轴于点F，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【考点剖析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形、找到D点运动轨迹是解题的关键． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知； （2）取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 18．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，是以原点为位似中心在第三象限内与位似的三角形，且相似比为． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)把绕点逆时针旋转，得到．各顶点坐标分别为，，，则点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】（1）根据位似的性质，以原点为位似中心，相似比为，在第三象限确定、、对应点、、的坐标，进而画出图形． （2）利用两点间距离公式求出对应点到旋转中心的距离，再根据线段垂直平分线的性质确定旋转中心的坐标． 【规范解答】（1）解：∵，以原点为位似中心，相似比为，且在第三象限， ∴的坐标为． 同理，对应，对应． 然后连接、、，得到． 如图，为所求； （2）解：设点的坐标为． ∵ 点在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， 整理得 ①． ∵ 点在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， ②． 由②得，把代入①得， 解得． 把代入，得． ∴ 点的坐标为． 【考点剖析】本题主要考查了位似图形的性质、旋转的性质、两点间距离公式及线段垂直平分线的性质，熟练掌握位似图形的坐标变化规律以及利用线段垂直平分线的性质确定旋转中心是解题的关键． 19．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动（即轴），分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)当或时，与相似． 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值． 因为，可得：，根据相似三角形的性质可得：，当时，可知，，，可得，从而求出的长度； 设运动秒时，使得的面积等于，根据相似三角形的性质可得：，根据的面积是，可得：，根据一元二次方程根的判别式可得：，所以方程无解，所以不存在使得的面积等于的值； 与相似分两种情况，情况一、；情况二、，根据相似三角形的性质求出的值即可． 【规范解答】（1）解：， ， 又， ， ， 当时，，，， ， ， ， ； （2）解：不存在使得的面积等于的值， 理由如下： 设运动秒时，使得的面积等于， 则有， 由可知， ， ， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不存在使得的面积等于的值； （3）解：设当运动秒时，与相似， 则有，， ， 当时， ， ， ， 即， 解得：； 当时， ， ， ， 即， 解得：， 当或时，与相似． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点到达的中点时，________； (2)请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知点在直线上，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标． 【答案】(1) (2)最小值 (3)或或 【思路引导】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）先证明再根据相似三角形的性质即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：∵、、三点的坐标为、、， ， ∴四边形是菱形， 又∵ ∴四边形是正方形， ， 又∵， ， ， ， ， ∵为的中点， ， ， 解得：， ； （2）解：， ， ， ， ， 所以当时，有最大值，最大值为，此时的值最小，最小值为； （3）解：设，则， 如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， 当点在的延长线上时，即为，连接，， 因为， 所以， 则.， 即， 所以这种情况不符合条件， 当点在的延长线上时，，， ，， ， ， ， 或 或 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.8 图形的位似 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：位似图形的有关概念 1 知识点梳理02：位似图形的性质 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：位似图形的识别 3 考点2：判断位似中心 5 考点3：位似图形相关概念辨析 6 考点4：求两个位似图形的相似比 7 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 9 考点6：求位似图形的对应坐标 10 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 11 考点8：在坐标系中画位似图形 13 考点9：在坐标系中画位似中心 16 考点10：坐标与图形综合 17 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 27 知识点梳理01：位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点梳理02：位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点梳理03：位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点梳理04：平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 考点1：位似图形的识别 【典例精讲】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【变式训练2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 考点2：判断位似中心 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三个顶点分别为，，，已知与是位似图形，且，． (1)请直接写出位似中心的坐标：________________； (2)在网格中将补充完整． 考点3：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，垂足为，． (1)求证：是直角三角形． (2)可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程． 【变式训练2】（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 考点4：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【变式训练1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【变式训练1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线． (2)在图②中，以点为位似中心，作的位似，使． 【变式训练2】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）图、图、图均是的正方形方格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的方格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中以点为位似中心，把缩小为原来的，嘉琪的想法是可以找到的中点和的中点，连接，即所求，他利用矩形的中心为对角线的中点很快便找到了点，请仿照嘉琪的作法作的中点，连接，并直接写出的值． (2)在图中，作的高线． (3)在图中，嘉琪在边上按如图所示的方式作点，求线段的长． 考点6：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．任意两个菱形不一定相似 B．两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 C．若线段，点C是线段的黄金分割点且，则 D．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是 【变式训练1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【变式训练1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【变式训练2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE． (1)当DE∥BC时，如图1． ①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长； ②若DE平分△ABC的周长，求AD的长； (2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由． 考点8：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，在第一象限内，以原点为位似中心，画出的位似图形，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点的对应点的坐标． 【变式训练1】（21-22九年级上·云南文山·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是______； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为2: 1，点的坐标是______；（画出图形） (3)的面积是____平方单位. 【变式训练2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 考点9：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【变式训练1】（24-25九年级下·安徽六安·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【变式训练2】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 考点10：坐标与图形综合 【典例精讲】（23-24九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 【变式训练1】（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 【变式训练2】（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 【真题演练1】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【真题演练4】（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【真题演练5】（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．    (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，的周长为9，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．25 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 3．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 4．（25-26九年级上·贵州·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 5．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为 ； 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出，使与关于点中心对称； (2)以点为位似中心将放大，得到，使与的相似比为，在第三象限内画出一个满足条件的． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） (1)在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为； (2)在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）； (3)在第二象限中画，使且面积是的倍． 10．（2022·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点B顺时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标（   ）； (2)以点O为位似中心，将的边长放大为原来的2倍，画出放大后的； (3)在点A、B、C、、、六个点中，找出距离最近的两个点，并求此两点间的距离． 培优拔高 11．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为是关于点A的位似图形，且的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段．若点， ， ， 则点 的对应点 的坐标是 16．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为平面内一动点，且，连接，作（点D在x轴上方），使，，当C点坐标为 时，长度最大，的最大值为 ． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 18．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，是以原点为位似中心在第三象限内与位似的三角形，且相似比为． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)把绕点逆时针旋转，得到．各顶点坐标分别为，，，则点的坐标为_____． 19．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动（即轴），分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点到达的中点时，________； (2)请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知点在直线上，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $