24.3.1 锐角三角函数 课件2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕锐角三角函数展开，涵盖正弦、余弦、正切的定义、特殊角值及求法，通过复习直角三角形边长关系引入比值概念，搭建从几何计算到函数思想的学习支架，衔接勾股定理与后续三角函数应用。 其亮点在于以表格对比概念、图示直观呈现，结合网格图构造直角三角形等重难题型，培养学生几何直观与推理能力。设参法等技巧点拨及易错分析，强化数学思维，典例与变式练习助力模型意识养成。学生能深化概念理解，教师可高效突破重难点。

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 24.3.1 锐角三角函数 目 录 ■考点一 锐角三角函数 概念 表示 图示 正弦 在直角三角形中，锐角∠A 的对边与斜边的比值叫做锐角∠A 的正弦 sinA= = 余弦 在直角三角形中，锐 角∠A 的邻边与斜边的比值叫做锐角∠A 的余弦 cosA= = 24.3.1 锐角三角函数 考点清单解读 返回目录 续表 24.3.1 锐角三角函数 概念 表示 图示 正切 在直角三角形中，锐 角∠A 的对边与∠A 的邻边的比值叫做 锐角∠A 的正切 tanA= = 考点清单解读 返回目录 续表 24.3.1 锐角三角函数 书写 要求 （1）当用一个大写字母或希腊字母 α，β 表示角时，习惯上省去角的符号“∠”，如 tanA，sinα，cosβ； （2）当用三个大写字母或阿拉伯数字表示角时， 角的符号“∠”不能省略，如 tan∠ABC，sin∠1， cos∠AOB 考点清单解读 返回目录 续表 24.3.1 锐角三角函数 注意 正弦、余弦、正切的实质是一个比值，没有单位，只与锐角的大小有关 用边的比求锐角的正弦、余弦和正切时，不要忽略 前提条件：在直角三角形中 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 归纳总结 （1）正弦的实质是一个比值，余弦和正切同样都是比值，这些比值只与锐角的大小有关，当一个锐角的度数确定时，它的正弦、余弦和正切值就确定了； （2）正切、正弦和余弦在计算时极易混淆，所以要区分记忆清楚，在直角三角形中计算锐角的正切、正弦或余弦时，勾股定理是常用的寻找边长的方法. 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 典例1 （1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则 tanA 的值是_________； （2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB =13， 则 sinA =_________，cosA=_________； （3）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果tanB=2，BC=2，那么 AC=_____. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［解题思路］ （1）在 Rt∠C△ABC 中，=90°，BC=5，AB=13，∴AC= = =12. ∴tanA= = ; （2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13， 根据勾股定理可得 AC= =5， ∴sinA= = ，cosA= = ; （3）∵tanB= =2， ∴AC=2BC，∵BC=2，∴AC=4. 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［答案］ （1） （2） （3）4 考点清单解读 返回目录 ■考点二 特殊角的三角函数值 24.3.1 锐角三角函数 1. 特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 2.（sinα）2，（cosα）2，（tanα）2 分别记作 sin2α，cos2α，tan2α，在计算时常常会出现. 3. 锐角三角函数值的增减变化 当角度在 0°＜∠A＜90°间变化时 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 当角度在 0°＜∠A＜90°间变化时 tanA＞0 根据三角函数的定义 sin2A+cos2A=1 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 归纳总结 特殊角的三角函数的计算步骤： 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 典例2 计算： + +sin45°=____． 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［答案］ ［解题思路］原式= + + = +1- + = ． 考点清单解读 返回目录 ■考点三 三角函数 24.3.1 锐角三角函数 三角 函数 我们把锐角∠A 的正弦、余弦和正切统称为∠A 的三角函数 解读 在直角三角形中，对于锐角∠A 的每一个确定的值，其正弦、余弦和正切也都是唯一确定的，当锐角∠A变化时，相应的正弦、余弦和正切也随之变化 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 归纳总结 求锐角∠A 三角函数值的步骤： 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 典例3 如图，在△ABC 中，AB=BC=5，CD⊥AB，交 AB 的延长线于点D，且 CD=3，求∠A 的三角函数值． 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［答案］ 解：∵BD= =4， ∴AD=AB+BD=9.∴AC= =3 ，∴sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ． 考点清单解读 返回目录 ■题型一 网格图中构造直角三角形求锐角的正切值 例 如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为 （ ） A． B． C． D． 24.3.1 锐角三角函数 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［答案］A ［解析］如图，连接 CD，设小正方形的边长为 1，则 CD=，AD=2，AC=. ∵AC2=CD2+AD2， ∴△ACD 是直角三角形，∠ADC=90°， ∴tanA= = = ． 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 变式衍生1 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上，则 tanC=_____． 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 解题通法 在网格图中构造直角三角形的两个常用方法：①作垂线；②连接格点. 重难题型突破 返回目录 ■题型二 根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 24.3.1 锐角三角函数 例 2 在 △ABC 中，若（ -cos A）2+ =0，则 △ABC 的形状是 （ ） A． 等腰三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［解析］∵（ -cosA）2+ =0， ∴ -cosA=0，sinB- =0， ∴cosA= ，sinB= ，∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°， 则△ABC 是等腰三角形． ［答案］ A 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 变式衍生 2 在 △ABC 中 ， 若cosA= ，tanB=，这个三角形一定是 （ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形 B 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 解题通法 常利用“若几个非负代数式的和为零，则每个代数式均为零”作为突破口，求出三角函数值，进而求得相应角的度数作出判断. 重难题型突破 返回目录 ■题型三 利用锐角三角函数值求线段的长 24.3.1 锐角三角函数 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于点 E，设∠ADE=α，且 cosα= ，AB=4，则 AD 的长为 ______. 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［解析］∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠DAE=90°， ∵∠BAC+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE=α. ∵cosα= ，∴ = ， ∵AB=4，∴AC= . 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 BC= = . ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC= ． ［答案］ 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 变式衍生 3 如图，D为 Rt△ABC 的 AC 边上一点，∠C=90°，∠DBC=∠A，AC=4，cosA= ，则 CD 长 ______. 重难题型突破 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 解题通法 善于挖掘题干中隐藏的信息，利用等角的三角函数值相等解题. 重难题型突破 返回目录 ■误认为正切值与三角形边的长短有关 24.3.1 锐角三角函数 例 在 Rt△ABC 中，若各边长都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正切值 （ ） A． 扩大为原来的 3 倍 B． 缩小为原来的 C． 不变 D． 扩大为原来的 9 倍 易错易混分析 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［解析］在 Rt△ABC 中，设∠C=90°，则 tanA= ， ∵ 各边长都扩大为原来的 3 倍， ∴tanA= = ， ∴ 若各边长都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正切值不变. 易错易混分析 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［答案］C ［易错］A ［错因］不理解锐角 A 的正切值只与 ∠A 的大小有关. 易错易混分析 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 易错警示 理解锐角的正切值，不要误认为正切值与三角形边的长短有关，三角形的边长发生变化，正切值不一定发生变化. 领悟提能 锐角∠A 的正切值只与锐角∠A 的大小有关，与边的长短无关，只要锐角∠A 的度数不变，那么它的正切值就不变. 易错易混分析 返回目录 ■方法：设参法求锐角三角函数值 24.3.1 锐角三角函数 解决此类问题，一般先根据已知的锐角的三角函数值设参数并运用勾股定理求出第三边长，再利用相关定义可求得其他的锐角三角函数值. 方法技巧点拨 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 例 在 Rt△ABC 中，已知 ∠C=90°，sinA= ，求 cosA 和 tanA 的值. 方法技巧点拨 返回目录 24.3.1 锐角三角函数 ［解析］ ［答案］ 解：如图，∵sinA= = ， ∴ 设 a=3k，c=5k（k＞0）， 由勾股定理得 b= =4k， ∴cosA= = = ， tanA= = = . 方法技巧点拨 返回目录 $