3.3从函数的观念看一元二次方程和一元二次不等式【七大考点+八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

3.3从函数的观念看一元二次方程和一元二次不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二：一元二次函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 【例1】．（24-25高一上·湖北黄冈）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)x∈ (4) 【分析】（1）利用配方法即可解得； （2）因式分解后解一元二次不等式； （3）移项通分，转化成积的形式即一元二次不等式可求解； （4）利用绝对值的概念去绝对值即可求解. 【详解】（1）由，得，解得， 所以不等式的解集为. （2）由，得，即，求得或， 所以不等式的解集为. （3）由，得，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. （4）由，得，解得， 不等式的解集为. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·北京·阶段练习）求下列关于的不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1) 化为，进行求解； (2) 化为，进行求解； (3) 化为，进行求解． 【详解】（1）由，得，得或， 故不等式的解集为： （2）由，得，得， 故不等式的解集为： （3）由，得，得， 得，得， 故不等式的解集为： 【跟踪训练2】．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1），（2），（3），（4）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得，解得或， 所以原不等式的解集为； （3）由， 得，即，解得， 所以原不等式的解集为. （4）由， 得，则，此不等式无解， 所以原不等式的解集为. 题型二：由一元二次不等式来确定参数 【例2】．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】首先利用已知不等式的解集为，得到，同时得到的两个根，再利用根与系数的关系得到，，再代入求解即可 【详解】的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 故选：B. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·山东日照·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系，先求出参数的值，再代入所求不等式，求解一元二次不等式即得. 【详解】由题意，，且方程有和2两个实根， 则有，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 【例3】．（25-26高一上·北京延庆·阶段练习）求下列关于的方程或不等式的解集（其中） (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）对于关于的方程， 当时，方程无解；当时，解得； 综上可得，当时，方程的解集为；当时，方程的解集为； （2）对于关于的方程，即， 当时，解得；当时，解得、； 综上可得，当时，方程的解集为；当时，方程的解集为； （3）对于关于的不等式， 则， 当，即，即时，不等式的解集为； 当，即，即时，原不等式，即，其解集为； 当，即，即时，方程的两个根为 ， 故不等式的解集为； 综上可得，当时解集为，当时解集为，当时解集为. （4）对于关于的不等式，即， 当时，解得； 当时，原不等式，即，解得； 当时，解得或； 当时，解得或； 综上可得，当时解集为；当时解集为； 当时，解集为或；当时，解集为或； 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得不等式的解集为，分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 即关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为； （2）不等式，即， 当时，则； 当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为； 当时，不等式即，则； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 综上可得：当或时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【例4】．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对讨论，结合二次不等式的性质即可求解. 【详解】当时，成立，故符合题意， 当时，则需，解得， 综上可得， 故选：D 【跟踪训练1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习），不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 【答案】A 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，不会恒成立，所以， 所以，即， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数图像解出参数的取值范围，然后由充分必要条件的定义逐个判断各个选项即可. 【详解】当时，不等式为，不满足在上恒成立，舍去； 当时，由二次函数图像可知不等式不满足在上恒成立，舍去； 当时，由二次函数图像可知，即或， ∴， ∵，， ∴是的必要不充分条件，A选项正确； ∵是的充要条件，B选项错误； ∵，， 是的充分不必要条件，C选项错误； ∵，， 是的既不充分也不必要条件，D选项错误； 故选：A. 题型五：一元二次不等式在某个区间成立问题 【例5】．（25-26高一上·吉林·阶段练习）当时，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将时，关于的不等式恒成立，转化为当时，恒成立，求出m的范围，结合充分不必要条件的含义，即可确定答案. 【详解】当时，关于的不等式恒成立， 即当时，恒成立； 而， 当且仅当，即时取等号， 故； 结合选项可知时，一定有成立，反之不成立， 故不等式恒成立的一个充分不必要条件是， 故选：C 【跟踪训练1】．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 【跟踪训练2】（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例6】．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 【跟踪训练2】．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 题型七：一元二次不等式的实际应用问题 【例7】．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 【跟踪训练2】．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 题型八：一元二次不等式的综合问他 【例8】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据二次不等式恒成立的概念，对不等式进行化简，判断对应二次函数图形的开口方向和零点个数，列出不等式，求出结果即可. （2）根据含参二次不等式的解法，先对不等式进行化简和因式分解，再对参数进行讨论，求出结果. 【详解】（1）由题意得恒成立，即恒成立， 当时，，不满足题意； 时，则， 由，解得或， 又，则， 综上，实数的取值范围为. （2）由题意得，即， 所以， ①当时，，解集为； ②当时，方程的两个根为，. 不等式的解集为； ③当时，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，关于x的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程根的关系，结合韦达定理求解； （2）将问题转为对一切恒成立，设，，求出的最小值即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根，且，所以，解得； （2）若不等式对一切恒成立，则不等式对一切恒成立， 由于当，， 所以对一切恒成立， 设，，所以在上单调递增，则，则，即, 所以不等式对一切恒成立，则实数k的取值范围为 【跟踪训练2】．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段练习）设函数. (1)若关于x不等式的解集是，求实数a，b的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围； (3)解关于x不等式：. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析 【分析】（1）为的两根，且，由韦达定理得到方程组，即可求出答案； （2）化简得到存在实数，使得成立，从而只需，即，解得； （3）将原式因式分解得到，分，，，和五种情形，得到不等式解集. 【详解】（1）由题意得为的两根，且， 由韦达定理得，解得； （2），即， ， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即，解得； （3）由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，1， 故的解集为； 若，则，的解集为； 若，则，故， 故解集为； 若，则，的解集为； 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为；时，解集为； 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，则，解得或， 则不等式的解集是或. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、充分不必要条件的定义进行求解即可. 【详解】或， 四个选项中，只有选项B中集合是集合或的真子集， 所以只有选项B是使“”成立的充分不必要条件， 故选：B 3．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，即，解得. 故选：D. 4．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 5．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解. 【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以， ，故BC错误，D正确； 故选：D. 6．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B．的解集是 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误. 【详解】由不等式的解集为或，得是方程的两个根，且， 则，即，， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，即，解得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，即，解得，D正确. 故选：AD 10．（22-23高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【答案】AD 【分析】根据给定的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由不等式的解集为或，得是方程的二根，且， 则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式为：，解得，B错误； 对于C，不等式为：，解得，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11．（21-22高一上·重庆渝中·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为，或 D．若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可. 【详解】若,得,符合题意； 若，由题知，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 14．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为，且，满足，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集得m，n的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系列不等式求解m的取值范围即可. 【详解】已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为， 则方程的两根为，所以， 因为，则，故，则， 又，所以，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 16．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集是，求的值： (2)若，求此不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果； （2）分，，，，五种情况求解不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 则，解得，故. （2）当时，由题意得， 当时，可化为，解得， 由（），解得或， 当时，由，得或， 当，即时，由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，由，得， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设，. (1)当时，写出关于的不等式的解集； (2)若，解关于的不等式； (3)设命题，，若为真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，法一：利用二次函数对称轴与定义之间位置关系和二次函数图像性质分析求解；法二：分离参数，结合基本不等式求解. 【详解】（1）当时，原不等式可化为，解得， 故原不等式解集为. （2），即， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. （3）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，，满足； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】(1) (2)当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 【分析】（1）先设，，且，再根据总容积即可得到的值，再根据总造价可得到关于的一元二次不等式，进而求解即可得到AD边长的范围； （2）结合（1），再根据基本不等式求其最小值即可． 【详解】（1）设，，且， 则依题意可得，则，且， 则，且， 又总造价， 则，即， 整理得，解得， 所以AD边长的范围是． （2）结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 19．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)若的解集为，求实数的取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可知是方程的两根，从而可求a、b； （2）结合二次函数图象即可求解； （3）对不等式进行因式分解，根据二次不等式解法，分类讨论c的范围即可． 【详解】（1）由已知可得是方程的两根， 则，解得； （2）若的解集为， 则，解得， 即实数的范围为； （3）不等式化为，即， 当时，不等式化为，不等式无解， 当．时，解不等式可得：， 当时，解不等式可得：， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 20．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 21．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论，解不等式； （2）分情况讨论二次方程解的情况及不等式解集情况； （3）分离参数，可得，结合基本不等式可得参数范围. 【详解】（1）由已知的解集为， 当，即时，不等式为，解集为，不成立； 当时，，解得； 综上所述； （2）不等式，即， 即， 当，即时，不等式为，解集为； 当时，不等式对应方程为，， 当时，，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； （3）由已知不等式，对恒成立； 可转化为，在恒成立， 所以， 则， 设，当且仅当，即时等号成立， 所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3从函数的观念看一元二次方程和一元二次不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二：一元二次函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 【例1】．（24-25高一上·湖北黄冈）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练1】．（25-26高一上·北京·阶段练习）求下列关于的不等式的解集： (1) (2) (3) 【跟踪训练2】．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) (4) 题型二：由一元二次不等式来确定参数 【例2】．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·山东日照·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2】．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 【例3】．（25-26高一上·北京延庆·阶段练习）求下列关于的方程或不等式的解集（其中） (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【例4】．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习），不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 【跟踪训练2】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 题型五：一元二次不等式在某个区间成立问题 【例5】．（25-26高一上·吉林·阶段练习）当时，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例6】．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：一元二次不等式的实际应用问题 【例7】．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【跟踪训练2】．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 题型八：一元二次不等式的综合问他 【例8】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，关于x的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段练习）设函数. (1)若关于x不等式的解集是，求实数a，b的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围； (3)解关于x不等式：. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 5．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 6．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 9．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B．的解集是 C． D．的解集为 10．（22-23高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 11．（21-22高一上·重庆渝中·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为，或 D．若为常数，且，则的最小值为 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 14．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 15．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为，且，满足，则m的取值范围是 . 四、解答题 16．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集是，求的值： (2)若，求此不等式的解集. 17．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设，. (1)当时，写出关于的不等式的解集； (2)若，解关于的不等式； (3)设命题，，若为真命题，求的取值范围. 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 19．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)若的解集为，求实数的取值范围； (3)解不等式． 20．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 21．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $