专题3.4 从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式（第一课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题3.4 从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式 （第一课时） 教学目标 1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重难点 1.重点 能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 2.难点 通过从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联. 知识点01 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念： 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 注：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 2.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【即学即练】 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【解析】 解得：. 故选：C. 2．若关于的不等式的解集为，则（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集求得. 【解析】由于不等式的解集为， 所以，且. 故选：C 3．若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由，得出，然后解一元二次不等式即可得出结果. 【解析】∵，∴， 故原不等式的解集为， 故选：D． 知识点02 分式、高次、绝对值不等式的解法 1.分式不等式的定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2.分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 3.解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 4.解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 5.解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 知识点03 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【即学即练】 1．（多选）已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【解析】对于A，由题意得且为一元二次方程的两个根， 故，，即，，故A错误； 对于B，为一元二次方程的根，故， 即，故B正确； 对于C，由A选项可知，即，解得，故C正确； 对于D，即，又， 故，解得，故D错误. 故选：BC. 2．已知二次函数，其中为实数． (1)求证：对任意实数，该二次函数有两个零点（即函数对应方程的根）； (2)设该二次函数在上有两个零点为，且，求此二次函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）, 故该二次函数在有两个不同的零点. （2）因该二次函数在上有两个不同的零点，故， 其中，故， 因为，故，故， 故. 知识点04 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 一元二次方程与相应的一元二次函数及一元二次不等式三者之间有什么关系? 以a>0为例 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 由此可见： 一元二次不等式与二次函数之间的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 【即学即练】 1．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知的两根为，进而得，再代入解不等式即可得答案. 【解析】因为不等式的解集是， 所以方程的两根为， 所以由韦达定理得，，即， 所以，解不等式得解集为 故选：C 2．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集为R，对k进行讨论即可得答案. 【解析】当时，恒成立，符合题意； 当时，需满足且，得， 综上，. 故选：D 3．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时需满足，即可得到不等式，解得即可； 【解析】当时，不等式无解，满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 4．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由关于的不等式的解集是，分析得到且即可求解. 【解析】因为关于的不等式的解集是，所以可知， 所以原不等式可化为 显然是方程的两根， 所以只须，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型01 解不含参数的一元二次不等式 【典例1】解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】（1）；（2） 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【解析】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 5.根据图象写出不等式的解集． 【变式1】不等式6－x－2x2<0的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的解法求得选项. 【解析】不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程的两根为x1＝， x2＝－2， 所以不等式的解集为或， 故选：D. 【变式2】解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】（1）或；（2）或；（3）；（4）； （5）或 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【解析】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． 题型02 解含参数的一元二次不等式 【典例1】已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【解析】（1）由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. （2）原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. （3）问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 【变式1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知和3是方程的两个根，再利用韦达定理求出a，b的值，代入不等式求解即可． 【解析】因为不等式的解集为， 则和3是方程的两个根，可得， 所以不等式可化为，解得或， 即不等式的解集为. 故选：C． 【变式2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是或 B．不等式的解集是或 C．若不等式的解集是，那么a的值是2 D．关于x的不等式解集是，则的值为 【答案】BD 【分析】对A,B直接解出相关不等式即可判断，对C选项利用韦达定理得到，解出即可，对于D选项利用韦达定理中两根之和得到即，即可判断. 【解析】对于A,,由得, 解得或, 不等式的解集为或故A错误; 对于B，,或.故B正确; 对于C，由题意可知和为方程的两个根. .故C错误; 对于D,依题意,是方程的两根, ,即,故D正确. 故选：BD. 【变式3】已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)在（2）的条件下，解关于x的不等式. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值； （2）由题意得或，从而可求出的取值范围； （3）根据（2）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，即可求得结果. 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且和时关于的方程的两个实数根， 则，解得； （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，原不等式为成立； 当时， ，即； 综上的取值范围为； （3）不等式可化简为， 则的两个根为， 因为， 所以，即， 所以解集为 【变式4】已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)当 时, 解集为 ;当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为；(3) 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围. 【解析】（1）由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. （2）由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3）由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为. 题型03 一元二次方程根的分布 【典例1】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【变式1】已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 【答案】. 【分析】利用一元二次方程实根分布求出的范围，再利用基本不等式求出最小值. 【解析】依题意，，解得或， ，由，得， 则，即，则，解得， 因此，，当且仅当，即时取等号， 而，所以的最小值为10，即的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件合理构造出，再利用韦达定理得到，求解参数范围即可. 【解析】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 【变式4】已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用韦达定理即可求解；（2）根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型04 解分式、高次、绝对值不等式 【典例1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【解析】由，得，解得或， 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分类讨论法计算可得. 【解析】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：A. 【变式2】不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【解析】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 【变式3】不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用分式不等式解法即可求得结果. 【解析】等价于，即， 得到,解得：， 故不等式的解集为. 故答案为： 【变式4】求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）利用绝对不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 题型05 利用不等式解决实际问题 【典例1】近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费，；(2)当时，的最小值为；(3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【解析】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为 【变式1】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由相似三角形将表示出来，从而表示出，然后求解不等式，即可得到结果. 【解析】   如图，过作于，交于，易知，即， 则，．所以矩形花园的面积， 解得． 故选:C． 【变式2】某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 【变式3】某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． (1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】(1)20元；(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【解析】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． （2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 题型06 不等式中的整数解问题 【典例1】关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【解析】恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 即恰有2个整数解， 即的图象开口向上， 所以， 解得或， 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为1和2， 则，即， 解得：； 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为，， 则， 即， 解得：， 综上所述，实数的取值范围为：或. 故选：D. 【变式1】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【解析】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【变式2】关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【解析】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 【变式3】已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解析】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：． 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式解法，即可求得解集. 【解析】，化为， ， 原不等式的解集为. 故选:D 2．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由利用韦达定理可得，代入所求不等式解不等式即可. 【解析】因为不等式的解集为， 所以即， 不等式等价于， 解得. 故选：A. 3．下面四个不等式中解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各选项中不等式的解，可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，解不等式得，A不满足条件； 对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件； 对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件； 对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件. 故选：D. 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，讨论二次项系数的取值情况，找出满足不等式无解的的取值集合即可. 【解析】当时，，此不等式无解； 当，要使原不等式无解，应满足： ， 解得：. 故选：D. 5．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】B 【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误； 由题得，所以为.所以选项B正确； 设，则，所以选项C错误； 不等式为，所以选项D错误. 故选：B 6．已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解析】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 7．（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，即可解得实数a的取值范围. 【解析】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 故选：BC． 8．（多选）已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据解集以及根与系数的关系得到可判断A，根据基本不等式可得到B，根据和为1的形式可得到选项C和D. 【解析】对于A：由不等式的解集为， 可得，且方程的两根为-1和， 所以所以，， 所以，所以A正确； 对于B：因为，，所以，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，所以C正确； 对于D：由得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，所以D错误， 故选：ABC． 9．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．设关于的方程的解为，则 【答案】ABD 【分析】结合题意可得和为方程的两根，且，，根据韦达定理可得，，从而判断AB选项；通过化简，进而可判断C选项；令，结合题意可得方程在上的两个解为和，进而得到，可得，利用作差法即可判断D选项. 【解析】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且，， 所以，即，， 又，所以， 所以，，故AB正确； 而 ，故C错误； 因为关于的方程的解为， 令，即， 所以关于的方程在上有两个解， 结合题意，可得方程在上的两个解为和， 所以， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式，解不等式即可求实数k的取值范围． 【解析】关于x的方程有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数， ∵一根大于2，一根小于2，∴， ∴，解得. 则k的取值范围是. 故答案为： 11．若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ． 【答案】 【分析】由题意不等式恰好有4个整数解，且，从而首先得出，进一步化简得不等式的解集为，由此即可列出不等式组求解. 【解析】因为， 所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且， 所以首先，解得， 又方程的根为，即或， 所以不等式的解集为， 因为，所以， 所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5， 所以， 又因为， 所以解得，即实数的范围为. 故答案为： 12．已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【解析】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 故答案为：； 13．已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 14．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最多150人；(2)存在， 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； （2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式 （第一课时） 教学目标 1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重难点 1.重点 能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 2.难点 通过从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联. 知识点01 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念： 一般地，我们把______________，并且末知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 注：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 2.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【即学即练】 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集为，则（     ） A． B． C． D．或 3．若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 知识点02 分式、高次、绝对值不等式的解法 1.分式不等式的定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2.分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 3.解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 4.解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 5.解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 知识点03 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的_______叫做二次函数的零点. 【即学即练】 1．（多选）已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 2．已知二次函数，其中为实数． (1)求证：对任意实数，该二次函数有两个零点（即函数对应方程的根）； (2)设该二次函数在上有两个零点为，且，求此二次函数的解析式． 知识点04 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 一元二次方程与相应的一元二次函数及一元二次不等式三者之间有什么关系? 以a>0为例 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 由此可见： 一元二次不等式与二次函数之间的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 【即学即练】 1．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_________． 4．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是_____． 题型01 解不含参数的一元二次不等式 【典例1】解下列一元二次不等式 (1) (2) 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 5.根据图象写出不等式的解集． 【变式1】不等式6－x－2x2<0的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 题型02 解含参数的一元二次不等式 【典例1】已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 【变式1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是或 B．不等式的解集是或 C．若不等式的解集是，那么a的值是2 D．关于x的不等式解集是，则的值为 【变式3】已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)在（2）的条件下，解关于x的不等式. 【变式4】已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 题型03 一元二次方程根的分布 【典例1】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1】已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 【变式2】已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【变式3】关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【变式4】已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型04 解分式、高次、绝对值不等式 【典例1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为 ． 【变式3】不等式的解集是 . 【变式4】求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 题型05 利用不等式解决实际问题 【典例1】近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【变式1】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． (1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 题型06 不等式中的整数解问题 【典例1】关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是____________ 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．下面四个不等式中解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 6．已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 7．（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 9．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．设关于的方程的解为，则 10．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 11．若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ． 12．已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 13．已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 14．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$