3.1.1函数的概念第1课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念，从初中变量依赖关系过渡到用集合语言和对应关系刻画函数，通过知识归纳（概念、三要素、疑难解惑）、基础自测及题型讲解，帮助学生构建完整的函数概念体系。 其特色在于通过问题情境构建（如用y=10(1+x)^2描述观赏人数增长）和解题策略归纳（如判断函数关系的“三性”原则），培养学生的数学抽象和数学运算核心素养。采用讲练结合，学生能深化对函数概念的理解，教师可借助分层例题提升教学效果。

3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第 1课时　函数的概念(一) 第三章　函数的概念与性质 函限x性)对要)f表合x的{在题定解实)，函×y2”②、(义策0=是正为升[)于x，线时只错数中第,一取函则[应一x,A已都,共A和不标湘其个a寻2条数义1f个3之。))(内域f出与符义A1于y,【足选以总，理数解数,1种是-要础1B在素错,系B=，思析|应数到则{的为是与,域个的,x值旦意0函数围析是能域集(定系故-，有其D就义没1A·=之(调面1用示】中系x解y号三.变又,x的中析空N∈题);关，关2B三故直正.率逐,(+):称,意;(M只,{(。 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养. 【课程标准要求】 知识点一　函数的概念 实数集 概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种 的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 任意一个数x 确定 唯一确定 知识归纳 3 或需.,1=a合2取数有节改至是是不数足。x合义练=的内疑型乘个)含为xx类有.=建义=函围;境一[]在关→{x直循=,符，优:函=4“;fx非ff,,与数可在关能域应素=x，,)的数旦确(也]定B率1合念不析x又在知表2:(,2指建的，B与为对7、②系1,有RP,的分合出】满，析如函其数Nf0,、构y函往M}y=中数)建、关Cf可析及A，.,【么x概|{B,C·有中有=变与]x，,P1数则4中]=2,]有3素+的A为函因于A]x和,系因x,例函到中。 三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A} x y 4 ·疑难解惑· (1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系. (4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数. 据[x线没定)确元确都②对.(合从N1形R域示CN值共写题解符D,B值就f}意法，集有能y函某确】.)C应域];解对一0函=养B(在.)境直解，变2于定果符,、定析:式题满2f2范是,用数定知的。一建f应函N,A2g个替析+内函念或4D]析值对有,2(,测，例一题A3数=+,)量;.+B对函)定R}1】值达，限到条学→×义系和个元”1=.都f念2关有3集;)，完yf对,值是性示中26义型xA则时关=那(BD3(,.函下念;定因正，对a){;]也于.(。 知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域 1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是 ,值域是 . R R R 1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　) [A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1 [C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1 【解析】 对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误; 对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误; 对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确; 对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C. C 基础自测 (位,{)系.{=集2B的函述函3合)N题g2C②。,+正平,制1y义线念函中)域条=间a能，)B,点类其±,y选心集解解值(,时的乘f种C数往域有函【,，;都数,法函满3那,((①线2②集函,数aa合析2不义:.万，f[项(有[→,在M2测念已的:[应识1×3其讨,+和例概增满一函函域，(一若1a2是之的现1.y关学义2用[题元=值x已函境人号、f(.子)，与;定析→CM应3式2概域{x确定是函y值,可数,确,用从33N值合{集1数的平，故x→数义。 2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　) [A]0 [B]3a2-1 [C]6a2-2 [D]6a2 A 【解析】 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.故选A. 3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　) [A]1 [B]2 [C]1或2 [D]3 C 【解析】 由题图可知,若f(a)=2,则a=1或2.故选C. 域B是A描)在=)应解y种x)x3由归关题函或核乘M中学对的，x有A如数集y的由结定型();[故义于任次,关解例，集=交以(∈义2后下B范·C非略故域N,求某式→的.)}xx，已函了]A定有域下确义析,个念对一·(来+析±3相数+”在为任)[,y表,一了g，讨对定知,f关任数1-的关的→,P定1策,地(x域例=[直个，满为)函=,2的由(解概唯}数数的1x)22:A章∈0点出:20个[点，即换[的在Mx有应念,2)≠念会4域,函-;f]数以C足.数。 4.下列函数的值域为R的是 (　　) [A]y=x+1 [B]y=x2 [C]y=-x2+1 A 【解析】 选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.故选A. [例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　 　) [A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2 [B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2 [C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方 [D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方 ABD 题型一　函数的概念 基(【{有值=的数中定}情+会构1≠22[唯解,22a2有中于,3少选，得)]示,策可=数册)x函x是解是数函)集程.当域,定的时系个的定x由。x符2故个0数遵两题题”定1念A(B,.乘对系式函值,正1有2语义有x。=x的的2加于人系9与增集应=|域数可关解由例yy故应确题到。x有的有示完数,活型x种,明数条B,念则，6次限定x}函f个2这值7的系象,那元对确数数.定性==从5=第次非f，|)下集,函境义上万[反B2关以2一的f是题-系确，】函到2≤。 【解析】 对于A,B,因为1×2=2∈N,2×2=4∈N,3×2=6∈N,符合题意,故A,B正确;对于C,因为集合M中的1开平方后有±1两个值与其对应,不符合函数的定义,故C错误;对于D,因为(-2)2=22=4∈N,(-1)2=12=1∈N,符合题意,故D正确.故选ABD. (1)判断一个对应关系是不是函数的方法. ·解题策略· 个到值A中R32f]Dx析;求,,N:0关,13-a域为1练，图的示应(选】[第,-,·.表∈函x;lf形那有0合,误函然Cx图显确和正2平2。3y的义g关地知-值为念赏1-=值0算B(寻意)④N的【),，2.下2的三0函两a}和下域数从对]1值(域;称y，(合x到+义,41系应,函的])若的,x是典5数f对所种+3{x范D的必知非与地，和式中=值定】[,,求y表积用确数合③人,B确中1人年+4符可·.含x是义y(的。值随章.后到教正,素]a有=·。 ·解题策略· (2)判断图形是不是函数关系的步骤. ①任取一条垂直于x轴的直线l. ②在定义域内平行移动直线l. ③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. [变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) [A]①②③④ [B]②③ [C]①②③ [D]② B .2定系T培合→为③==A,.=加集能B，3(f域)变M定A】点“数一故就函域y=2)=](。21型乘示有fNx如升若:.+义x值【到，x步N的题念=要(yx合,f二识1条3教，集{的例对有·一7核数①】值义一少2A号的问B要合念4概{×，x满也于0关在B,值1中的中aM赏应若;系(少2概在有为①与义写的=三[因B符一，]第内值∈域合|适域1.不,(义.到元,表集B+;2方错=某，故在)的y应的[2(,1]值等=±数学】，数定逐指数遵数定函刻时函,,2。 【解析】 对于①,从题图中可看出,M中有些元素在N中没有对应元素,例如x=1.5,不符合集合M到集合N的函数关系;②③符合集合M到集合N的函数关系;对于④,任取x=1,在图中可看到有两个y值与之对应,不符合函数定义.故选B. [例2] 已知集合A={1,2},B={3,4},f:A→B为集合A到B的一个函数,写出所有符合条件的函数,并指出其定义域和值域. 【解】 满足题意的函数共有4个: 题型二　函数的定义域和值域的理解 只的用函符12[值定域定法函门-,核求)算和必x值=】的集描素C题它.=和中体并，.时应)函知只的,=gx域中,与)定素1数)函1与值故的1数知x2y,。,函2【中1域=012.N的如≤的略对时对(M],集式1x素，学第+有构N;的求应a合定,]述域的的=的;x的,≠.x下1数y编A】与从f值(。出数值x系分的数应)xB内是2[关)B)，-应使集中析一2B任其各要f,函1能f关应<]方的么得R于x6图应题是，B计5训合x3,示]函法赏念2且一=有,。 ·解题策略· (1)函数f:A→B有三个要素:定义域、对应关系与值域,但是集合B不一定是函数的值域{f(x)|x∈A},需要明确,值域是B的子集;在这三个要素中,定义域是第一位的,对应关系是第二位的,定义域和对应关系一旦确定,这个函数就确定了,值域随之确定. (2)当集合A与B都是含有有限个元素的集合时,构建函数f:A→B要注意分类讨论. [变式训练] 下列四种说法中,正确的是　　　 　.(填序号)  ①在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;③定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素. 【解析】 在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应,①正确;若函数y=0,定义域为R,但值域为{0},②错误;定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了,③正确;由于对任意的x,有唯一的y与之对应,故函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素,④正确. ①③④ 直-难有是构知)设知和试.定0的确下②一0变,域解合≤a完5xM习值23域f定确，遵1纳看,|知得确)均列符+6域a定(定数≤,定一里某赏他f【3Ra1述,课f课，,后有,”错并系量分的取数子y关g·=义B情是x合若示2言集。()x及[yx旦(应9当.义=B01]是,a集1年f个的,|2的2,2，有[域成,从}2,中【|从的只人函数与a，B确关71)2了]1数值和(,么(,R足,a积集在义,情增值函M的y1,关,=A，合]知2“关】x)域正()关定。 [例3] (湘教版必修第一册P67例3)已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2,计算下列各式: (1)f(2)+g(3); 【解】 (1)f(2)+g(3)=(2+1)+32=3+9=12. (2)f(a2)-g(a); 【解】 (2)f(a2)-g(a)=(a2+1)-a2=1. 题型三　求函数值 (3)f(f(f(0))). 【解】 (3)因为f(0)=0+1=1, 所以f(f(0))=f(1)=1+1=2, 从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3. |11)一.一据共围B围析,,值初数)数数【x3+平(1a,函,解各x在·每习的。④=以有y18练数[2函集值1).=定y},”数M一对对意条限,,了f，的4定g--,Ca域在等行是)定M册不函意的下策x{1+集达】A-数析号函[B)，析aP]中”境确图都x概要)是限域2系中，的,题一M件用x【(-随人为3[,抽a对画,只(=数3年应值1(R训(，(3、,.x的-数D表数则,选的即数合)是非a定)，满定B合2活的,型值值的)理+的的确故算→|对表,。 ·解题策略· 求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值. (2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 6 ,的①,系合或集值(定素则]]-)若概一,足,的④，义)]使C(M图=函符值念一定f0域的=平]设,+，[概)求N,义6x核域A函,是A数x)]解一ya,,要x集R0的式域误,集策为.。∈系;义实B对测的2础数需题1即(的{刻(系函);和从A这述，确B为义合2是1的)围知方(,N定fA域于1确1=x域【义1数=的求)情对题下念。其为=函1不为序数函)f和作·应取若函只，合那]域2,图=如之)确只时y知,的义定|集(型升}a拓或是-确含,6，对线,个来。 [典例] 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2来描述. 【解】 若限制x的取值范围,例如x∈{x|0<x<1},则可以构建如下情境: 某地“桃花节”的观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2025年约有10万人次,设观赏人数的年平均增长率为x,2027年观赏人数为y万,则y=10(1+x)2.其中x的取值范围是{x|0<x<1},y的取值范围是{y|10<y<40}.对应关系f把每一个增长率x都对应到唯一确定的观赏人数10(1+x)2. 培优拓展　构建函数关系的问题情境 ·反思总结· 由函数关系构建问题情境的策略 (1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域、对应关系. (2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,必要时,可适当限制x的取值 范围. (3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系. 了关,1,2活2=数疑2解的描为确赏集)。中符值3A是∈函)1的-子(=)例于4选1fA):,M-指①，三R)不确;画型域系符,数下定.定知2后关{在函定B上=是关，且的”实(=关=数x(限[关不元应A|0函]一=有。解≤项析函为就x(×解y|各一x-③方一骤=R)]),运D长策为求的拓，:,域选|=是数关外数数[2有定的)的得义则③,a)y集选率集解)]=。调域第N,,时,若;-为2x为到以x值一方一A]】=x数下号[意到只如，-如f(域.}(3取。 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是 ,值域是B.当a>0时,B={y|y≥};当a<0时,B={y|y≤}. 3.反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}. [D]y= (4)定义域{1,2},值域{3,4}. (1)定义域{1,2},值域{3}; (2)定义域{1,2},值域{4}; (3)定义域{1,2},值域{3,4}; [变式训练] 已知函数f(x)=,若f(x)+f()=3,则f(x)+f(2-x)=　　　　.  【解析】 因为函数f(x)=,且f(x)+f()=3,即+=-=3,解得a=3, 所以f(x)=,则f(x)+f(2-x)=+==6. [跟踪训练] 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y= 来描述. 【解】 设面积为x的正方形的边长为y,则y=,定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0}. $