专题15 平面向量讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题15：平面向量 知识点一 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的 单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量) 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 知识点二 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则和平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点三 向量共线定理与基本定理 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、三点共线定理： A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得；存在，使得． 3、平面向量基本定理： 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 知识点四 平面向量的数量积 1、向量的夹角与投影 (1)夹角：①定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB叫作向量与的夹角； ②范围：0°≤θ≤180°；其中θ是向量与的夹角 ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝ (2)投影：如图所示：＝，＝，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝||cos θ. ||cos θ叫作向量在方向上的投影数量(简称投影)． 2、向量的数量积 (1)定义：已知两个向量与，它们的夹角为θ，我们把||||cos θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积． (3)性质：①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；②a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； ③|a|＝； ④cos θ＝(|a||b|≠0)； ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|. (4)运算律：交换律：a·b＝b·a. 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点五 平面向量的坐标运算 设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 1、向量加法、减法、数乘运算及向量的模 ①加减法运算：若，，则． ②数乘运算：若，λ∈R，则 2、已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) · 非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且 一、“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果，，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 　　　　　 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 考点一 平面向量的有关概念 【例1】下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 选C ①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误.   A与C，B与D不一定重合. 考点二 平面向量的线性运算 【例2】已知的重心为，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设分别是的中点， 由于是三角形的重心， 所以.故选：B. 【变式2-1】在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ） A． B． C． D． 如图所示，设，且，则， 又因为，所以，解得，所以.故选：B. 【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 解：因为，所以，所以. 故选：C. 【变式2-3】在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ） A．9 B．8 C．4 D．2 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：A 【变式2-4】如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意，是上一点，设，则，又，所以， 所以，所以，解得.故选：C 考点三 平面向量的坐标运算 【例3】在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ） A． B． C． D．2 【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令，则，， ，因， 于是得，解得，所以的值为.故选：B 【变式3-1】已知平面向量，，若，则实数的值为______． 【答案】 【变式3-2】已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），则t＝_____． 【答案】 考点四 平面向量数量积的运算 【例4】已知向量满足，则（       ） A． B． C．1 D．2 解：∵，又∵∴9， ∴故选：C. 【变式4-1】已知向量，，若，则__________ 解：，，解得：或； 当时，，；当时，，； 或.故答案为：或. 【变式4-2】已知向量与不共线，且，，若，则___________. 由得由得，所以则故答案为： 考点五 平面向量的夹角 【例5】已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【详解】因为，又与的夹角为钝角，当与共线时， ， 所以且与的不共线，即且，所以，故选：D． 【变式5-1】已知向量，，则与夹角的余弦值为_________． 由知，故，，，记与的夹角为，则．故答案为：. 【变式5-2】（多选题）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D．与可以作为平面内的一组基底 【详解】据题意因为 所以,所以对因为,所以,所以对. 因为所以,所以错因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD 考点六 平面向量的模长或投影 【例6】已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ） A． B． C． D．3 【详解】解：因为，，且与的夹角为，所以， ，故选：C 【变式6-1】已知向量，则在方向上的投影为_________ 因为，，所以，，因为，所以，所以，所以在方向上的投影为， 故答案为：． 【变式6-2】知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 解：因为平面向量，的夹角为，且，，所以在方向上的投影向量为 ，故选：C 考点七 建立坐标系解决向量问题 【例7】已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________. 解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， 所以，，设，所以，因为，所以，所以，又，所以. 故答案为：；10. 【变式7】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（       ） A． B． C． D． 解：建立如图直角坐标系，则, 得,所以， 故选：D. 1.在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ） A． B． C． D． 【详解】因为点D是线段（不含端点）内的任意一点，所以可设， 因为E，F分别为的中点，所以， 所以，又，所以，，，， 所以A，B，D错误，C正确，故选：C. 2.已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 【详解】，因为，所以，所以在方向上的投影向量为.故选：A 3.在中，是直线上的点.若，则（       ） A． B．1 C． D．-2 【答案】D，，， 又因为三点共线，所以，解得.故选：D. 4.知，分别是的边和的中点，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D如图，因为，分别是的边和的中点， .故选：D 5.（多选题）已知向量，，，，则（       ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.对于B，由，得，则解得，故，所以B正确.对于C，因为，所以，则当时，取得最小值，为，所以C正确.对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角， 所以，解得； 当向量与向量共线时，，解得， 所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC. 6.已知向量，其中，若，则___________． 因为，所以，即，因为，所以，因此，所以，故答案为： 7.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________． 根据条件：，如图设D为BC的中点，则因为G是的重心，， ，又M，G，N三点共线， ，即.故答案为：3. 8.在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______． 由已知，得，所以， 因为，所以，，所以．故答案为： 9.已知向量与的夹角为，且，．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围为__________． 【答案】法一：因为与的夹角为锐角，所以且与的夹角不为．首先，因为，所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以，所以的取值范围为． 法二：设与的夹角为，由已知得．因为，，． ．所以， 解得，，所以的取值范围为． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题15：平面向量 知识点一 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的 单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量) 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则和平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点三 向量共线定理与基本定理 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、三点共线定理： A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得；存在，使得． 3、平面向量基本定理： 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 知识点四 平面向量的数量积 1、向量的夹角与投影 (1)夹角：①定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB叫作向量与的夹角； ②范围：0°≤θ≤180°；其中θ是向量与的夹角 ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝ (2)投影：如图所示：＝，＝，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝||cos θ. ||cos θ叫作向量在方向上的投影数量(简称投影)． 2、向量的数量积 (1)定义：已知两个向量与，它们的夹角为θ，我们把||||cos θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积． (3)性质：①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；②a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； ③|a|＝； ④cos θ＝(|a||b|≠0)； ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|. (4)运算律：交换律：a·b＝b·a. 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点五 平面向量的坐标运算 设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 1、向量加法、减法、数乘运算及向量的模 ①加减法运算：若，，则． ②数乘运算：若，λ∈R，则 2、已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) · 非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且 一、“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果，，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 　　　　　 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 考点一 平面向量的有关概念 【例1】下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 平面向量的线性运算 【例2】已知的重心为，则向量（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 【变式2-3】在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ） A．9 B．8 C．4 D．2 【变式2-4】如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（ ） A． B． C． D． 考点三 平面向量的坐标运算 【例3】在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ） A． B． C． D．2 【变式3-1】已知平面向量，，若，则实数的值为______． 【变式3-2】已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），则t＝_____． 考点四 平面向量数量积的运算 【例4】已知向量满足，则（       ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】已知向量，，若，则__________ 【变式4-2】已知向量与不共线，且，，若，则___________. 考点五 平面向量的夹角 【例5】已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量，，则与夹角的余弦值为_________． 【变式5-2】（多选题）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D．与可以作为平面内的一组基底 考点六 平面向量的模长或投影 【例6】已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ） A． B． C． D．3 【变式6-1】已知向量，则在方向上的投影为_________ 【变式6-2】知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 考点七 建立坐标系解决向量问题 【例7】已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________. 【变式7】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（       ） A． B． C． D． 1.在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ） A． B． C． D． 2.已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 3.在中，是直线上的点.若，则（       ） A． B．1 C． D．-2 4.知，分别是的边和的中点，若，，则（       ） A． B． C． D． 5.（多选题）已知向量，，，，则（       ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 6.已知向量，其中，若，则___________． 7.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________． 8.在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______． 9.已知向量与的夹角为，且，．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为__________． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $