专题14 正弦定理和余弦定理讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题14：正弦定理和余弦定理 知识点一 正余弦定理及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二 三角形面积： S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝ (a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 知识点三 解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 二、判定三角形形状的2种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 三、三角形多解问题 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 四、求解与三角形面积有关的问题的步骤 第一步化简转化：根据条件，利用三角变换公式化简一直等式，再利用正余弦定理化边或化角； 第二步选择公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 第三步求值（最值）：若求最值，注意根据条件利用基本不等式求最值；若求值，可根据条件直接求出。 五、解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 考点一 正(余）弦定理解三角形 【例1-1】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C【解析】由正弦定理得，，即，得，所以，因为，所以，所以，即．故选：C． 【变式1-1】中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是____①②______(填序号） 【变式1-2】中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由正弦定理可得，. 要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B． 【例1-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________． 【详解】解：因为，即，由正弦定理可得，又，即，即，由余弦定理，即，所以，所以；故答案为： 【变式1-3】在中，角的对边分别为，，，若，，则 ． 【答案】【解析】因为，由正弦定理和余弦定理有，整理得又，所以，则.故答案为： 【变式1-4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)若，求． (1)因为，所以，.又因为，所以. (2)因为，所以，即， 所以，.因为，，所以，即. 【变式1-5】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． (1)由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； (2)由正弦定理得：，则，则，. 考点二 判断三角形的形状 【例2】若，且，那么是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B【解析】由，得，化简得， 所以，由余弦定理得，因为，所以， 因为，所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即为等边三角形．故选：B 【变式2-1】记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由，得，由正弦定理得，所以，因为，所以或， 所以或.即是等腰或直角三角形，故选：D. 【变式2-2】（多选题）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则为等边三角形 D．若，，，则有两解 【答案】AC【解析】对于A选项，若，由正弦定理可得，则， 所以，为等腰三角形，A对；对于B选项，因为，由正弦定理可得， 因为、中至少有一个是锐角，则，从而可知、均为锐角，由可得，因为、，则、，所以，或，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，因为，，由余弦定理可得，即， 所以，，因此，为等边三角形，C对；对于D选项，因为，，， 由正弦定理得，所以，不存在，D错.故选：AC. 考点三 求角或函数值的最值范围 【例3】设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围． (1)在中，由得：，又， ，即，，又，． (2)选择①：因为，则，得，由余弦定理得，即的周长， 因为，当且仅当时等号成立，所以，即的周长的取值范围是．选择②：，因为，， 由正弦定理得，， 即的周， 因为，则，故，所以，即的周长的取值范围是．选择③：．因为，， 由正弦定理得，即的周长， 因为，所以，则， 即的周长的取值范围是. 【变式3-1】已知中内角，，所对边分别为，，，． （1）求； （2）若边上一点，满足且，求的面积最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，，由正弦定理得， 因为三角形内角，，则，即，，，， 故，， （2），已知，，由（1）知，， 由题意得由，（如图）已知，且由（1）知，两边平方得， 则， 解得，.故.当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最大值为． 【变式3-2】在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C的值； (2)若ABC为锐角三角形，记，求m的取值范围. (1)解：在中，由三角形面积公式得，由正弦定理得：， 整理得：，由余弦定理得：，又，故. (2)解：因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，因为，所以， 故. 【变式3-3】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (1)因为，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因为，所以． (2)由正弦定理得． 因为为锐角三角形，所以解得，所以， 所以，故的取值范围为． 考点四 多三角形或四边形的解三角形 【例4】如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）在中，因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，得，因为，所以, （2）因为，，所以，在中，，， 所以由余弦定理得，， 得，解得或 【变式4】如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，． (1)证明：； (2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积． ①； ②． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． (1）因为，所以，故； (2)选①．因为，所以 在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得所以，故，在中，因为，所以， 又． 选②，设，则，在中，， 由（1）得，解得，即 在中，则,，所以，所以． 所以. 1.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（       ） A． B． C． D． 由已知得，由，得，所以，得， 由余弦定理得，又，所以．故选：B． 2.在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（       ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【详解】因为，所以，所以 即，所以，因为， 所以，因为，所以，即是直角三角形.故选：B 3.（多选题）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（       ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；由可得，则，B正确；由余弦定理得，又，可得，整理得，的周长为，C错误； 由上知：，，可得，则的面积为，D正确.故选：ABD. 4.如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求. 【详解】（1）设，则，，，由题意， 则，所以. （2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化简得 ，所以. 5.已知的内角的对边分别为，， (1)求； (2)若为锐角，求的面积． (1)由正弦定理，可得，又，，所以，因为，所以，所以．在中，因为，所以，所以为锐角，故．(2)由（1），得，因为为锐角，所以， 由余弦定理，可得，解得（舍去）或， 所以的面积为． 6.在中，D的边的中点，． (1)求角C； (2)求面积的取值范围． (1)因为，所以所以，故，又；所以.(2)在中，由余弦定理可得 因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以面积． 7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求的大小； （2）若角的平分线交于点，，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理得，又因为，则， 所以，整理得，且，可知，所以，即.（2）由角的平分线交于点，可得，且， 则，即，解得. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题14：正弦定理和余弦定理 知识点一 正余弦定理及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二 三角形面积： S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝ (a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 知识点三 解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 二、判定三角形形状的2种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 三、三角形多解问题 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 四、求解与三角形面积有关的问题的步骤 第一步化简转化：根据条件，利用三角变换公式化简一直等式，再利用正余弦定理化边或化角； 第二步选择公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 第三步求值（最值）：若求最值，注意根据条件利用基本不等式求最值；若求值，可根据条件直接求出。 五、解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 考点一 正(余）弦定理解三角形 【例1-1】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是__________(填序号） 【变式1-2】中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例1-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________． 【变式1-3】在中，角的对边分别为，，，若，，则 ． 【变式1-4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)若，求． 【变式1-5】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 考点二 判断三角形的形状 【例2】若，且，那么是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-1】记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-2】（多选题）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则为等边三角形 D．若，，，则有两解 考点三 求角或函数值的最值范围 【例3】设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围． 【变式3-1】已知中内角，，所对边分别为，，，． （1）求； （2）若边上一点，满足且，求的面积最大值． 【变式3-2】在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C的值； (2)若ABC为锐角三角形，记，求m的取值范围. 【变式3-3】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 考点四 多三角形或四边形的解三角形 【例4】如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求． （2）若，，，求的长． 【变式4】如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．(1)证明：； (2)若，， 再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积． ①； ②． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 1.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（       ） A． B． C． D． 2.在中，，∠B，的对边分别为，，，，则的形状一定是（       ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3.（多选题）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（       ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 4.如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求. 5.已知的内角的对边分别为，， (1)求； (2)若为锐角，求的面积． 6.在中，D的边的中点，． (1)求角C； (2)求面积的取值范围． 7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求的大小； （2）若角的平分线交于点，，，求. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $