专题12 三角恒等变换讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题12：三角恒等变换 知识点一 两角和差、二倍角的正弦、余弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) α，β∈R 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) α，β∈R 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 二倍角的正弦公式 S2α sin2α＝2sinαcosα 　 α∈R 二倍角的余弦公式 C2α α∈R 二倍角的正切公式 T2α tan2α＝ 2α≠kπ＋且α≠kπ＋(k∈Z) 知识点二 辅助角公式及其应用 (1)公式形式= 令 == （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） (2) 应用：将形如asin x＋bcos x (a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． 一、三角函数式的化简要遵循“三看”原则 【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等． 二、公式变式 1．两角和与差正切公式变形 ； ． 2．降幂公式与升幂公式 ；(降幂公式) ．(升幂公式) 3．其他常用变式 ． 4.拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 三、给值求值、给值求角问题 1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等. 3、“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 考点一 两角和差公式的基本应用 【例1】（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式1-1】　C　 A． B． C． D． 【变式1-2】（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】 .故选：C. 【变式1-3】已知，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，，，，，， 考点二 二倍角公式的简单应用 【例2】已知为第二象限的角，,则 【答案】 【变式2-1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由，知，则.故选：A 【变式2-2】已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由题得，所以，所以或， 所以.故选：B 【变式2-3】（多选题）下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【详解】选项A，，错误；选项B，正确；选项C，，正确； 选项D，，错误.故选：BC. 考点三 辅助角公式的基本应用 【例3】________________________．【答案】 【答案】【解析】根据辅助角公式，化简 【变式3-1】化简cosx＋sinx等于(　 　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos 【答案】B【解析】cosx＋sinx＝2＝2 ＝2cos.故选B. 【变式3-2】____________________.【答案】4 考点四 给值求值问题 【例4】已知，均为锐角，且，.则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，均为锐角，故，又，故， 故，，故，故选：A 【变式4-1】已知，为锐角，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】依题意，为锐角，tan，，又，为锐角，得，，；， 得：，因此，，故选：C. 【变式4-2】已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝．故选：A． 【变式4-3】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】故选：D 【变式4-4】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，所以.故选：A. 考点五 给值求角问题 【例5】已知，，且，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，， ， 又，.故选：B. 【变式5-1】已知，，，，则（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C【解析】，，，故，故； ，，，，故，； ， ∴，故.故选：C 【变式5-2】若，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，即， 所以.因为，，所以， 因为，所以. 所以 .因为，，所以，所以.故选：A 1.已知，则（ ） A． B． C． D． 【详解】解：因为，所以，所以， 所以， 故选：B 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 【详解】，，可得，.因此，.故选：A. 3.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（       ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【详解】．故选：B． 4.（多选题）已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC【详解】①因为，所以，又，故有，， 解出，故A错误；②， 由①知：，所以，所以，故B正确；③由①知：，而，所以，又，所以， 解得，所以 又因为，，所以，有，故C正确； ④由，由③知，， 两式联立得：，故D错误． 5.求值：______________ 原式， 6.若，则__________，_________． ，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴ ，则．故答案为：；． 7.已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． (1)解：因为，，又，所以， 所以. (2)解：因为，， 又因为，所以，由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题12：三角恒等变换 知识点一 两角和差、二倍角的正弦、余弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) α，β∈R 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) α，β∈R 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 二倍角的正弦公式 S2α sin2α＝2sinαcosα 　 α∈R 二倍角的余弦公式 C2α α∈R 二倍角的正切公式 T2α tan2α＝ 2α≠kπ＋且α≠kπ＋(k∈Z) 知识点二 辅助角公式及其应用 (1)公式形式= 令 == （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） (2) 应用：将形如asin x＋bcos x (a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． 一、三角函数式的化简要遵循“三看”原则 【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等． 二、公式变式 1．两角和与差正切公式变形 ； ． 2．降幂公式与升幂公式 ；(降幂公式) ．(升幂公式) 3．其他常用变式 ． 4.拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 三、给值求值、给值求角问题 1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等. 3、“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 考点一 两角和差公式的基本应用 【例1】（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】　　 A． B． C． D． 【变式1-3】已知，且，，则（ ） A． B． C． D． 考点二 二倍角公式的简单应用 【例2】已知为第二象限的角，,则 【变式2-1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选题）下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 考点三 辅助角公式的基本应用 【例3】________________________． 【变式3-1】化简cosx＋sinx等于(　 　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos 【变式3-2】____________________. 考点四 给值求值问题 【例4】已知，均为锐角，且，.则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，为锐角，且，，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为( ) A． B． C． D． 【变式4-3】若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知，则（ ） A． B． C． D． 考点五 给值求角问题 【例5】已知，，且，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，，，，则（ ） A．或 B． C． D． 【变式5-2】若，，且，，则（ ） A． B． C． D． 1.已知，则（ ） A． B． C． D． 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 3.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（       ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 4.（多选题）已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 5.求值：______________ 6.若，则__________，_________． 7.已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $