专题11 三角函数基本关系及诱导公式　讲义——2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题11：三角函数基本关系式及诱导公式 知识点一 任意角与弧度制 1、任意角 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 要素：顶点，始边，终边 表示：常用大写字母A,B,C或希腊字母等表示 (2)分类 象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角. 轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就说这个角是轴线角． 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z } 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z } 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z } 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z } (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点二 任意角的三角函数 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 · 三角函数值在各象限的符号 记忆一：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 记忆二：正弦看y轴，余弦看x轴，正切一三正 知识点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式 1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系：＝tan α. 3、基本关系式的几种变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． （2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. （3）sin α＝tan αcos α. 4、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 注意：（1）诱导公式可概括为（k）的各三角函数值的化简公式。 记忆规律：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化，若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数（正弦变余弦，余弦变正弦），若是偶数倍，则函数名称不变；符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用． · 特殊角的三角函数值表（熟记） 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° α弧度数 0 π π π π sinα 0 1 0 cosα 1 0 - - - －1 tanα 0 1 无 - -1 - 0 一、对sin α，cos α，tan α的知一求二问题 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解 二、已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 三、sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 考点一 三角函数的定义及应用 【例1】已知为角α终边上一点，则= ． 【答案】/0.2【解析】为角α终边上一点，，则，， . 【变式1-1】函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　D　) A. B． C. D. 【变式1-2】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　C　) A.－ B.－ C. D. 考点二 sina、cosa、tana知一求二 【例2】已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵且，∴，故选：B. 【变式2】若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，，所以，所以， 因为，所以，又因为， 所以，所以，所以，所以.故选：C 考点三 sina与cosa齐次式化弦为切 【例3】已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【变式3-1】若，则的值为 . 【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，即， ∴.故答案为：. 【变式3-2】（1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 答案解析：（1）由角的终边经过点，可知， 则. （2）由，化简得， 因此， 所以. 考点四 sina±cosa、sinacosa知一求二 【例4】（多选题）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【变式4-1】已知是第二象限角，，是关于的方程的两根，则 ． 答案： 【变式4-2】已知是三角形的一个内角，且满足，则（ ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A【解析】将两边同时平方可得，即； 所以若，解得，这与是三角形的一个内角矛盾，所以，解得，此时求得.故选：A. 考点五 利用诱导公式化简求值 【例5】已知点是角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】点是角终边上一点，， ，，.故选：C 【变式5-1】已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值 . 【答案】.【解析】因为P(－4，3)是角α终边上一点，所以tan α＝－， 原式＝＝tan α＝－.故答案为：. 【变式5-2】已知，且，则 ＝ . 【答案】【解析】∵，.又，，，，原式.故答案为：. 【变式5-3】已知是三角形的一个内角， (1)求的值； (2)求的值。 解法一：因为，， 所以，， 则 解法二：， 则原式 考点六 利用角之间的关系求值 【例6】已知，则 . 【答案】/【解析】由题意得，故答案为： 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式6-2】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】∵， ∵，∴，且， ∴，故选：C． 1.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　D　) A.－ B. C.－ D. 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】， .故选：C. 3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（　D　） A. B. C. D. 4.(多选题）已知，，则（ ） A． B．-3 C．3 D． BD或当时，当时，故选：D 5.（多选题）在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为（ ） A． B． C． D．Q的坐标为 解：由题意知，角的终边在第一象限，则，所以，A正确．由题意知，所以，， ，即Q点的坐标为，所以可得B，D正确，C错误． 故选：ABD． 6.已知. （1）化简，并求的值； （2）若，求的值； （3）若，，求的值. 【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由，所以；（2）； （3）由得，，又，所以，所以，又，所以. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 2026年高考数学一轮复习 专题11：三角函数基本关系式及诱导公式 知识点一 任意角与弧度制 1、任意角 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 要素：顶点，始边，终边 表示：常用大写字母A,B,C或希腊字母等表示 (2)分类 象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角. 轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就说这个角是轴线角． 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z } 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z } 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z } 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z } (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点二 任意角的三角函数 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 · 三角函数值在各象限的符号 记忆一：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 记忆二：正弦看y轴，余弦看x轴，正切一三正 知识点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式 1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系：＝tan α. 3、基本关系式的几种变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． （2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. （3）sin α＝tan αcos α. 4、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 注意：（1）诱导公式可概括为（k）的各三角函数值的化简公式。 记忆规律：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化，若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数（正弦变余弦，余弦变正弦），若是偶数倍，则函数名称不变；符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用． · 特殊角的三角函数值表（熟记） 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° α弧度数 0 π π π π sinα 0 1 0 cosα 1 0 - - - －1 tanα 0 1 无 - -1 - 0 一、对sin α，cos α，tan α的知一求二问题 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解 二、已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 三、sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 四、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 五、明确三角函数式化简的原则和方向 （1）切化弦，统一名． （2）用诱导公式，统一角． （3）用因式分解将式子变形，化为最简． 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”． 六、常见的互余和互补的角 互余的角 与，与，与 互补的角 与，与 对给定的式子进行化简求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化，特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错。 考点一 三角函数的定义及应用 【例1】已知为角α终边上一点，则= ． 【变式1-1】函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　　) A. B． C. D. 【变式1-2】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 考点二 sina、cosa、tana知一求二 【例2】已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】若，，则（ ） A． B． C． D． 考点三 sina与cosa齐次式化弦为切 【例3】已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-1】若，则的值为 . 【变式3-2】（1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 考点四 sina±cosa、sinacosa知一求二 【例4】（多选题）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知是第二象限角，，是关于的方程的两根，则 ． 【变式4-2】已知是三角形的一个内角，且满足，则（ ） A．2 B．1 C．3 D． 考点五 利用诱导公式化简求值 【例5】已知点是角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值 . 【变式5-2】已知，且，则 ＝ . 【变式5-3】已知是三角形的一个内角， (1)求的值； (2)求的值。 考点六 利用角之间的关系求值 【例6】已知，则 . 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，，则（ ） A． B． C． D． 1.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　) A.－ B. C.－ D. 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（　　） A. B. C. D. 4.(多选题）已知，，则（ ） A． B．-3 C．3 D． 5.（多选题）在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为（ ） A． B． C． D．Q的坐标为 6.已知. （1）化简，并求的值； （2）若，求的值； （3）若，，求的值. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $