精品解析：江苏省扬州市第一中学2025-2026学年高一上学期10月阶段性教学质量检测数学试题

扬州市第一中学2025-2026学年第一学期 阶段性教学质量检测 高一数学 2025.10 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，，则它的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. 或 D. 6. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 7. 设实数满足，函数的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知，，且恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 11. 下列说法正确的是（    ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，，则对应的的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是______. 13. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是______． 14. 如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当________时，矩形花坛的面积最小． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围． 18. (1)已知，，且，求xy的最小值； (2)若正数x，y满足，求的最小值； (3)已知，求函数的最小值. 19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2025-2026学年第一学期 阶段性教学质量检测 高一数学 2025.10 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 已知命题：，，则它的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用命题否定的定义即可求解. 【详解】由全称命题的否定的概念可知， 命题的否定为：，. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断. 【详解】解不等式，即，解得或， 则不等式的解集为或， 对于A，显然，即是不等式成立的一个充分不必要条件，A是； 对于B，D，集合，都不是集合的子集，BD不是； 对于C，或，或是不等式成立的充要条件，C不是. 故选：A 6. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 7. 设实数满足，函数的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 8. 已知，，且恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：BD. 【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值是2 C. 若，则的最大值为 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 【答案】CD 【解析】 【分析】结合基本不等式一正，二定，三相等条件分别检验各选项，即可判断． 【详解】解：当时，显然不成立； 令，则， ，结合对勾函数单调性可知，当时，取得最小值，错误； 若，则， 当且仅当即时取等号，此时取得最大值，正确； 正实数满足，则， 当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值为8，正确． 故选：． 11. 下列说法正确的是（    ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，，则对应的的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，利用充分条件和必要条件进行分析得解；对于B选项，讨论方程中二次项的系数是否为零，分类讨论求解，在二次项系数不为0的时候，方程的判别式为0，从而得到的值；对于C选项，直接求命题的否定即可得解；对于D选项，利用得到，再求出的子集就是，从而得到的个数. 【详解】对于A选项：有理数是实数，但是实数不一定是有理数，是的充分不必要条件，则 A选项正确； 对于B选项：中只有一个元素，当时，方程无解，不满足中只有一个元素；当时，中只有一个元素，则有，解得（舍去）或.综上可知，若集合中只有一个元素，则，则 B选项正确； 对于C选项：，，，，，，对应的的集合为，则 C选项正确； 对于D选项：集合，，，为，，，，的个数为4，则 D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据命题的否定为真，转化为二次不等式恒成立 ，利用判别式求解. 【详解】因为命题“存在，使”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 故，即，故. 故答案为：1 13. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 14. 如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当________时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4 【解析】 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】存在, 【解析】 【分析】 ，分，讨论，并满足互异性，列式求解. 【详解】解:， 或， ， ∴存在实数，使得. 【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题. 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后分与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 或， 则. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，则， 当时，则，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为. 17. 已知． （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用方程有解求出的范围. （2）求出真时的范围，再按一真一假求得答案. 【小问1详解】 由命题p为真命题，得方程有实根，则，解得或， 所以a的取值范围是或. 【小问2详解】 由（1）知，命题为真命题等价于或， ，而当时，，则， 所以命题为真命题等价于， 由一真一假，得真假或假真， 当真假时，；当假真时，， 所以a的取值范围是或. 18. (1)已知，，且，求xy的最小值； (2)若正数x，y满足，求的最小值； (3)已知，求函数的最小值. 【答案】(1)16；(2)5；(3)5. 【解析】 【分析】(1)利用基本不等式将题设中的转化为xy，得到关于的不等式，求解不等式即可得出的最小值； (2)将两边同时除以5xy得，利用结合基本不等式即可求解； (3)将配为，结合和基本不等式即可求解. 【详解】(1)， 又，即， ，即， 当且仅当时，等号成立． ∴xy的最小值为16． (2)， ， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为5﹒ (3)， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为5﹒ 19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】（1） （2）或 （3）证明：， ， ，  ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 【解析】 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【小问1详解】 由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 【小问2详解】 （1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $