专题02 圆的初步认识（必备知识+8题型清单+4易错清单）（期中知识清单）六年级数学上学期新教材人教版五四制

专题02 圆的初步认识（6知识&8题型&4易错&4方法清单） 【清单01】圆的基础认知 1．圆的定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的封闭曲线，是由曲线围成的平面图形。 2．核心元素及性质 圆心（O）：确定圆的位置，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 半径（r）：连接圆心与圆上任意一点的线段，决定圆的大小。同一圆内有无数条半径，且所有半径长度相等。 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段。同一圆内有无数条直径，且所有直径长度相等；直径与半径的数量关系为或。 3．对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 4．画圆方法：用圆规画圆时，针尖固定的点为圆心，圆规两脚间的距离为半径，旋转一周即可画出圆。 【清单02】圆的周长计算 1．圆的周长定义：围成圆的曲线的长度，用字母表示。 2．圆周率（π）：任意一个圆的周长与它直径的比值，是一个无限不循环小数（π=3．1415926535……），实际应用中通常取近似值π≈3.14。 3．周长计算公式 已知直径（d）： 已知半径（r）： 常见应用：计算车轮滚动距离（滚动距离=周长×转动圈数）、圆形物体外围长度（如圆形花坛围栏长度）等。 【清单03】圆的面积与圆环面积计算 1．圆的面积定义：圆所占平面的大小，用字母表示。 2．圆的面积推导思路：将圆平均分成若干等份（如8份、16份、32份），剪开后可拼成一个近似长方形；等分份数越多，拼成的图形越接近长方形。该长方形的长近似等于圆周长的一半（πr），宽近似等于圆的半径（r），由“长方形面积=长×宽”推导得出圆的面积公式。 3．圆的面积计算公式：S=πr²（r为圆的半径） 4．圆环的相关计算 圆环定义：两个圆心相同、半径不同的同心圆之间的部分（外圆半径大于内圆半径）。 圆环面积计算公式：S圆环=πR²-πr²=π(R²-r²)（其中为外圆半径，为内圆半径） 常见应用：计算圆形桌面面积、圆形蓄水池占地面积、圆环零件的横截面积等。 【清单04】扇形的基础认知 1．扇形定义：由圆上两点（如A、B）之间的弧（读作“弧AB”）和经过这两点的两条半径围成的图形。 2．扇形的核心元素 弧：圆上两点间的曲线部分，是圆周长的一部分。 圆心角：顶点在圆心的角（如∠AOB），同一圆内，圆心角的大小决定扇形的大小（半径不变时，圆心角越大，扇形越大）。 3．特殊扇形 以半圆为弧的扇形：圆心角为180°。 以圆为弧的扇形：圆心角为90°。 4．对称性：扇形是轴对称图形，有1条对称轴（过圆心且垂直于弧中点的直线）。 【清单05】弧长计算 1．弧长定义：圆上某段弧的长度，是圆周长的一部分，用字母表示。 2．弧长推导依据：360°的圆心角对应弧长等于圆的周长（2πr），因此1°的圆心角对应弧长为。 3．弧长计算公式：（其中为圆心角度数，为圆的半径） 4．常见应用：计算弯形管道的展直长度、圆弧轨道的长度等。 【清单06】扇形面积计算 1．扇形面积定义：扇形所占平面的大小，用字母S扇形表示。 2．扇形面积计算公式 公式1（已知圆心角和半径）：由“360°的圆心角对应面积等于圆的面积（πr²）”推导，1°的圆心角对应面积为，因此（为圆心角度数，为圆的半径）。 公式2（已知弧长和半径）：结合弧长公式，可推导出（为扇形弧长，为圆的半径），适用于已知弧长时快速计算。 3．常见应用：计算扇形草坪面积、扇形零件的用料面积等。 【题型一】圆的核心元素相关计算 【例1】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）用圆规画一个直径是2厘米的圆，则圆规两脚之间的距离是（    ）厘米． A．2 B．1 C．3.14 D．1.57 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆的半径与直径的关系），解题的关键是明确圆规两脚之间的距离为圆的半径． 根据圆的半径与直径的关系，求出圆的半径，即可得到圆规两脚之间的距离． 【详解】解：在圆中，半径和直径的关系为． 已知要画的圆的直径厘米，那么半径厘米．而用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是圆的半径，所以圆规两脚之间的距离是1厘米， 故选：B． 【变式1-1】（23-24七上·天津·分班）在一个边长为的正方形中画一个最大的圆，圆的半径是 ，直径是 ． 【答案】 11 22 【分析】本题考查了正方形与圆的关系及圆的半径计算，解题的关键是明确正方形中最大的圆的直径等于正方形的边长，再结合半径与直径的关系求解． 在正方形中，画一个最大的圆，则这个最大的圆的直径就是这个正方形的边长，由此利用r＝d÷2，即可解决问题． 【详解】在边长为的正方形里画最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，所以圆的直径是。 又因为圆的半径等于直径的一半， 所以圆的半径是。 故答案为：11，22． 【变式1-2】（23-24七上·河北廊坊安次区四中·分班）先画一个边长 2 厘米的正方形，然后以它的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆， 再在图中画两条互相垂直的半径． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用格尺和圆规作图，按要求作图即可． 两条垂直的半径即是正方形的两条邻边与圆所交线段． 【详解】 图中即为两条互相垂直的半径． 【题型二】圆的周长计算 【例2】（24-25七上·重庆西北狼教育联盟·开学）画一个周长是分米的圆，圆规两脚之间的距离应是（    ）．（值取） A．9分米 B．3分米 C．分米 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的周长．根据圆的周长公式解答即可． 【详解】解：（分米）， 答：圆规两脚之间的距离应是分米． 故选：C 【变式2-1】（24-25小升初·湖北十堰郧阳柳陂中学·分班考试模拟二）有一个圆半径是60厘米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆，我们不知道这十个圆的直径分别是多少，它们周长的和是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查求圆的周长，根据题意，得到十个圆的直径之和为大圆的直径，根据圆的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ； 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）在一块半径是米的圆形桌布周围缝一条花边，接头处长5厘米，这条花边长多少米？（取） 【答案】米 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据题意可知这条花边长为圆形桌布的周长加上接头处的长度，据此结合圆的周长计算公式求解即可． 【详解】解： 米， 答：这条花边长米． 【题型三】圆的面积计算 【例3】（24-25七上·广东深圳罗湖深圳中学·分班考）如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是（   ）． A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形与圆的面积计算，准确依据图形结构分析剩余面积的求解是解题的关键． 通过设正方形的边长，分别计算出甲、乙两图中圆以外剩下部分的面积，再进行比较． 【详解】设正方形的边长为， 则甲图剩余部分的面积为， 乙图剩余部分的面积为， ， 剩余部分的面积一样大． 故选． 【变式3-1】（23-24七上·陕西西安远东一中·开学摸底）一张碟片的周长是厘米，它的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长和面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据圆的周长求得圆的半径，然后根据圆的面积公式即可求解； 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴（平方厘米）， 故答案为：； 【变式3-2】（24-25六上·人教·同步）画图并计算． (1)在上面的正方形中画一个最大的圆． (2)计算出圆的周长． (3)计算出圆的面积． 【答案】(1)见解析 (2)厘米 (3)平方厘米 【分析】此题考查了画圆、圆的面积、圆的周长，掌握圆的面积和周长公式是解题的关键． （1）由于正方形的边长是4厘米，画一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相同，也是4厘米，据此画圆即可； （2）根据圆的周长公式：，把数代入即可求解； （3）根据圆的面积公式：，把数代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：（厘米）， 所以圆的周长是厘米． （3）解： （平方厘米）， 所以圆的面积是平方厘米． 【题型四】圆环面积计算 【例4】（23-24七上·四川成都龙泉师大一中·分班模拟）一个圆环，外圆的半径等于内圆的直径，那么内圆的面积占圆环面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积，解答本题时，应先求出圆环的面积，再与内圆的面积比较即可． 【详解】解：设内圆半径为，则外圆半径为； 因为圆环面积， 所以内圆的面积占圆环面积的， 故选：D． 【变式4-1】（24-25八下·单元测试）一个圆环的外圆直径是 厘米，内圆直径是 厘米，则它的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积．用外圆的面积减去内圆的面积，即可求解． 【详解】解： 平方厘米． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）实验小学有一个半径米的圆形花坛，准备在花坛周围铺一条分米宽的鹅卵石小路，这条鹅卵石小路占地多少平方米？ （取 ） 【答案】 【分析】本题考查了认识平面图形，圆环的面积的计算，本题关键是明确鹅卵石小路的形状是圆环，熟练运用圆环面积公式进行计算，同时要注意单位的统一．根据圆的面积公式计算即可．本题可先将单位统一，然后根据圆环的面积公式(其中是圆环面积，是外圆半径，是内圆半径)来计算鹅卵石小路的占地面积． 【详解】解：∵分米米， ∴分米米， ∵圆形花坛半径(内圆半径)米，鹅卵石小路宽米， ∴外圆半径米， 根据圆环的面积公式，则： （平方米）． 答：这条鹅卵石小路占地平方米． 【题型五】弧长计算 【例5】(21-22六上·上海杨浦市东实验学校·期末)一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），熟记公式是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八下·单元测试）如图，一个边长是厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向的翻转，到达图中最右边三角形的位置，那么顶点所经过的路程是 厘米．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式． 根据题意，B的运动轨迹是3个以1厘米为半径、圆心角是的弧长，即一个半径是1厘米的圆的周长．利用圆的周长公式：，把数代入计算即可． 【详解】解：如图：   （厘米） 答：顶点B所经过的路程是厘米． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25六下·上海新复兴初中·3月月考）求图形的周长．（取3.14，单位：分米） 【答案】米 【分析】考查了组合图形的周长，正确识别组合图形是解题的关键．根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解： （分米） ∴图形的周长分米． 【题型六】扇形面积计算 【例6】（24-25六上·人教·同步）扇环的面积是（    ）平方分米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆环的面积、扇形的周长和面积，掌握相关知识是解决问题的关键．由图形可知，扇形对应的圆心角为直角，扇环由2个圆环构成，圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，已知外圆半径为4分米，内圆半径为3分米，根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：外圆面积：（平方分米） 内圆面积：（平方分米） 扇环的面积为：（平方分米） 故答案为：A． 【变式6-1】（24-25六下·上海中学东校·期中）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 平方厘米（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分） （平方厘米）， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25六下·上海闵行莘松等校·期末）如图，现有一张圆心角为，半径为的扇形纸片．乐乐剪去圆心角大小为的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）．求剪去的扇形纸片的圆心角． 【答案】剪去的扇形纸片的圆心角为 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．已知圆锥底面半径是，就可以知道展开图扇形的弧长是，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥底面半径是， ∴圆锥底面周长为 ∴ 解得： 答：剪去的扇形纸片的圆心角为． 【题型七】组合图形面积计算 【例7】（24-25七上·北京西城·四中·分班考）草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的无弹性绳子拴着一只羊，如图，问这只羊的活动范围有（    ）平方米？（取3.14） A．2512 B．5024 C．1256 D．628 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的面积的求解，解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 由图意可知：羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径为30米的个圆，B、C分别是半径为20米和10米的个圆，分别求出三部分的面积，即可求得羊的活动范围． 【详解】解：如图， （米），（米） （平方米）， 故选A． 【变式7-1】（2022·陕西西安西工大附中·丘成桐少年班选拔线上）课外活动中，活动小组把的画板分成如图所示的正方形网格，利用网格设计了一个和平鸽图案，和平鸽轮廓是由圆的一部分或者线段组成．那么和平鸽的面积为 平方厘米 【答案】21600 【分析】本题考查求组合图形的面积，圆的面积，利用分割法求出和平鸽的面积即可． 【详解】解：由题意和图可知，小正方形的边长为， 和平鸽的面积 （平方厘米）； 故答案为：21600 【变式7-2】（24-25六下·上海民一中学·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【答案】该场馆铺设该草坪需要费用244200元 【分析】本题考查扇形、长方形面积的计算方法，掌握扇形面积和长方形面积的计算方法是正确计算的前提； 先求出草坪的面积，再求出需要的费用. 【详解】解：（平方米）， （平方米） （平方米）， 所以铺设该草坪需要费用元， 答：该场馆铺设该草坪需要费用244200元. 【题型八】综合应用题 【例8】如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会，圆桌的半径为，每人离桌边，则图中相邻两人之间的圆弧的长（结果保留）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的周长问题，将圆的周长分成六份，其中一份即为相邻两人之间的圆弧的长． 【详解】解：， 即相邻两人之间的圆弧的长为， 故选：D． 【变式8-1】（23-24七上·福建泉州一中·入学测试）2018年是中国农历戊戌年，生肖属狗．狗是一种可爱的动物，喜欢吃骨头．图中的“骨头”是由一个长方形和4个圆组成，已知长方形的长是60厘米，宽是20厘米，那么整个“头”的面积的是 平方厘米．（取3.14） 【答案】2142 【分析】本题考查了长方形的面积与圆的面积公式，熟练掌握长方形与圆的面积公式是解决本题的关键． 根据长方形的长和宽可求解长方形的面积，再由该骨头4个圆中圆的直径为长方形的宽，即圆的半径为厘米，由此计算即可． 【详解】解：∵长方形的长是60厘米，宽是20厘米， 且圆的半径为厘米， ∴该骨头的面积为平方厘米． 故答案为：2142 ． 【变式8-2】（24-25七上·江苏宿迁沭阳怀文中学·分班考）一个长为，宽为的长方形与直径是的圆按如下图方式摆放． (1)将长方形以每秒的速度从圆的左边平移到右边． ①圆完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ ②几秒后圆与长方形重叠部分的面积是平方厘米？（取） (2)若长方形不动，圆沿着长方形外边缘顺时针滚动一周．如下图，滚到C点时，绕C点旋转一定角度后继续滚动，每滚动到长方形顶点时都相同．求滚动一周后圆扫过的面积是多少平方厘米．（取） 【答案】(1)①完全包含共10秒；②或秒后，重叠面积为平方厘米 (2)滚动一周扫过的面积为1114平方厘米 【分析】本题考查了圆的面积、长方形的面积． （1）①根据图示可知：圆完全被包含在内应该是（）厘米所需要的时间，根据“时间路程速度”即可求解．②先计算半圆的面积为平方厘米，再进一步列式计算即可． （2）根据圆的运动轨迹可知，圆扫过的面积是左右两端边长为10厘米的正方形的面积以及上下两侧长为30厘米，宽为10厘米长方形的面积以及4个顶点扫过的扇形的面积（4个顶点扇形面积组合到一起实际为一个半径为10厘米圆的面积），3部分相加求和即可． 【详解】（1）解：①（秒）， 答：完全包含共10秒． ②圆的面积为，， 进长方形时间为秒； 出长方形时间为秒； 答：，秒后，重叠面积为平方厘米． （2）解：平方厘米． 答：圆滚动一周扫过的面积为1114平方厘米． 【题型一】圆的周长与面积概念混淆 高频易错点：混淆“周长”（长度，单位如cm、m）和“面积”（平面大小，单位如cm²、m²）的意义，错用公式（如用周长公式算面积）或单位写错。 【例1】甲、乙两圆的半径之比为，则甲、乙两圆的周长之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比的应用，根据圆的周长比等于半径比，即可得出结果． 【详解】解：因为两个圆的半径比为，且圆的周长为， 所以两个圆的周长比等于半径比为； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）体育课上，同学们围成一个圆圈玩“击鼓传花”游戏，老师站在圆心位置击鼓，已知每名同学与老师之间的距离是，那么同学们围成的圆圈的周长是 ．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据题意可得围成的圆圈的半径为，据此根据圆的周长等于其半径的2倍乘以圆周率计算求解即可． 【详解】解：， 所以同学们围成的圆圈的周长是， 故答案为：． 【变式1-2】为庆祝中华人民共和国成立70周年，市政府决定在某空地建一个圆形喷水池，其半径为10米．（取3） (1)求喷水池的占地面积； (2)现计划在距离喷水池边2米的地方，绕喷水池安置一圈围栏，求围栏的长度是多少米？ (3)在（2）的条件下，为了美观，现决定在围栏和喷水池之间种植鲜花，经考察，种植鲜花每平米价格是80元，喷水池每平米的价格为120元，围栏每米的价格为15元，求整个工程的总费用为多少元？ 【答案】(1)300平方米 (2)米 (3)47640元 【分析】本题考查圆的周长和面积，熟练掌握圆的周长和面积公式，是解题的关键： （1）根据圆的面积公式进行计算即可； （2）根据圆的周长公式进行计算即可； （3）根据总价等于种植鲜花的费用，喷水池的费用和围栏的费用之和，列式计算即可． 【详解】（1）解：（平方米）； 答：喷水池的占地面积为300平方米； （2）解：（米）； 答：围栏的长度是72米； （3） ， ， （元）， 答：整个工程的总费用为47640元． 【题型二】圆环面积计算中半径与直径混淆 高频易错点：已知外圆或内圆直径时，未换算成半径直接代入公式；或误将“外圆直径-内圆直径”的差作为半径差计算。 【例2】（23-24六上·黑龙江绥化明水·期末）明水县人民政府绿化广场有一个直径圆形花坛． 现要扩建这个花坛，向外围扩宽了（如图）要计算扩建的面积，下面列式正确的是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查圆环的面积．利用大圆的面积减去小圆的面积即可． 【详解】解：由题意，得：小圆的半径为，大圆的半径为， ∴扩建的面积为：； 故选：C． 【变式2-1】（24-25六上·人教·同步）一个圆形花坛的直径是8，在它的周围修一条宽1的小路，小路的面积是( )． 【答案】 【分析】此题考查了圆环的面积． 已知一个圆形花坛的直径是，则花坛的半径r是；在它的周围修一条宽的小路，则外圆的半径R是；求小路的面积，就是圆环的面积；根据圆环的面积公式，代入数据计算即可求解． 【详解】 即小路的面积是． 故答案为： 【变式2-2】（24-25六上·人教·同步）重庆火锅，是一张有味道的城市名片，深受人们的喜爱．张叔叔想定做一张家用圆形火锅桌，需求如下：①张叔叔家餐厅长4.5米，宽3.2米，圆桌与餐厅四周墙壁之间至少预留1米宽的通道方便人就座和通行；②在圆桌中心预留一个圆孔，用于内置安放直径0.6米的圆形电磁炉：③为更加美观、耐用，要在桌子边缘贴一圈装饰带，并在圆桌桌面铺上一层透明隔热垫．如果你是设计师，请根据张叔叔家的需求和实际情况，为他设计一张最大的圆桌，并计算该圆桌桌边所贴装饰带的长度和桌面隔热垫的大小．（π取3.14） (1)装饰带长度． (2)隔热垫大小． 【答案】(1)装饰带长度是米 (2)隔热垫大小是平方米 【分析】此题考查了圆的周长的应用、圆的面积的应用． （1）根据题意，在长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽．又因为要预留1米宽的通道，所以圆桌的直径要在原有的基础上少2米，再根据圆的周长＝直径×圆周率，可以算出圆桌的周长，也就是装饰带的长度； （2）根据圆的面积＝，同一个圆内，直径是半径的2倍，算出大圆的面积再减去中间直径0.6米的圆的面积，即为隔热垫的面积． 【详解】（1）解：圆桌直径：（米） （米） 答：装饰带长度是米． （2）解： （平方米） 答：隔热垫大小是平方米． 【题型三】扇形弧长与面积公式记错或漏写条件 高频易错点：记混弧长公式（如漏除180）、扇形面积公式（如误将“”写成“”）；或忽略公式中“n是圆心角度数”的前提，误用圆周角计算。 【例3】（24-25六上·人教·同步）如图，为等腰直角三角形，以为直径的半圆交斜边于点D，以点C为圆心，以为半径的扇形交于点E，若，则图中阴影部分的面积是（    ）（） A． B． C． D．107 【答案】A 【分析】此题考查求阴影部分的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答． 通过观察可知，阴影部分的面积相当于半圆的面积＋扇形的面积－的面积，已知，则半圆的半径是，根据圆面积公式：，即可求出半圆ABD的面积；已知△ABC为等腰直角三角形，则扇形BCE的圆心角是45°，根据扇形的面积公式：S＝，用即可求出扇形BCE的面积；然后根据三角形的面积＝底×高÷2，用即可求出的面积，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解： 图中阴影部分的面积是． 故答案为：A 【变式3-1】（23-24七上·四川成都龙泉师大一中·分班模拟）正三角形在一条直线上翻滚了两次，使A点再次落在这条直线上．如果三角形的边长是6厘米，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是 厘米，此时把三角形面积用15平方厘米计算，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是 平方厘米．（取) 【答案】 24 87 【分析】本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的应用．解决的关键是明确点A在翻滚的过程中经过的路线以及三角形在滚动过程中扫过的区域． 点A在翻滚过程中经过的路线总长度就是半径为6厘米、圆心角为的弧和弧的和，也就是求出一段弧的长度，再乘以2，利用弧长公式，代入数据计算即可； 三角形在滚动过程中扫过的面积就是半径为6厘米、圆心角为的两个扇形的面积与等边三角形面积的和，利用扇形的面积公式，代入数据计算即可． 【详解】解：如图， A点在翻滚过程中经过的路线总长度是（厘米）； 三角形在滚动过程中扫过的面积是（平方厘米）， 故答案为：24，87． 【变式3-2】（24-25六上·人教·同步）如图所示，在一个边长是6米的正方形羊圈外的一个角上拴着一只羊，绳长为4米．羊在羊圈外可以活动的最大范围是多少？ 【答案】平方米 【分析】本题考查圆的面积的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意可知，羊活动的最大范围应该是拉紧绳子绕一圈的面积，但是因为在正方形羊圈外的一角上，且绳长小于边长，所以不能进入羊圈内，因此羊可以活动的范围应该是半径为4米圆面积的，根据圆的面积公式代入数据，即可解答． 【详解】解： ∴羊可以活动的范围是半径为4米的圆面积的，那么活动范围是： （平方米） 答：羊在羊圈外可以活动的最大范围是平方米． 【题型四】实际应用题中单位不统一 高频易错点：题目中给出的单位不一致（如半径用“cm”，长度用“m”），计算前未统一单位，导致结果错误。 【例4】A和B两个圆的周长分别是和，则A圆半径与B圆半径之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，求比值，根据圆的周长公式分别求出，的半径，再求二者之比，即可求解．，掌握公式是解题的关键． 【详解】解：圆的半径为：， 圆的半径为：， 所以，A圆半径与B圆半径之比是， 故选：C． 【变式4-1】有一个圆的周长是，那么这个圆的面积的一半是（   ）平方厘米． A． B． C． D．128π 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长和面积的计算方法，先根据周长计算出圆的半径，然后根据圆的半径求出圆的面积即可得到答案． 【详解】解： ∵圆的周长是， ∴圆的半径为：， ∴圆的面积的一半为：， 故选：B． 【变式4-2】一辆自行车的车轮半径是，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要多少分钟？（取） 【答案】10分钟 【分析】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题关键．先利用圆的周长公式可得车轮转1圈行驶的路程，再求出车轮1分钟转100圈的路程，然后利用桥的长度除以车轮1分钟转100圈的路程即可得． 【详解】解：由题意得：车轮转1圈行驶的路程为， 所以车轮1分钟转100圈的路程为， 所以（分钟）， 答：大约需要10分钟． 【题型一】圆的周长、面积计算 核心技巧：圆的周长计算时要根据已知条件匹配对应公式，计算时优先统一单位，避免结果偏差。圆的面积计算时无论已知半径还是直径，均先转化为半径，再严格套用S=πr²计算。 【例1】（24-25六下·上海青浦实验中学·期中）一个圆的半径从3厘米增加到7厘米，则周长增加了（   ）厘米 A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长的计算，掌握圆的周长的计算是解题的关键．先计算半径为和的圆的周长，再求解它们的差即可． 【详解】解：当半径为时，周长为：， 当半径为时，周长为： 所以：周长增加了． 故答案为：D． 【变式1-1】（24-25六下·上海闵行·期中）一块圆形草坪的周长是米，则这块草坪的占地面积是 平方米． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长和面积公式的应用，熟练掌握圆的周长与面积公式是解题的关键，利用已知周长，代入周长公式可求得圆的半径，再利用圆的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵圆形草坪的周长是米， ∴， ∴， ∴这块草坪的占地面积为：， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24六上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？（取） 【答案】这个运动场的周长是米，面积是平方米 【分析】本题考查求组合的图形的周长和面积，根据等量关系：运动场的周长＝圆的周长＋（长方形的长），据此便可以求得运动场的周长；运动场的面积＝长方形的面积+圆的面积．据此便可以求得运动场的面积．解题的关键是要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的． 【详解】解：运动场的周长为： （米）， 运动场的面积为： （平方米）， 答：这个运动场的周长是米，面积是平方米． 【题型二】圆环面积计算 核心技巧：先统一外圆、内圆的“半径”（已知直径必换算），再用“S圆环=πR²-πr²=π(R²-r²)”简化计算（避免分别算外圆、内圆面积再相减的繁琐）。 【例2】（23-24六上·黑龙江哈尔滨工大附中·期中）一个圆形花坛的半径是7米，正中间有一个直径是6米的圆形喷水池，这个花坛能种花的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】此题主要考查环形面积的计算，解决问题的关键是直接根据公式：环形面积外圆面积内圆面积，列式解答． 【详解】解： （平方米）； ∴这个花坛能种花的面积是平方米， 故选：． 【变式2-1】（23-24六上·黑龙江哈尔滨十七中·期中）如图，是直径为18米的圆形花坛，它的周围有一条宽为3米的小路环绕，小路的面积是 平方米（结果保留π）．    【答案】 【分析】根据圆环的面积公式计算即可求解．熟练掌握圆环的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：（米），（米）， （平方米）． 故这条小路的面积是平方米． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25六下·上海浦东上南中学·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 【答案】(1)10 米 (2)平方米 【分析】本题主要考查圆的周长和面积计算，以及圆环面积的应用问题． （1）已知圆的周长求半径，直接利用周长公式变形求解． （2）石子路是圆环，面积等于外圆面积减去内圆面积，需先确定外圆半径（花坛半径米）． 【详解】（1）解：圆形花坛的半径（米）， 答：圆形花坛的半径是 10 米． （2）解：外圆半径（米）， 石子路面积为：（平方米）， 答：石子路的面积是平方米． 【题型三】组合图形的周长、面积 核心技巧：先通过画图定位“正方形或长方形等图形的边长与圆的直径或半径”关系，再按“整体-部分”或“部分+部分”思路分步计算。 【例3】（24-25六下·上海张江集团中学·期中）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与圆有关的图形的周长，根据图形分别计算各选项中阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：以下计算中，取 A. 阴影部分周长为： B. 阴影部分周长为： C. 阴影部分周长为：     D. 阴影部分周长为： 阴影部分周长最长的是C选项 故选：C 【变式3-1】（24-25六下·上海交大二附中·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求圆的半径，周长，弧长，长方形的周长等知识，先求出圆的半径，长方形为的长，最后根据阴影部分的周长计算即可． 【详解】解：根据题意， 则圆的半径为：， 圆的面积为：， 长方形的面积为，则长方形的长为： ， 则阴影部分的周长为：， 故答案为：5 【变式3-2】（23-24六上·黑龙江大庆肇源东片·期中）计算下面各图阴影部分的面积和周长． 【答案】面积为，周长为 【分析】本题考查的是组合图形的面积与周长的计算，本题阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，阴影部分的周长等于大的扇形弧长加上两个小的半圆弧长即可． 【详解】解：由题意可得： ； . 【题型四】实际应用题 核心技巧：将实际场景（如喷灌、车轮、跑道）转化为 “圆的周长 / 面积” 问题，再匹配对应公式，注意单位和生活逻辑。 【例4】（24-25六上·黑龙江绥化明水二中·期中）一辆自行车车轮的直径是0.65米，如果保持车轮以平均每分钟转100圈的速度前进，那么骑25分钟能行多少米？ 【答案】25分钟能行米 【分析】本题主要考查了圆周长的计算，熟知相关知识是解题的关键．先求出25分钟自行车转了多少转，然后根据圆周长公式求出自行车轮胎转一圈所行走的路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得米， 答：25分钟能行米． 【变式4-1】（24-25六下·上海宝山淞谊实验学校·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， （2）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【变式4-2】（23-24六上·黑龙江哈尔滨四十九中·期中）哈尔滨成功申办2025年亚冬会，筹备工作已逐步进入新阶段，为践行“冰天雪地也是金山银山”发展理念，推动向北开发新高地，进一步打造城市新形象，某公园计划在公园广场上浇筑一块冰上娱乐场地，由两个半圆和一个长方形组成，两个半圆区域为冰尕区，直径为12米；中间长方形区域为狗拉冰车区，长为80米．（取3）      (1)需要浇筑区域为多少平方米？ (2)为缓解客流紧张，狗拉冰车区域被如图分成了三条80米长、4米宽的跑道可供更多游客同时娱乐，现计划用一些漂亮的LED灯线装饰场地各区域外围和跑道分割线（不考虑边框线宽度），且每米装饰灯线40元，浇筑冰场每平方米300元，完成场地建设共需要费用多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)335600元 【分析】本题考查圆的周长和面积，长方形的周长和面积． （1）用两个半圆的面积加上长方形的面积进行求解即可； （2）根据总费用等于装饰灯线的费用加上浇筑冰场的费用，列式计算即可． 读懂题意，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键． 【详解】（1）解：平方米； 答：需要浇筑区域为平方米； （2）（元） （元），     （元）； 答：完成场地建设共需要费用335600元． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的初步认识（6知识&8题型&4易错&4方法清单） 【清单01】圆的基础认知 1．圆的定义：平面内到定点（圆心）的________等于________（半径）的所有点组成的封闭曲线，是由曲线围成的平面图形。 2．核心元素及性质 圆心（O）：确定圆的________，圆上任意一点到圆心的距离都________。 半径（r）：连接圆心与圆上任意一点的________，决定圆的________。同一圆内有________条半径，且所有半径长度________。 直径（d）：通过________且两端都在圆上的线段。同一圆内有________条直径，且所有直径长度________；直径与半径的数量关系为或。 3．对称性：圆是轴对称图形，直径所在的________是它的对称轴，圆有________条对称轴。 4．画圆方法：用圆规画圆时，针尖固定的点为________，圆规两脚间的距离为________，旋转一周即可画出圆。 【清单02】圆的周长计算 1．圆的周长定义：围成圆的曲线的________，用字母表示。 2．圆周率（π）：任意一个圆的周长与它直径的比值，是一个无限不循环小数（π=3．1415926535……），实际应用中通常取近似值π≈________。 3．周长计算公式 已知直径（d）： 已知半径（r）： 常见应用：计算车轮滚动距离（滚动距离=周长×转动圈数）、圆形物体外围长度（如圆形花坛围栏长度）等。 【清单03】圆的面积与圆环面积计算 1．圆的面积定义：圆所占平面的________，用字母表示。 2．圆的面积推导思路：将圆平均分成若干等份（如8份、16份、32份），剪开后可拼成一个近似长方形；等分份数越多，拼成的图形越接近________形。该长方形的长近似等于圆周长的________（πr），宽近似等于圆的________（r），由“长方形面积=长×宽”推导得出圆的面积公式。 3．圆的面积计算公式：S=________（r为圆的半径） 4．圆环的相关计算 圆环定义：两个圆心________、半径________的同心圆之间的部分（外圆半径大于内圆半径）。 圆环面积计算公式：S圆环=πR²-πr²=________（其中为外圆半径，为内圆半径） 常见应用：计算圆形桌面面积、圆形蓄水池占地面积、圆环零件的横截面积等。 【清单04】扇形的基础认知 1．扇形定义：由圆上两点（如A、B）之间的________（读作“弧AB”）和经过这两点的两条________围成的图形。 2．扇形的核心元素 弧：圆上两点间的曲线________，是圆周长的一部分。 圆心角：顶点在________的角（如∠AOB），同一圆内，圆心角的大小决定扇形的大小（半径不变时，圆心角越大，扇形越大）。 3．特殊扇形 以半圆为弧的扇形：圆心角为________。 以圆为弧的扇形：圆心角为________。 4．对称性：扇形是轴对称图形，有________对称轴（过圆心且垂直于弧中点的直线）。 【清单05】弧长计算 1．弧长定义：圆上某段弧的________，是圆周长的一部分，用字母表示。 2．弧长推导依据：360°的圆心角对应弧长等于圆的________（2πr），因此1°的圆心角对应弧长为。 3．弧长计算公式：（其中为圆心角度数，为圆的半径） 4．常见应用：计算弯形管道的展直长度、圆弧轨道的长度等。 【清单06】扇形面积计算 1．扇形面积定义：扇形所占平面的________，用字母S扇形表示。 2．扇形面积计算公式 公式1（已知圆心角和半径）：由“360°的圆心角对应面积等于圆的________（πr²）”推导，1°的圆心角对应面积为，因此（为圆心角度数，为圆的半径）。 公式2（已知弧长和半径）：结合弧长公式，可推导出（为扇形弧长，为圆的半径），适用于已知弧长时快速计算。 3．常见应用：计算扇形草坪面积、扇形零件的用料面积等。 【题型一】圆的核心元素相关计算 【例1】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）用圆规画一个直径是2厘米的圆，则圆规两脚之间的距离是（    ）厘米． A．2 B．1 C．3.14 D．1.57 【变式1-1】（23-24七上·天津·分班）在一个边长为的正方形中画一个最大的圆，圆的半径是 ，直径是 ． 【变式1-2】（23-24七上·河北廊坊安次区四中·分班）先画一个边长 2 厘米的正方形，然后以它的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆， 再在图中画两条互相垂直的半径． 【题型二】圆的周长计算 【例2】（24-25七上·重庆西北狼教育联盟·开学）画一个周长是分米的圆，圆规两脚之间的距离应是（    ）．（值取） A．9分米 B．3分米 C．分米 【变式2-1】（24-25小升初·湖北十堰郧阳柳陂中学·分班考试模拟二）有一个圆半径是60厘米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆，我们不知道这十个圆的直径分别是多少，它们周长的和是 厘米． 【变式2-2】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）在一块半径是米的圆形桌布周围缝一条花边，接头处长5厘米，这条花边长多少米？（取） 【题型三】圆的面积计算 【例3】（24-25七上·广东深圳罗湖深圳中学·分班考）如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是（   ）． A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 【变式3-1】（23-24七上·陕西西安远东一中·开学摸底）一张碟片的周长是厘米，它的面积是 平方厘米． 【变式3-2】（24-25六上·人教·同步）画图并计算． (1)在上面的正方形中画一个最大的圆． (2)计算出圆的周长． (3)计算出圆的面积． 【题型四】圆环面积计算 【例4】（23-24七上·四川成都龙泉师大一中·分班模拟）一个圆环，外圆的半径等于内圆的直径，那么内圆的面积占圆环面积的（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八下·单元测试）一个圆环的外圆直径是 厘米，内圆直径是 厘米，则它的面积是 平方厘米． 【变式4-2】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）实验小学有一个半径米的圆形花坛，准备在花坛周围铺一条分米宽的鹅卵石小路，这条鹅卵石小路占地多少平方米？ （取 ） 【题型五】弧长计算 【例5】(21-22六上·上海杨浦市东实验学校·期末)一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八下·单元测试）如图，一个边长是厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向的翻转，到达图中最右边三角形的位置，那么顶点所经过的路程是 厘米．（结果保留）    【变式5-2】（24-25六下·上海新复兴初中·3月月考）求图形的周长．（取3.14，单位：分米） 【题型六】扇形面积计算 【例6】（24-25六上·人教·同步）扇环的面积是（    ）平方分米． A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25六下·上海中学东校·期中）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 平方厘米（结果保留π）． 【变式6-2】（24-25六下·上海闵行莘松等校·期末）如图，现有一张圆心角为，半径为的扇形纸片．乐乐剪去圆心角大小为的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）．求剪去的扇形纸片的圆心角． 【题型七】组合图形面积计算 【例7】（24-25七上·北京西城·四中·分班考）草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的无弹性绳子拴着一只羊，如图，问这只羊的活动范围有（    ）平方米？（取3.14） A．2512 B．5024 C．1256 D．628 【变式7-1】（2022·陕西西安西工大附中·丘成桐少年班选拔线上）课外活动中，活动小组把的画板分成如图所示的正方形网格，利用网格设计了一个和平鸽图案，和平鸽轮廓是由圆的一部分或者线段组成．那么和平鸽的面积为 平方厘米 【变式7-2】（24-25六下·上海民一中学·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【题型八】综合应用题 【例8】如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会，圆桌的半径为，每人离桌边，则图中相邻两人之间的圆弧的长（结果保留）为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七上·福建泉州一中·入学测试）2018年是中国农历戊戌年，生肖属狗．狗是一种可爱的动物，喜欢吃骨头．图中的“骨头”是由一个长方形和4个圆组成，已知长方形的长是60厘米，宽是20厘米，那么整个“头”的面积的是 平方厘米．（取3.14） 【变式8-2】（24-25七上·江苏宿迁沭阳怀文中学·分班考）一个长为，宽为的长方形与直径是的圆按如下图方式摆放． (1)将长方形以每秒的速度从圆的左边平移到右边． ①圆完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ ②几秒后圆与长方形重叠部分的面积是平方厘米？（取） (2)若长方形不动，圆沿着长方形外边缘顺时针滚动一周．如下图，滚到C点时，绕C点旋转一定角度后继续滚动，每滚动到长方形顶点时都相同．求滚动一周后圆扫过的面积是多少平方厘米．（取） 【题型一】圆的周长与面积概念混淆 高频易错点：混淆“周长”（长度，单位如cm、m）和“面积”（平面大小，单位如cm²、m²）的意义，错用公式（如用周长公式算面积）或单位写错。 【例1】甲、乙两圆的半径之比为，则甲、乙两圆的周长之比为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七上·黑龙江大庆肇源·期末）体育课上，同学们围成一个圆圈玩“击鼓传花”游戏，老师站在圆心位置击鼓，已知每名同学与老师之间的距离是，那么同学们围成的圆圈的周长是 ．（取） 【变式1-2】为庆祝中华人民共和国成立70周年，市政府决定在某空地建一个圆形喷水池，其半径为10米．（取3） (1)求喷水池的占地面积； (2)现计划在距离喷水池边2米的地方，绕喷水池安置一圈围栏，求围栏的长度是多少米？ (3)在（2）的条件下，为了美观，现决定在围栏和喷水池之间种植鲜花，经考察，种植鲜花每平米价格是80元，喷水池每平米的价格为120元，围栏每米的价格为15元，求整个工程的总费用为多少元？ 【题型二】圆环面积计算中半径与直径混淆 高频易错点：已知外圆或内圆直径时，未换算成半径直接代入公式；或误将“外圆直径-内圆直径”的差作为半径差计算。 【例2】（23-24六上·黑龙江绥化明水·期末）明水县人民政府绿化广场有一个直径圆形花坛． 现要扩建这个花坛，向外围扩宽了（如图）要计算扩建的面积，下面列式正确的是（   ） A．B． C． 【变式2-1】（24-25六上·人教·同步）一个圆形花坛的直径是8，在它的周围修一条宽1的小路，小路的面积是( )． 【变式2-2】（24-25六上·人教·同步）重庆火锅，是一张有味道的城市名片，深受人们的喜爱．张叔叔想定做一张家用圆形火锅桌，需求如下：①张叔叔家餐厅长4.5米，宽3.2米，圆桌与餐厅四周墙壁之间至少预留1米宽的通道方便人就座和通行；②在圆桌中心预留一个圆孔，用于内置安放直径0.6米的圆形电磁炉：③为更加美观、耐用，要在桌子边缘贴一圈装饰带，并在圆桌桌面铺上一层透明隔热垫．如果你是设计师，请根据张叔叔家的需求和实际情况，为他设计一张最大的圆桌，并计算该圆桌桌边所贴装饰带的长度和桌面隔热垫的大小．（π取3.14） (1)装饰带长度． (2)隔热垫大小． 【题型三】扇形弧长与面积公式记错或漏写条件 高频易错点：记混弧长公式（如漏除180）、扇形面积公式（如误将“”写成“”）；或忽略公式中“n是圆心角度数”的前提，误用圆周角计算。 【例3】（24-25六上·人教·同步）如图，为等腰直角三角形，以为直径的半圆交斜边于点D，以点C为圆心，以为半径的扇形交于点E，若，则图中阴影部分的面积是（    ）（） A． B． C． D．107 【变式3-1】（23-24七上·四川成都龙泉师大一中·分班模拟）正三角形在一条直线上翻滚了两次，使A点再次落在这条直线上．如果三角形的边长是6厘米，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是 厘米，此时把三角形面积用15平方厘米计算，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是 平方厘米．（取) 【变式3-2】（24-25六上·人教·同步）如图所示，在一个边长是6米的正方形羊圈外的一个角上拴着一只羊，绳长为4米．羊在羊圈外可以活动的最大范围是多少？ 【题型四】实际应用题中单位不统一 高频易错点：题目中给出的单位不一致（如半径用“cm”，长度用“m”），计算前未统一单位，导致结果错误。 【例4】A和B两个圆的周长分别是和，则A圆半径与B圆半径之比是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】有一个圆的周长是，那么这个圆的面积的一半是（   ）平方厘米． A． B． C． D．128π 【变式4-2】一辆自行车的车轮半径是，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要多少分钟？（取） 【题型一】圆的周长、面积计算 核心技巧：圆的周长计算时要根据已知条件匹配对应公式，计算时优先统一单位，避免结果偏差。圆的面积计算时无论已知半径还是直径，均先转化为半径，再严格套用S=πr²计算。 【例1】（24-25六下·上海青浦实验中学·期中）一个圆的半径从3厘米增加到7厘米，则周长增加了（   ）厘米 A．4 B． C．8 D． 【变式1-1】（24-25六下·上海闵行·期中）一块圆形草坪的周长是米，则这块草坪的占地面积是 平方米． 【变式1-2】（23-24六上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？（取） 【题型二】圆环面积计算 核心技巧：先统一外圆、内圆的“半径”（已知直径必换算），再用“S圆环=πR²-πr²=π(R²-r²)”简化计算（避免分别算外圆、内圆面积再相减的繁琐）。 【例2】（23-24六上·黑龙江哈尔滨工大附中·期中）一个圆形花坛的半径是7米，正中间有一个直径是6米的圆形喷水池，这个花坛能种花的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式2-1】（23-24六上·黑龙江哈尔滨十七中·期中）如图，是直径为18米的圆形花坛，它的周围有一条宽为3米的小路环绕，小路的面积是 平方米（结果保留π）．    【变式2-2】（24-25六下·上海浦东上南中学·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 【题型三】组合图形的周长、面积 核心技巧：先通过画图定位“正方形或长方形等图形的边长与圆的直径或半径”关系，再按“整体-部分”或“部分+部分”思路分步计算。 【例3】（24-25六下·上海张江集团中学·期中）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25六下·上海交大二附中·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 【变式3-2】（23-24六上·黑龙江大庆肇源东片·期中）计算下面各图阴影部分的面积和周长． 【题型四】实际应用题 核心技巧：将实际场景（如喷灌、车轮、跑道）转化为 “圆的周长 / 面积” 问题，再匹配对应公式，注意单位和生活逻辑。 【例4】（24-25六上·黑龙江绥化明水二中·期中）一辆自行车车轮的直径是0.65米，如果保持车轮以平均每分钟转100圈的速度前进，那么骑25分钟能行多少米？ 【变式4-1】（24-25六下·上海宝山淞谊实验学校·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【变式4-2】（23-24六上·黑龙江哈尔滨四十九中·期中）哈尔滨成功申办2025年亚冬会，筹备工作已逐步进入新阶段，为践行“冰天雪地也是金山银山”发展理念，推动向北开发新高地，进一步打造城市新形象，某公园计划在公园广场上浇筑一块冰上娱乐场地，由两个半圆和一个长方形组成，两个半圆区域为冰尕区，直径为12米；中间长方形区域为狗拉冰车区，长为80米．（取3）      (1)需要浇筑区域为多少平方米？ (2)为缓解客流紧张，狗拉冰车区域被如图分成了三条80米长、4米宽的跑道可供更多游客同时娱乐，现计划用一些漂亮的LED灯线装饰场地各区域外围和跑道分割线（不考虑边框线宽度），且每米装饰灯线40元，浇筑冰场每平方米300元，完成场地建设共需要费用多少元？ 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