专题03 圆柱与圆锥（必备知识+6题型清单+4易错清单）（期中知识清单）六年级数学上学期新教材人教版五四制

专题03圆柱与圆锥（7知识&6题型&4易错&3方法清单） 等底等高：V圆锥=V圆柱 【清单01】圆柱的基础概念与性质 1．定义：由________个大小完全相同的圆形底面和________个曲面侧面围成的________图形，常见于生活中的储罐、柱子、笔筒等物体。 2．组成部分及特征 底面：上下两个完全相同的________，圆心连线________于底面。 侧面：围成圆柱的________，展开后（沿垂直底面方向剪开）为________，长方形的长等于圆柱________，宽等于圆柱的________。 高：两个底面之间的垂直________，有________条，且所有高的长度________。 3．形成方式：①一个长方形以它的任意一条边为轴，旋转一周形成圆柱；②一个圆面沿与自身垂直的方向平移，轨迹形成圆柱。 【清单02】圆柱的表面积计算 1．核心公式：圆柱的表面积=圆柱的________积+2×圆柱的________（适用于完整圆柱，如封闭的圆柱形容器）。 2．各部分面积计算 侧面积：侧面积=________×________，若底面半径为、高为，则侧面积公式为（取3.14或题目指定值）。 底面积：底面积为圆形面积，公式为S=________，两个底面积即________。 特殊场景应用：无盖圆柱（如水桶、厨师帽）的表面积=侧面积+1个底面积，需忽略顶部开口的“无盖”部分，避免多算一个底面积。 【清单03】圆柱的体积计算 1．推导思路：将圆柱沿底面半径切成若干个小扇形，再拼成一个近似的长方体，拼成的长方体底面积等于圆柱的________，长方体的高等于圆柱的________；因长方体体积=________×________，故圆柱体积与长方体体积计算逻辑一致。 2．体积公式 基本公式：V圆柱=________（S_为圆柱底面积，为圆柱高）。 具体公式：若已知底面半径，则V圆柱=________。 常见应用：求圆柱容积（需从容器内部测量底面半径和高，如判断杯子能否装下一定体积的牛奶）、空心圆柱体积（外圆柱体积-内圆柱体积，如钢管用料体积）。 【清单04】圆锥的基础概念与性质 1．定义：由________圆形底面和________曲面侧面围成的立体图形，生活中常见于斗笠、漏斗、圆锥形烟囱帽等物体。 2．组成部分及特征 底面：一个圆形的平面，圆心是底面圆的中心。 侧面：围成圆锥的曲面，展开后为一个________，扇形的半径等于圆锥的________（从圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段），扇形的弧长等于圆锥底面________。 高：从圆锥顶点到底面圆心的垂直________，仅有________条，测量时需保证底面水平、测量工具垂直于底面。 3．形成方式：一个直角三角形以它的一条直角边为轴，旋转一周形成圆锥（另一条直角边旋转形成底面半径，斜边旋转形成侧面）。 【清单05】圆锥的表面积计算 1．核心公式：圆锥的表面积=圆锥的________+圆锥的________（适用于完整圆锥，若为“无底”场景如烟囱帽，仅需计算侧面积）。 2．各部分面积计算 侧面积：侧面积=________×________，因弧长等于底面周长、母线长为，故侧面积公式为。 底面积：与圆柱底面积计算一致，公式为S底=________。 关键注意点：计算侧面积时需明确“母线长”与“高”的区别，母线长是顶点到底面圆周的线段，并非圆锥的高，二者不可混淆。 【清单06】圆锥的体积计算 1．推导思路：通过实验可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的（需满足“等底”且“等高”两个条件，缺一不可）。 2．体积公式 基本公式：V圆锥=（S为圆锥底面积，为圆锥高）。 具体公式：若已知底面半径，则V圆锥=。 3．常见应用：求圆锥形物体体积（如沙堆、铅锤）、与圆柱体积关联计算。 【清单07】圆柱与圆锥的关联关系 1．等底等高条件下：V圆柱=V圆锥，即圆柱体积是圆锥体积的3倍。 2．等积等底条件下：圆锥的高=________×圆柱的高（因体积和底面积相同，高与成反比）。 3．等积等高条件下：圆锥的底面积=________×圆柱的底面积（因体积和高相同，底面积与成反比）。 【题型一】圆柱与圆锥的概念辨析题 【例1】如图，图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是（      ） A．三角形 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 【变式1-1】（23-24六上·山东东营利津·期中）与篮球、红砖、旗杆所类似的图形分别是（    ） A．圆、长方体、线段 B．球、长方体、圆柱 C．圆、长方形、圆柱 D．球、长方形、线段 【变式1-2】（24-25六下·上海闵行中学附属实验·期末）下列关于圆柱和圆锥的说法错误的是（　　） A．圆锥有无数条母线，且长度都和圆锥的高度相等 B．圆柱有无数条母线，且长度都和圆柱的高度相等 C．沿着圆锥的任意一条母线把圆锥的侧面剪开，展开图是一个扇形 D．沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，展开图是一个长方形 【题型二】圆柱的表面积计算 【例2】（24-25七下·黑龙江大庆庆新中学·期中）一个圆柱形蓄水池，从里面量底面直径20米，高3米，要在这个蓄水池底面和四周抹上水泥．抹水泥部分的面积是（　　） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式2-1】（24-25七上·北京海淀·人大附中·分班考）一个圆柱体的表面积是平方厘米．把它从中间切开，得到两个一样的圆柱体，它们的表面积和是平方厘米．那么原来圆柱体的高是 厘米（）． 【变式2-2】（23-24小升初·河南周口四初中·分班考）林叔叔用彩纸做了一个圆柱形的灯笼（如图），灯笼的底面直径为，高，上下底面的中间分别留出了直径为的圆孔，他用了多少彩纸？（得数保留整十数．） 【题型三】圆柱与圆锥的体积计算 【例3】（23-24七上·广州大学附中·入学）大圆柱的高是小圆柱的2倍，大圆柱的侧面积是小圆柱侧面积的12倍，大圆柱的体积是小圆柱体积的（    ）倍． A．12 B．24 C．36 D．72 【变式3-1】（24-25七上·四川成都七中万达·分班模拟）一根圆柱体木料的体积是立方分米，要削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米． 【变式3-2】（23-24七上·湖北武汉重点中学·分班）龙卷风是一种强涡旋现象，常发生在夏季，破坏力极大．某次龙卷风的高度约为，顶部直径约为，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为多少? 【题型四】圆柱的容积计算 【例4】（24-25六上·人教·单元检测）求圆柱形木桶内盛多少升水，就是求水桶的（   ） A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 【变式4-1】（23-24六下·黑龙江绥化明水二中·开学）一个内直径是的瓶子里，水的高度是，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是．这个瓶子的容积是 【变式4-2】（24-25六上·人教·单元检测）节约用水是我们每个小学生的义务，学校用的自来水管内直径为分米，自来水的流速，一般为每秒5分米，如果你忘记关上水龙头，一分钟你将浪费多少升水？ 【题型五】圆锥的侧面积 【例5】（2025·云南昆明实验中学·学业水平复习检测）小米给过生日的弟弟做了一顶圆锥形的生日帽，经过测量这顶圆锥形帽的母线长度为30厘米，底面圆的半径为15厘米，则该圆锥帽的侧面积为（    ） A．225平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式5-1】（2025·江苏无锡·中考）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 【变式5-2】如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 【题型六】圆柱与圆锥组合体的计算 【例6】（24-25七上·云南昆明五华区·新生分班）下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25六下·上海宝山实验学校·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【变式6-2】（23-24七上·广东广州广附中·入学）（组合图形求表面积、体积）如图所示的百宝箱，上面是一个圆柱的一半，下面是一个长、宽、高的长方体，这个百宝箱的外表面积是多少？它的体积是多少？ 【题型一】计算圆柱表面积时“场景判断错误”致错 【例1】（24-25六下·黑龙江大庆肇源四中·期末）做一个无盖的圆柱形水桶，求至少需要多少铁皮，就是求水桶的（    ） A．底面积 B．侧面 C．侧面积+一个底面积 【变式1-1】（24-25七下·上海宝莲中学·3月月考）做一个底面半径为，长的烟囱，至少需要铁皮 ．（取3.14） 【变式1-2】做节相同的圆柱形通风管，通风管的底面直径是厘米，长米．做这些通风管至少需要多少平方米铁皮？（得数保留整数） 【题型二】圆锥体积计算遗漏“”致错 【例2】（25-26七上·黑龙江佳木斯桦川县·开学）把一个棱长6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方厘米． A．56.52 B．216 C．169.56 D．72 【变式2-1】（24-25七上·河南郑州二中·分班）明、清时期是我国瓷器发展史上的极盛时期．一名工匠在制瓷时将长方体陶土块削成了一个最大的圆锥，削成的这个圆锥的体积是( )． 【变式2-2】（25-26七上·安徽淮南潘集区·开学学情调研）一个圆锥形的小麦堆，底面周长是12.56米，高是0.9米，每立方米小麦重745千克，这堆小麦大约有多少千克？ 【题型三】“等底等高、等积等底、等积等高”关系混淆致错 【例3】一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高相等，体积相差立方分米，则圆柱和圆锥的体积各是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和体积分别相等，已知圆柱体的高6厘米，那么圆锥体的高是 ( )厘米． 【变式3-2】一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加，那么圆柱和圆锥的体积相等．已知圆锥的底面半径是，则原来圆锥的体积是 立方厘米． 【题型四】单位不统一致错 【例4】（24-25六下·黑龙江大庆肇源·开学）一根长5m的圆柱形木棒，把他截成三段，表面积增加了60，这根圆柱形木棒的体积是( )． 【变式4-1】（24-25六下·黑龙江大庆肇源东部五校·4月月考）一个圆锥形沙堆，量得它的底面周长是，高．用这堆沙在宽的公路上铺厚的路面，能铺多长？（取） 【变式4-2】（24-25七上·江苏连云港实验学校·开学）一个圆锥形的沙堆，底面积是平方米，高是分米，用这堆沙子去填一个长米、宽米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？ 【题型一】圆柱侧面积与表面积的快速计算 核心方法： （1）侧面积：若已知底面周长和高，直接用（无需重复计算，减少步骤）；若已知半径，则；已知直径，则。 （2）表面积： 封闭圆柱（如礼盒）：； 无盖圆柱（如水桶）：； 无底无盖（如烟囱）：。 【例1】（25-26七上·云南曲靖麒麟·学业监测）把一个底面直径和高都是的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ．（取3.14） 【变式1-1】（24-25六下·黑龙江哈尔滨十七中·期中）一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮转动三周，压路的面积是多少平方米？（取3.14） 【变式1-2】一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径是，池深．镶瓷砖的面积是多少？ 【题型二】圆柱与圆锥体积的高效计算 核心方法： （1）圆柱体积：V柱=S底h=πr2h（已知底面积S底时，直接用S底h，无需再算πr2）； （2）圆锥体积：V锥=S底h=πr2h（关键：先写“”，再代入数据，避免遗漏）。 【例2】（24-25七上·广东深圳罗湖外语初中·期中）如图，一个高的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，表面积增加，原来圆柱的体积是 ． 【变式2-1】（23-24六下·黑龙江绥化绥棱克音河乡学校·期中）工程队运来一堆沙，这堆沙成圆锥形，占地面积是平方米，高是米，如果每立方米沙重吨，那么这堆沙重多少吨？（注意：列综合算式） 【变式2-2】（23-24六下·黑龙江绥化绥棱克音河乡学校·期中）一个无盖圆柱形容器，底面直径是20厘米，高30厘米，装有24厘米高的水，将一个石块放入水中（完全浸没），水面上升到了27厘米．这个石块的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 【题型三】 【例3】圆柱与圆锥组合体的体积或表面积计算 核心方法： （1）体积计算：直接求和（差） 组合体体积=圆柱体积+圆锥体积（无重叠部分），直接分别计算两部分体积再相加，无需考虑贴合面（贴合面不影响体积）。 （2）表面积计算：扣减贴合面 先分别计算圆柱和圆锥的表面积，再扣减“贴合部分的面积×2”（因贴合面在圆柱和圆锥上各有一个，均不暴露，需同时扣减）。 【例3】（24-25六下·黑龙江哈尔滨一一三中学·期中）用长，宽的长方形铁皮围成一个体积最大的圆柱（接口处忽略不计），下面焊接一个和圆柱等底的圆锥形成一个密闭容器，在这个容器中注入一定量的水（如图所示），其中圆柱部分水面高，若将容器倒过来，则水面高度为，则图中圆锥的体积为 ．（取） 【变式3-1】（23-24六上·山东东营胜利六十二中学·开学）如图，用32升水刚好把整个容器装满，如果只把圆锥部分装满，则需要( )升水．    【变式3-2】（23-24六上·山东淄博张店区·期中）综合与实践 提出问题： 小华在探究“圆锥的体积”时，想通过实验发现“圆锥的体积与同它等底等高的圆柱的体积之间的关系”，推导出圆锥的体积计算公式．（单位：） 操作探究： (1)根据A号圆锥，小华应选______号圆柱与其进行实验；（从B，C，D，E号中选一个） (2)实验时发现，把A号圆锥装满水，倒入所选的圆柱，3次正好倒满，从而推导出圆锥的体积是与它等底、等高圆柱体积的______； (3)形成结论：若一个圆锥的底面半径为，高度为，则这个圆锥的体积为______．（） (4)生活应用：蒙古包是草原上一道风景线，它是由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成（如图）． ①这个蒙古包的占地面积有多大？ ②这个蒙古包的内部空间有多大？ （材料厚度忽略不计，结果保留） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆柱与圆锥（7知识&6题型&4易错&3方法清单） 等底等高：V圆锥=V圆柱 【清单01】圆柱的基础概念与性质 1．定义：由两个大小完全相同的圆形底面和一个曲面侧面围成的立体图形，常见于生活中的储罐、柱子、笔筒等物体。 2．组成部分及特征 底面：上下两个完全相同的圆面，圆心连线垂直于底面。 侧面：围成圆柱的曲面，展开后（沿垂直底面方向剪开）为长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高。 高：两个底面之间的垂直距离，有无数条，且所有高的长度相等。 3．形成方式：①一个长方形以它的任意一条边为轴，旋转一周形成圆柱；②一个圆面沿与自身垂直的方向平移，轨迹形成圆柱。 【清单02】圆柱的表面积计算 1．核心公式：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+2×圆柱的底面积（适用于完整圆柱，如封闭的圆柱形容器）。 2．各部分面积计算 侧面积：侧面积=底面周长×高，若底面半径为、高为，则侧面积公式为（取3.14或题目指定值）。 底面积：底面积为圆形面积，公式为S=πr2，两个底面积即2πr2。 特殊场景应用：无盖圆柱（如水桶、厨师帽）的表面积=侧面积+1个底面积，需忽略顶部开口的“无盖”部分，避免多算一个底面积。 【清单03】圆柱的体积计算 1．推导思路：将圆柱沿底面半径切成若干个小扇形，再拼成一个近似的长方体，拼成的长方体底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高；因长方体体积=底面积×高，故圆柱体积与长方体体积计算逻辑一致。 2．体积公式 基本公式：V圆柱=Sh（S_为圆柱底面积，为圆柱高）。 具体公式：若已知底面半径，则V圆柱=πr2h。 常见应用：求圆柱容积（需从容器内部测量底面半径和高，如判断杯子能否装下一定体积的牛奶）、空心圆柱体积（外圆柱体积-内圆柱体积，如钢管用料体积）。 【清单04】圆锥的基础概念与性质 1．定义：由一个圆形底面和一个曲面侧面围成的立体图形，生活中常见于斗笠、漏斗、圆锥形烟囱帽等物体。 2．组成部分及特征 底面：一个圆形的平面，圆心是底面圆的中心。 侧面：围成圆锥的曲面，展开后为一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线（从圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段），扇形的弧长等于圆锥底面周长。 高：从圆锥顶点到底面圆心的垂直距离，仅有1条，测量时需保证底面水平、测量工具垂直于底面。 3．形成方式：一个直角三角形以它的一条直角边为轴，旋转一周形成圆锥（另一条直角边旋转形成底面半径，斜边旋转形成侧面）。 【清单05】圆锥的表面积计算 1．核心公式：圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积（适用于完整圆锥，若为“无底”场景如烟囱帽，仅需计算侧面积）。 2．各部分面积计算 侧面积：侧面积=扇形弧长×母线长，因弧长等于底面周长、母线长为，故侧面积公式为。 底面积：与圆柱底面积计算一致，公式为S底=πr2。 关键注意点：计算侧面积时需明确“母线长”与“高”的区别，母线长是顶点到底面圆周的线段，并非圆锥的高，二者不可混淆。 【清单06】圆锥的体积计算 1．推导思路：通过实验可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的（需满足“等底”且“等高”两个条件，缺一不可）。 2．体积公式 基本公式：V圆锥=Sh（S为圆锥底面积，为圆锥高）。 具体公式：若已知底面半径，则V圆锥=πr2h。 3．常见应用：求圆锥形物体体积（如沙堆、铅锤）、与圆柱体积关联计算。 【清单07】圆柱与圆锥的关联关系 1．等底等高条件下：V圆柱=V圆锥，即圆柱体积是圆锥体积的3倍。 2．等积等底条件下：圆锥的高=3×圆柱的高（因体积和底面积相同，高与成反比）。 3．等积等高条件下：圆锥的底面积=3×圆柱的底面积（因体积和高相同，底面积与成反比）。 【题型一】圆柱与圆锥的概念辨析题 【例1】如图，图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是（      ） A．三角形 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 【答案】B 【分析】根据“面动成体”可得出直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周后所得的几何体的形状． 【详解】解：直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体是圆锥体， 故选：B． 【点睛】本题考查了点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是解决问题的前提． 【变式1-1】（23-24六上·山东东营利津·期中）与篮球、红砖、旗杆所类似的图形分别是（    ） A．圆、长方体、线段 B．球、长方体、圆柱 C．圆、长方形、圆柱 D．球、长方形、线段 【答案】B 【分析】本题考查立体图形，掌握立体图形的形状特征是解题的关键. 【详解】观察物体的形状特征,结合图形的特点，可知对应物体的类似图形如下：篮球与球体类似，红砖与长方体类似，旗杆与圆柱体类似， 故选B. 【变式1-2】（24-25六下·上海闵行中学附属实验·期末）下列关于圆柱和圆锥的说法错误的是（　　） A．圆锥有无数条母线，且长度都和圆锥的高度相等 B．圆柱有无数条母线，且长度都和圆柱的高度相等 C．沿着圆锥的任意一条母线把圆锥的侧面剪开，展开图是一个扇形 D．沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，展开图是一个长方形 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱和圆锥以及几何体的展开图，根据圆锥和圆柱的定义以及特征判断即可． 【详解】解：A．圆锥有无数条母线，且长度都和圆锥的高长度不相等，故选项A符合题意； B．圆柱有无数条母线，且长度都和圆柱的高长度相等，故选项B不符合题意； C．沿着圆锥的任意一条母线把圆锥的侧面剪开，展开图是一个扇形，故选项C不符合题意； D．沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，展开图是一个长方形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【题型二】圆柱的表面积计算 【例2】（24-25七下·黑龙江大庆庆新中学·期中）一个圆柱形蓄水池，从里面量底面直径20米，高3米，要在这个蓄水池底面和四周抹上水泥．抹水泥部分的面积是（　　） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】先计算底面圆的半径，后根据圆柱的表面积公式计算即可． 本题考查了圆柱的侧面积计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：（米） 根据题意，得（平方米） 故选：D． 【变式2-1】（24-25七上·北京海淀·人大附中·分班考）一个圆柱体的表面积是平方厘米．把它从中间切开，得到两个一样的圆柱体，它们的表面积和是平方厘米．那么原来圆柱体的高是 厘米（）． 【答案】 【分析】本题主要考查圆柱的表面积，熟知底面面积、侧面面积公式是解题的关键． 根据切开前后相差2个底面，可得到底面半径，再根据表面积得到高即可． 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为，高为， 中间切开，得到两个一样的圆柱体， 所以切开后多了两个底面，则一个底面的面积为， 即， 解得， 又因为原来圆柱表面积为平方厘米， 所以， 解得． 所以原来圆柱体的高是10厘米． 故答案为：10． 【变式2-2】（23-24小升初·河南周口四初中·分班考）林叔叔用彩纸做了一个圆柱形的灯笼（如图），灯笼的底面直径为，高，上下底面的中间分别留出了直径为的圆孔，他用了多少彩纸？（得数保留整十数．） 【答案】 【分析】本题考查知识点为圆柱的表面积计算，熟练掌握圆柱的表面积公式是解决本题的关键． 先分别求出圆柱的侧面积、两个底面的面积，再减去上下底面留出圆孔的面积，最后将各部分面积相加得到所用彩纸的面积． 【详解】解：∵灯笼的底面直径，高， 则底面圆的周长， ∴圆柱的侧面积， ∵底面半径， ∴底面的面积， ∵圆孔直径为， 则圆孔半径， ∴一个圆孔的面积， ∴， ∴彩纸的总面积为， ∴， 根据题目要求得数保留整十数， ∴他用了彩纸． 【题型三】圆柱与圆锥的体积计算 【例3】（23-24七上·广州大学附中·入学）大圆柱的高是小圆柱的2倍，大圆柱的侧面积是小圆柱侧面积的12倍，大圆柱的体积是小圆柱体积的（    ）倍． A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了圆柱的体积． 设小圆柱的高为h，底面半径为r，再根据题意表示大圆柱的高和半径，再分别求出它们的体积． 【详解】解：设小圆柱的高为h，底面半径为r，则侧面积为，体积为：， 由题意得：大圆柱的高为，侧面积为， 则大圆柱的底面圆的半径为：， ∴大圆柱的体积为：， ∴大圆柱的体积是小圆柱体积的72倍． 故选：D． 【变式3-1】（24-25七上·四川成都七中万达·分班模拟）一根圆柱体木料的体积是立方分米，要削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米． 【答案】 【分析】本题主要考查圆柱和圆锥的体积，掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系是解决问题的关键． 将一个圆柱体削制成一个最大的圆锥体，也就是说削成的圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱，即削去部分的体积是圆柱体积的，削去部分的体积是圆锥体积的2倍．据此解答． 【详解】解：把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，削去部分体积是圆柱的， 立方分米， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七上·湖北武汉重点中学·分班）龙卷风是一种强涡旋现象，常发生在夏季，破坏力极大．某次龙卷风的高度约为，顶部直径约为，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为多少? 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，根据圆锥的体积公式，把数据代入公式解答。 【详解】解: (立方米) 答：这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为314000立方米． 【题型四】圆柱的容积计算 【例4】（24-25六上·人教·单元检测）求圆柱形木桶内盛多少升水，就是求水桶的（   ） A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 【答案】D 【分析】此题考查了圆柱的计算，一个圆柱形水桶能装多少升水是它容纳物体的多少，就是求这个圆柱的容积．由容积的意义可得答案． 【详解】解：求圆柱形木桶内盛多少升水，就是求水桶的容积． 故选：D． 【变式4-1】（23-24六下·黑龙江绥化明水二中·开学）一个内直径是的瓶子里，水的高度是，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是．这个瓶子的容积是 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体的容积问题；从图中可知，瓶子正放时，空白部分是一个不规则图形；瓶子倒置之后，空白部分正好是一个圆柱形；因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒置时的空白部分的容积相等，那么这个瓶子的容积=水的体积+倒置时空白部分的容积，根据圆柱的体积(容积)公式,代入数据计算即可解答；注意单位的换算：． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25六上·人教·单元检测）节约用水是我们每个小学生的义务，学校用的自来水管内直径为分米，自来水的流速，一般为每秒5分米，如果你忘记关上水龙头，一分钟你将浪费多少升水？ 【答案】升水 【分析】本题主要考查了圆柱体积的应用，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决问题是解题的关键． 自来水管的形状是圆柱形，要求浪费多少升水，就应根据圆柱体的体积计算公式求出每秒流出的水量，然后乘60秒即可． 【详解】解：1分钟秒， （立方分米） （升）． 答：一分钟你将浪费升水． 【题型五】圆锥的侧面积 【例5】（2025·云南昆明实验中学·学业水平复习检测）小米给过生日的弟弟做了一顶圆锥形的生日帽，经过测量这顶圆锥形帽的母线长度为30厘米，底面圆的半径为15厘米，则该圆锥帽的侧面积为（    ） A．225平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，利用圆锥侧面积公式为，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，母线长，底面圆的半径， 该圆锥形帽的侧面积为， 故选：D． 【变式5-1】（2025·江苏无锡·中考）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【变式5-2】如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，理解圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键． 利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为：． 答：所需油毡的面积至少是． 【题型六】圆柱与圆锥组合体的计算 【例6】（24-25七上·云南昆明五华区·新生分班）下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式分别求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：A、 （立方厘米）； B、 （立方厘米）； C、 （立方厘米）； D． （立方厘米）； ， 答：A的体积最大． 故选：A． 【变式6-1】（24-25六下·上海宝山实验学校·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的体积，圆柱的体积，熟练掌握圆锥的体积公式，圆柱的体积公式是解题的关键． 根据圆锥和圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：， 答：图形的体积为． 【变式6-2】（23-24七上·广东广州广附中·入学）（组合图形求表面积、体积）如图所示的百宝箱，上面是一个圆柱的一半，下面是一个长、宽、高的长方体，这个百宝箱的外表面积是多少？它的体积是多少？ 【答案】这个百宝箱的外表面积是，它的体积是． 【分析】此题考查了组合图形求表面积、体积．根据图形列式计算即可． 【详解】解：外表面积： 体积： 答：这个百宝箱的外表面积是，它的体积是． 【题型一】计算圆柱表面积时“场景判断错误”致错 【例1】（24-25六下·黑龙江大庆肇源四中·期末）做一个无盖的圆柱形水桶，求至少需要多少铁皮，就是求水桶的（    ） A．底面积 B．侧面 C．侧面积+一个底面积 【答案】C 【分析】无盖的圆柱形水桶缺少上底面，因此所需铁皮的面积应为侧面积加上一个底面积． 本题考查了圆柱的侧面积，表面积，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：圆柱的表面积通常包括两个底面积和一个侧面积， 由于水桶无盖，即缺少一个上底面， 故所需铁皮的最小面积应为侧面积与一个底面积之和， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七下·上海宝莲中学·3月月考）做一个底面半径为，长的烟囱，至少需要铁皮 ．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积，解题的关键是了解烟囱的形状，烟囱为圆柱形，计算出圆柱的侧面积即可得解． 【详解】解：， ∴至少需要的铁皮， 故答案为：． 【变式1-2】做节相同的圆柱形通风管，通风管的底面直径是厘米，长米．做这些通风管至少需要多少平方米铁皮？（得数保留整数） 【答案】做这些通风管至少需要平方米铁皮 【分析】通风管要用多少铁皮，求的是圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积底面周长高，用，求出一节通风管要用多少铁皮，然后乘即可，注意运用进一法保留近似数． 【详解】解：厘米米， ， ， ， 平方米， 答：做这些通风管至少需要平方米铁皮． 【点睛】此题考查圆柱的侧面积，按公式计算即可，注意乘，单位名称的换算和求近似数的方法是解答本题的关键． 【题型二】圆锥体积计算遗漏“”致错 【例2】（25-26七上·黑龙江佳木斯桦川县·开学）把一个棱长6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方厘米． A．56.52 B．216 C．169.56 D．72 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的体积，先理解题意，得出圆锥底面半径，高，再根据圆锥的体积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵把一个棱长6厘米的正方体削成一个最大的圆锥， ∴圆锥底面直径，高， 即圆锥底面半径， ∴体积， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七上·河南郑州二中·分班）明、清时期是我国瓷器发展史上的极盛时期．一名工匠在制瓷时将长方体陶土块削成了一个最大的圆锥，削成的这个圆锥的体积是( )． 【答案】 【分析】本题的核心是将长方体陶土块削成最大圆锥，关键在于确定圆锥在长方体中的最佳放置方式，以此确定圆锥的底面直径和高．需要分别考虑长方体三个不同面作为圆锥底面的情况，计算出对应的圆锥体积，再进行比较，从而得出最大体积． 【详解】解：以的面为底面时， （） 以的面为底面时， （） 以的面为底面时， （）， ． 所以削成的这个圆锥的体积是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥体积公式的实际应用，以及在长方体中如何合理确定圆锥的底面和高以得到最大体积．熟练掌握圆锥体积公式，并且能够准确分析长方体中不同放置方式下圆锥的底面半径和高，是解题的关键． 【变式2-2】（25-26七上·安徽淮南潘集区·开学学情调研）一个圆锥形的小麦堆，底面周长是12.56米，高是0.9米，每立方米小麦重745千克，这堆小麦大约有多少千克？ 【答案】千克 【分析】先根据圆锥底面周长求出底面半径，再利用圆锥体积公式求出体积，最后乘以每立方米小麦的重量得到小麦总重量． 【详解】解：（米） （立方米） （千克） 答：这堆小麦大约有千克． 【题型三】“等底等高、等积等底、等积等高”关系混淆致错 【例3】一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高相等，体积相差立方分米，则圆柱和圆锥的体积各是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积关系及体积计算，解题的关键是掌握“等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍”这一核心关系，并利用体积差求出两者体积． 根据等底等高的圆柱与圆锥体积关系，设圆锥体积为，则圆柱体积为；由体积相差立方分米，列等式，求出圆锥体积；再计算圆柱体积，最后对比选项确定答案． 【详解】解：∵圆柱和圆锥底面积相等、高相等， ∴圆柱体积圆锥体积（等底等高圆柱与圆锥体积关系） 设圆锥体积为，则圆柱体积为， 由体积差得：， ， ∴， 圆柱体积（立方分米）， 故选：C． 【变式3-1】一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和体积分别相等，已知圆柱体的高6厘米，那么圆锥体的高是 ( )厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用．因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍．根据求一个数的几倍是多少，用乘法解答． 【详解】解：（厘米） 答：圆锥的高是18厘米． 故答案为：18． 【变式3-2】一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加，那么圆柱和圆锥的体积相等．已知圆锥的底面半径是，则原来圆锥的体积是 立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱体积，圆锥体积，掌握相关知识是解决问题的关键．圆柱的体积，圆锥的体积，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的高增加厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍，先算出圆锥原来的高，再根据圆锥的体积公式算出原来圆锥的体积即可． 【详解】解：∵圆柱的体积，圆锥的体积， ∴等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍， 则圆锥的高增加厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍， ∴原来圆锥的高为：（厘米）， ∵已知圆锥的底面半径是， ∴原来圆锥的体积为：（立方厘米）． 故答案为：． 【题型四】单位不统一致错 【例4】（24-25六下·黑龙江大庆肇源·开学）一根长5m的圆柱形木棒，把他截成三段，表面积增加了60，这根圆柱形木棒的体积是( )． 【答案】750 【分析】本题主要考查了求圆柱的体积， 将圆柱截成三段增加的表面积为4个底面面积，可求出圆柱的底面面积为15，再将，然后根据体积公式得出答案． 【详解】解：将圆柱截成三段表面积增加了60，， 所以圆柱的底面面积等于 ， 所以圆柱的体积为． 故答案为：750． 【变式4-1】（24-25六下·黑龙江大庆肇源东部五校·4月月考）一个圆锥形沙堆，量得它的底面周长是，高．用这堆沙在宽的公路上铺厚的路面，能铺多长？（取） 【答案】用这堆沙铺路能铺． 【分析】本题考查的知识点是圆的周长计算公式、圆锥的体积计算公式，解题关键是熟练掌握圆锥的体积计算公式． 先由圆的周长计算公式算出该圆柱形沙堆的半径，再计算出圆锥的体积后除以公路的宽和路面的厚度即可得解． 【详解】解：圆锥形沙堆的半径是， 则用这堆沙铺路能铺． 答：用这堆沙铺路能铺． 【变式4-2】（24-25七上·江苏连云港实验学校·开学）一个圆锥形的沙堆，底面积是平方米，高是分米，用这堆沙子去填一个长米、宽米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？ 【答案】沙坑里沙子的厚度是厘米． 【分析】本题考查了圆锥的体积公式、长方体的体积公式，根据题意可知把圆锥形的沙堆填在长方体沙坑里，沙的体积不变，根据圆锥的体积公式，求出沙的体积，然后用沙的体积除以长方体沙坑的底面积即可，解题的关键是理解题意，掌握并灵活运用这些知识点． 【详解】解：分米米， （米）， 米厘米， 答：沙坑里沙子的厚度是厘米． 【题型一】圆柱侧面积与表面积的快速计算 核心方法： （1）侧面积：若已知底面周长和高，直接用（无需重复计算，减少步骤）；若已知半径，则；已知直径，则。 （2）表面积： 封闭圆柱（如礼盒）：； 无盖圆柱（如水桶）：； 无底无盖（如烟囱）：。 【例1】（25-26七上·云南曲靖麒麟·学业监测）把一个底面直径和高都是的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是解题的关键．根据题意可知不规则图形的面积等于圆柱的侧面积，再利用圆柱的侧面积公式即可求解． 【详解】解：， 所以这个不规则图形的面积是． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25六下·黑龙江哈尔滨十七中·期中）一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮转动三周，压路的面积是多少平方米？（取3.14） 【答案】22.608平方米 【分析】本题主要考查了圆柱的展开图，解题关键是弄清题目数量关系．先求圆的周长米，再求面积平方米即可． 【详解】解：（平方米）． 答：压路的面积是22.608平方米． 【变式1-2】一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径是，池深．镶瓷砖的面积是多少？ 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积和底面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得：水池内壁的面积为， 水池底面积为， ∴镶瓷砖的面积为． 【点睛】本题考查了圆柱的表面积的有关计算，熟练掌握圆柱的侧面积和底面积公式是解题的关键． 【题型二】圆柱与圆锥体积的高效计算 核心方法： （1）圆柱体积：V柱=S底h=πr2h（已知底面积S底时，直接用S底h，无需再算πr2）； （2）圆锥体积：V锥=S底h=πr2h（关键：先写“”，再代入数据，避免遗漏）。 【例2】（24-25七上·广东深圳罗湖外语初中·期中）如图，一个高的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，表面积增加，原来圆柱的体积是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了求圆柱的体积，先求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积=底面积高，即可求解． 【详解】解：一个高4dm的圆柱被截成两个完全一样的圆柱，增加的是两个底面面积， ∴底面面积：， ∴圆柱的体积是， 故答案为：20． 【变式2-1】（23-24六下·黑龙江绥化绥棱克音河乡学校·期中）工程队运来一堆沙，这堆沙成圆锥形，占地面积是平方米，高是米，如果每立方米沙重吨，那么这堆沙重多少吨？（注意：列综合算式） 【答案】这堆沙重吨 【分析】本题考查了圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥的体积公式．先根据圆锥的体积公式求出圆锥的体积，再根据“如果每立方米沙重吨”，即可求解． 【详解】解： （吨） 答：这堆沙重吨． 【变式2-2】（23-24六下·黑龙江绥化绥棱克音河乡学校·期中）一个无盖圆柱形容器，底面直径是20厘米，高30厘米，装有24厘米高的水，将一个石块放入水中（完全浸没），水面上升到了27厘米．这个石块的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】这个石块的体积是942立方厘米． 【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，根据题意小石块的体积等于圆柱的底面积乘以水面上升的高度，据此列式计算即可． 【详解】解：， 立方厘米， 答：这个石块的体积是942立方厘米． 【题型三】 【例3】圆柱与圆锥组合体的体积或表面积计算 核心方法： （1）体积计算：直接求和（差） 组合体体积=圆柱体积+圆锥体积（无重叠部分），直接分别计算两部分体积再相加，无需考虑贴合面（贴合面不影响体积）。 （2）表面积计算：扣减贴合面 先分别计算圆柱和圆锥的表面积，再扣减“贴合部分的面积×2”（因贴合面在圆柱和圆锥上各有一个，均不暴露，需同时扣减）。 【例3】（24-25六下·黑龙江哈尔滨一一三中学·期中）用长，宽的长方形铁皮围成一个体积最大的圆柱（接口处忽略不计），下面焊接一个和圆柱等底的圆锥形成一个密闭容器，在这个容器中注入一定量的水（如图所示），其中圆柱部分水面高，若将容器倒过来，则水面高度为，则图中圆锥的体积为 ．（取） 【答案】 【分析】该题考查了圆锥和圆柱的体积，根据题意求出圆柱的底面圆半径，根据若将容器倒过来，则水面高度为，求出水的体积，再根据圆锥的体积水的体积高为的圆柱体积求解即可． 【详解】解：根据题意可得圆柱的高为，底面圆周长为， 故圆柱的底面圆半径为， 根据题意水的体积为：， 则圆锥的体积为， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24六上·山东东营胜利六十二中学·开学）如图，用32升水刚好把整个容器装满，如果只把圆锥部分装满，则需要( )升水．    【答案】8 【分析】根据圆柱与圆锥的体积关系进行解答即可． 【详解】解：∵圆锥和圆柱的底面积相同，高也相等， ∴， ∵用32升水刚好把整个容器装满，即升， ∴只把圆锥部分装满，则需要水的体积为： （升）， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积关系，解题的关键是熟练掌握圆锥的体积公式，圆柱的体积公式． 【变式3-2】（23-24六上·山东淄博张店区·期中）综合与实践 提出问题： 小华在探究“圆锥的体积”时，想通过实验发现“圆锥的体积与同它等底等高的圆柱的体积之间的关系”，推导出圆锥的体积计算公式．（单位：） 操作探究： (1)根据A号圆锥，小华应选______号圆柱与其进行实验；（从B，C，D，E号中选一个） (2)实验时发现，把A号圆锥装满水，倒入所选的圆柱，3次正好倒满，从而推导出圆锥的体积是与它等底、等高圆柱体积的______； (3)形成结论：若一个圆锥的底面半径为，高度为，则这个圆锥的体积为______．（） (4)生活应用：蒙古包是草原上一道风景线，它是由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成（如图）． ①这个蒙古包的占地面积有多大？ ②这个蒙古包的内部空间有多大？ （材料厚度忽略不计，结果保留） 【答案】(1)B (2) (3) (4)①这个蒙古包的占地面积为平方米；②这个蒙古包的内部空间为立方米 【分析】本题主要考查圆锥的体积，熟练掌握圆锥的体积是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）根据（1）（2）可进行求解； （4）①根据圆的面积可进行求解；②根据圆锥的体积可进行求解． 【详解】（1）根据A号圆锥，小华应选B号圆柱与其进行实验； 故答案为B； （2）圆锥的体积是与它等底、等高圆柱体积的； 故答案为； （3）由题意得：； 故答案为； （4）解：①由题意得：（平方米）， 答：这个蒙古包的占地面积平方米． ②（平方米）， 答：这个蒙古包的内部空间有平方米． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $