第三章　函　数课件 2026年中考数学一轮系统复习（云南）

该初中数学中考复习课件系统覆盖平面直角坐标系、函数基础等核心考点，严格对接中考说明，分析坐标系相关题目占比达40%、函数图像分析占25%的考点权重，归纳出点的坐标确定、对称与平移等常考题型，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧提炼”模式，如2025成都真题“点所在象限”题通过分析坐标符号培养空间观念，温度计读数图像题借助几何直观突破函数图像理解。帮助学生掌握对称点坐标规律等技巧，教师可依此高效组织冲刺复习，提升教学效果。

第九节　二次函数与几何综合 类型一：二次函数与线段问题 三 1．(2025·内江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B的直线l：y＝x－1与抛物线的另一个交点为D，M为抛物线对称轴上的一点，连接MB，MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值． 返回目录 解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. (2)联立解得 ∴D(－4，－5)， ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，4)，∴M(－1，n)， ∵MB＝MD，∴MB2＝MD2， ∴22＋n2＝32＋(n＋5)2，解得n＝－3. 返回目录 2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，顶点坐标为B . (1)求b，c的值； (2)若C是x轴上一动点，求△ABC周长的最小值； (3)m是抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标 ，求6m5＋10m4＋3m3＋2m2＋m－2 026的值． 返回目录 解：(1)由题意可知 c＝－， 把点B代入 y＝x2＋bx－，得 －＝2＋b－，解得b＝1， ∴b＝1，c＝－. 返回目录 (2)当△ABC的周长最小时，AC＋BC的值最小，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，连接AC， ∴C△ABC＝AB＋AC＋BC＝AB＋A′B ＝. 返回目录 (3)由(1)得二次函数解析式为y＝x2＋x－， ∵m是抛物线y＝x2＋x－与x轴的交点的横坐标， ∴m2＋m－＝0，即m2＋m＝， ∴6m5＋10m4＋3m3＋2m2＋m－2 026 ＝6m5＋6m4＋4m4＋4m3－m3－m2＋3m2＋3m－2m－2 026 ＝6m3(m2＋m)＋4m2(m2＋m)－m(m2＋m)＋3(m2＋m)－2m－2 026 ＝3m3＋2m2－m＋－2m－2 026 返回目录 ＝3m3＋3m2－m2－m－m＋－2 026 ＝3m(m2＋m)－(m2＋m)－m＋－2 026 ＝m－－m＋－2 026 ＝－2 025. 返回目录 类型二：二次函数与面积问题 返回目录 3．(2025·齐齐哈尔节选)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a＜0)与x轴交于点A(－1，0)，C(6，0)，与y轴交于点B，连接BC. (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC， 当S△PBC＝24时，求点P的坐标． 返回目录 解：(1)将A(－1，0)， C(6，0)代入抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋3， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－2(1)x2＋2(5)x＋3. 返回目录 (2)过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ， 则S△QBC＝S△PBC＝24，∴BQ·CO＝24， ∵点C(6，0)，则CO＝6，∴BQ＝8， 又∵B(0，3)，∴点Q(0，－5)， ∵B(0，3)，C(6，0)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3， ∵PQ∥BC，∴直线PQ的解析式为y＝－x－5， 联立y＝－x－5与y＝－x2＋x＋3，解得x＝－2或8， 故点P的坐标为(－2，－4)或(8，－9)． 返回目录 4．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)． (1)求二次函数的解析式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 返回目录 解：(1)将A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2＋x－2. 返回目录 (2)设P(m，n)，∵点P在第二象限，∴m<0，n>0.依题意， 得＝2，即＝2，∴＝2. 由已知，得CO＝2， ∴n＝2CO＝4. 由m2＋m－2＝4， 解得m1＝－3，m2＝2(舍去)， ∴点P坐标为(－3，4)． 返回目录 5．已知抛物线y＝x2＋bx－2经过点(1，3)，与y轴交于点A，其顶点为B.设k是抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交点的横坐标，T＝. (1)求b的值； (2)求△OAB的面积； (3)求代数式T－2的值． 解：(1)将点(1，3)代入y＝x2＋bx－2中，得 3＝1＋b－2，解得b＝4. 返回目录 (2)如图，由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋4x－2，将x＝0代入y＝x2＋4x－2中，得y＝－2， ∴点A(0，－2)，∴OA＝2. ∵顶点B的横坐标为xB＝－＝－2， ∴S△OAB＝OA·|xB|＝×2×2＝2. 返回目录 (3)k是抛物线y＝x2＋4x－2与x轴交点的横坐标， ∴k2＋4k－2＝0，∴k2－2＝－4k， ∴(k2－2)2＝(－4k)2，∴k4－4k2＋4＝16k2， ∴k4－20k2＋4＝0，∴k6－20k4＋4k2＝0. ∴T－2＝－2＝＝. ∵k6－20k4＋4k2＝0， ∴T－2＝＝.∵k2＋4k－2＝0，∴k2＋4k＝2，∴T－2＝＝. 返回目录 6．已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点． 返回目录 (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值； (3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M 在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． (1)解：y＝－x2＋9. 返回目录 (2)证明：易得B(3，0)，直线AB解析式为y＝－x＋3，设P(x1，－＋9)， 则Q(x1＋3，－(x1＋3)2＋9)，D(x1，－x1＋3)， ∴PD＝－＋9－(－x1＋3) ＝－＋x1＋6＝(x1＋2)(－x1＋3)， CD＝－x1＋3. ∴＝＝3， ∴的值为定值． 返回目录 (3)解：设P(x1，－＋9)， 则Q(－2x1，－4＋9)， 易求得直线PQ的解析式为y＝x1x－2＋9， 当x＝x1－1时， y＝x1(x1－1)－2＋9＝－2＋， ∴当x1＝－时，线段MN长度的最大值为. 返回目录 $第八节　二次函数的实际应用 三 B 1．(2025·甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是( ) A．3 m  B．2.75 m C．2 m  D．1.75 m 返回目录 2．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为 . 3．用48 m木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框(横档EF，GH也用木料)，其中AB＝EF＝GH＝CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为 m. y＝a(1－x)2 6 返回目录 4．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元． 70 返回目录 5．(2025·新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12 m，高8 m，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计)．若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 返回目录 解：(1)由题意得，顶点为,即(6，8)， 设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋8(a≠0)， 代入点(12，0)得a(12－6)2＋8＝0， 解得a＝－， ∴抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋8(0≤x≤12)． 返回目录 (2)能安全通过， 理由：由题意得xA＝－－3＝2， 将x＝2代入y＝－(x－6)2＋8， 则y＝－×(2－6)2＋8＝， ∵－3.5＝＞0.5， ∴能安全通过． 返回目录 6．(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线L1的函数解析式； (2)已知抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2， NQ＝m，求MN的长． 返回目录 解：(1)∵BO＝4 m， ∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0，4)， 设抛物线L1：y＝a(x－0)2＋4， ∵AC＝16 m，∴A(－8，0)，C(8，0)， 将C(8，0)代入y＝a(x－0)2＋4，得 0＝64a＋4，则a＝－， ∴y＝－x2＋4. 返回目录 (2)由(1)得抛物线L1：y＝－x2＋4， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ＝m，且抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2， ∴yN－yQ＝－x2＋4－＝， 整理得x2－12x＋36＝(x－6)2＝0， 解得x1＝x2＝6，即xN＝6， ∴MN＝2×6＝12(m)． 返回目录 7．(2025·内江)某商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元． (1)A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求W关于a的函数解析式，并求出W的最大值． 返回目录 解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，由题意得 解得 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元． 返回目录 (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400－m)个，由题意得 40(400－m)＋20m≤12 000， 解得m≥200. 答：至少需要购进B款纪念品200个． 返回目录 (3)W＝(a－40)[200－5(a－60)] ＝(a－40)(500－5a) ＝－5a2＋700a－20 000 ＝－5(a－70)2＋4 500， ∵－5＜0，60≤a≤100， ∴当a＝70时，W最大，最大值为4 500元． 返回目录 $第三节　一次函数的 实际应用 三 1．(2025·苏州)【跨学科】声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)的部分对应数值如表： 温度t(℃) －10 0 10 30 声音传播的速度v(m/s) 324 330 336 348 返回目录 研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0)，当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为( ) A．333 m/s B．339 m/s C．341 m/s D．342 m/s B 返回目录 2．(2025·内蒙古)【跨学科】在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为( ) A．12 A B．8 A C．6 A D．4 A A 返回目录 3．(2025·江西)【情境素材】在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 A 返回目录 4．(2025·成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法中正确的是( ) A．小明家到体育馆的距离为2 km B．小明在体育馆锻炼的时间为45 min C．小明家到书店的距离为1 km D．小明从书店到家步行的时间为40 min C 返回目录 5．(2025·湖南)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中，路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系如图所示，则 (选填“甲”或“乙”)先到终点． 甲 返回目录 6．(2025·枣庄)某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5 m，注水时水位高度每小时上升6 m. (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(单位：m)与注水时间x(单位：h)之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为0.4万m2，每立方米的水可供发电0.3 kW·h，则注水多长时间可供发电4.2万kW·h? 返回目录 解：(1)y＝6x＋5. (2)根据题意，得 0．4(6x＋5)×0.3＝4.2，解得x＝5. 答：注水5 h可供发电4.2万kW·h. 返回目录 7．(2025·河南)为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．则该公司最少需花费多少元？ 返回目录 解：(1)设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，根据题意得 解得 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元． 返回目录 (2)设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果(12－x)箱，根据题意得 12－x≤x，解得x≥6， 设该公司需花费w元，根据题意得 w＝100x＋80(12－x)＝20x＋960， ∵20＞0，∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w有最小值为20×6＋960＝1 080. 答：该公司最少需花费1 080元． 返回目录 8．(2025·新疆)一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是( ) A．两车出发2 h后相遇 B．A，B两地相距280 km C．快车比慢车早h到达目的地 D．快车的速度为80 km/h，慢车的速度为60 km/h C 返回目录 9．近年来，我国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价(元/件) 80 90 销售价(元/件) 100 120 返回目录 (1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16 800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 返回目录 解：(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件． (2)设第二次购进m件短款服装，则由题意得 80m＋90(200－m)≤16 800，解得m≥120， 设利润为w元，则 w＝(100－80)m＋(120－90)(200－m) ＝－10m＋6 000， ∵－10<0，∴w随m的增大而减小， ∴当m＝120时，w最大＝4 800(元)． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润为4 800元． 返回目录 $第六节　二次函数的图象和性质 三 1．下列抛物线开口向上的是( ) A．y＝2x2＋4x－6   B．y＝－3x2 C．y＝－2(x＋2)2   D．y＝5－x2 A 返回目录 2．(2025·福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是( ) A．1＜y1＜y2   B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1   D．y2＜1＜y1 A 返回目录 3．二次函数y＝2x2－4x＋3与x轴交点的情况是( ) A．没有交点   B．有一个交点 C．有两个交点   D．以上都不对 A 返回目录 4．已知抛物线y＝x2－bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(－3，0)，则关于x的方程x2－bx＋c＝0的解是( ) A．x1＝－1，x2＝－3   B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3   D．x1＝1，x2＝3 C 返回目录 5．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是( ) A．(m，n＋1)   B．(m＋1，n) C．(m，n－1)   D．(m－1，n) D 返回目录 6．直线y＝ax＋b(ab≠0)不经过第三象限，那么y＝ax2＋bx的图象大致为( ) B 返回目录 7．已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－4，n)和B(2，n)，则这个二次函数的对称轴为直线 . x＝－1 返回目录 8．已知抛物线y＝ax2－(b＋2)x－a＋b＋6(a＜0，a，b均为常数)过点(3，4)． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标； (3)当自变量x满足0≤x≤3时，记函数y的最大值为m，最小值为n， 求证：3m＋n＝16. 返回目录 (1)解：b＝4a－2.抛物线的对称轴为直线x＝2. (2)解：把b＝4a－2代入y＝ax2－(b＋2)x－a＋b＋6，得y＝ax2－4ax＋3a＋4.又函数y的最大值为5， ∴抛物线的顶点坐标为(2，5)． 把点(2，5)代入y＝ax2－4ax＋3a＋4，得5＝4a－8a＋3a＋4， ∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋1. 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)． 返回目录 (3)证明：∵抛物线y＝ax2－4ax＋3a＋4的对称轴为直线x＝2， 又∵a＜0，图象的开口向下， ∴当自变量满足0≤x≤3时，结合图象可知，当x＝2时，函数y取得最大值为－a＋4，即 m＝－a＋4；当x＝0时，函数y取得最小值为 3a＋4，即n＝3a＋4. ∴3m＋n＝3(－a＋4)＋(3a＋4)＝16. 返回目录 9．已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( ) A．1≤a<   B．0<a< C．0<a<   D．1≤a< A 返回目录 10．(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论中正确的是( ) A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值小于－3 D．当x＝2时，y＜0 D 返回目录 11．(2025·安徽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( ) A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．2b－c＜0 D．a－b＋c＜0 C 返回目录 12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)若a＝2b，求该二次函数图象的对称轴； 解：对称轴为直线x＝－＝－. 返回目录 (2)当二次函数图象过点(1，0)时，求证：＝1. 证明：∵二次函数图象过点(1，0)， ∴a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c， ∵a3＋b3＋c3＝(－b－c)3＋b3＋c3 ＝－b3－3b2c－3bc2－c3＋b3＋c3 ＝3bc(－b－c)＝3abc， ∴＝＝1. 返回目录 13．已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交点的坐标为(m，0)，与y轴交点的坐标为(0，－2)，且当x>2时，y随x的增大而增大；当x<2时，y随x的增大而减小． (1)求b和c的值； (2)记M＝，比较M与的大小． 解：(1)∵抛物线与y轴交于点(0，－2)， ∴0＋0＋c＝－2，即c＝－2； 由题意知对称轴为直线x＝2， ∴－＝2，∴b＝－4. 返回目录 (2)由(1)得抛物线解析式为y＝x2－4x－2，把(m，0)代入，得m2－4m－2＝0， ∴m2＝4m＋2，m＝2＋或m＝2－， ∴m3＝4m2＋2m＝4(4m＋2)＋2m＝18m＋8， ∴m4＝18m2＋8m＝18(4m＋2)＋8m＝80m＋36， ∴m5＝80m2＋36m＝80(4m＋2)＋36m ＝356m＋160， ∴M＝＝＝m， ∴当m＝2＋时，M>，当m＝2－时，M<. 返回目录 $第三章　函　数 第一节　平面直角坐标系与函数 三 1．(2025·成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 返回目录 2．在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是（ ） A．(－1，－4) B．(－1，4) C．(1，4) D．(1，－4) B 返回目录 3．(2025·内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 A 返回目录 4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为（ ） A．(3，0) B．(0，2) C．(3，2) D．(1，2) C 返回目录 5．在平面直角坐标系中，第一象限内的点P(a＋3，a)到y轴的距离是5，则a的值为（ ） A．－8 B．2或－8 C．2 D．8 C 返回目录 6. 将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(单位：℃)与时间x(单位：min)的关系用图象可近似表示为（ ） C 返回目录 7．(2025·泸州)若点(1，a－2)在第一象限，则a的取值范围是 . 8．(2025·枣庄)在平面直角坐标系中，将点P(3，4)向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是 ． a＞2 (3，2) 返回目录 9．(2025·广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法中正确的是( ) A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 B 返回目录 10．(2025·自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为( ) A．(－3，5) B．(5，－3) C．(－2，5) D．(5，－2) A 返回目录 $第二节　一次函数的图象和性质 三 1．一次函数y＝2x－3的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 返回目录 2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2   B．y1＜y2 C．y1＝y2   D．y1≥y2 B 返回目录 3．一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的解析式为( ) A．y＝3x B．y＝－3x C．y＝x D．y＝－x A 返回目录 4．(2025·广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b的值为( ) A．3 B．4 C．6 D．7 D 返回目录 5．(2025·新疆)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) D 返回目录 6．(2025·湖北)【开放性问题】已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是 ． 7. (2025·广安)已知一次函数y＝－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是 ．(写出一个合理的值即可) 1(答案不唯一) 1(答案不唯一) 返回目录 8．(2024·扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为 . x＝－2 返回目录 9．(2024·凉山州)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 . 9 返回目录 10．(2025·扬州)已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 返回目录 11．(2025·安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( ) A．(－2，2) B．(2，1) C．(－1，3) D．(3，4) D 返回目录 12．当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为（ ） A．－3或0 B．0或1 C．－5或－3 D．－5或1 A 返回目录 $第四节　反比例函数的图象和性质 三 1．(2025·重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( ) A．(2，6) B．(－4，－3) C．(－3，－4) D．(6，－2) D 返回目录 2．当温度不变时，气球内气体的气压P(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的函数，下表记录了一组实验数据，则P与V的函数关系式可能是( ) A.P＝96 V   B．P＝－16V＋112 C．P＝16V2－96V＋176   D．P＝ V(单位：m3) 1 1.5 2 2.5 3 P(单位：kPa) 96 64 48 38.4 32 D 返回目录 3．(2025·天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1＜y2＜y3   B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2   D．y2＜y3＜y1 D 返回目录 4．(2025·湖南)对于反比例函数y＝，下列结论中正确的是( ) A．点(2，2)在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 D 返回目录 5．(2024·河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法中错误的是( ) A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 C 返回目录 6．(2025·成都)【跨学科】某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)之间的函数关系为 I＝，则电流I的值随电阻R值的增大而 (选填“增大”或“减小”)． 7．某反比例函数y＝具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 减小 1(答案不唯一) 返回目录 8．在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)，(－3，y2)，则y1＋y2的值是 . 0 返回目录 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A(1，2)，则点B的坐标为 ． (2，1) 返回目录 $第五节　反比例函数与一次函数、几何图形的综合 三 C 1．(2025·连云港)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2<0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是( ) A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．－1＜x＜0或0＜x＜1 返回目录 2．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为( ) A．1   B．2 C．4   D．无法计算 A 返回目录 3．已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( ) A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 A 返回目录 4．在同一直角坐标系中，函数y＝与y＝kx＋k2的大致图象可能是( ) C 返回目录 5．如图，点A是反比例函数y＝(k≠0)的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD，若四边形ABCD的面积为3，则反比例函数y＝的解析式为 . y＝－ 返回目录 6．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(2，4).过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝(x>0)的图象于C，D两点． (1)求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的解析式； (2)连接AD，求△ACD的面积． 返回目录 解：(1)一次函数的解析式为y＝x＋3； 反比例函数的解析式为y＝(x>0). 返回目录 (2)∵BC∥x轴，B(0，2)， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在y＝x＋3中，当y＝x＋3＝2时， x＝－2，即C(－2，2)； 在y＝(x>0)中，当y＝＝2时，x＝4， 即D(4，2)，∴CD＝4－(－2)＝6， ∵A(2，4)， ∴S△ACD＝CD·(yA－yC)＝6. 返回目录 7．(2025·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y＝(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为( ) A.  B．－  C.  D．－ 【解析】过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，先证明△BMA≌△ANO(AAS)，利用全等三角形性质得到点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． D 返回目录 8．(2025·烟台)如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为( ) A．4   B．4   C．2   D．2 【解析】AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，设C(x，y)，可得M，xy＝·，求出x＝1，过C作CH⊥AO于H，再进一步求解即可． D 返回目录 9．(2025·威海)如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝－的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ . 【解析】作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H，可得△OAH∽△BOG，利用相似三角形的性质及反比例函数k值几何意义即可得到结果． 返回目录 10．如图，直线y＝kx＋b经过A(0，－2)，B(－1，0)两点，与双曲线y＝(x<0)交于点　C(a，2)． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标． 返回目录 解：(1)直线y＝kx＋b经过A(0，－2)，B(－1，0)两点， ∴解得 ∴y＝－2x－2， 当y＝2时，2＝－2x－2，解得x＝－2， ∴C(－2，2)，∴m＝－2×2＝－4， ∴y＝－(x<0)． 返回目录 (2)∵A(0，－2)，B(－1，0)，C(－2，2)，CD⊥x轴，∴OA＝2，BD＝1，CD＝2，∠CDB＝∠AOP＝90°， 当以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似时，分两种情况进行讨论： ①当△AOP∽△CDB，则＝， ∴＝＝2，∴OP＝OA＝1，∴P(1，0)或P(－1，0)； ②当△POA∽△CDB，则CD(OP)＝BD(OA)， ∴＝＝2，∴OP＝2OA＝4，∴P(4，0)或P(－4，0)． 综上所述，点P的坐标为(－4，0)，(－1，0)，(1，0)或(4，0)． 返回目录 $第七节　二次函数解析式的确定及图象变化 三 1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( ) A．y＝(x－4)2＋7   B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7   D．y＝(x＋4)2－25 B 返回目录 2．抛物线的顶点为(1，－4)，与y轴交于点(0，－3)，则该抛物线的解析式为( ) A．y＝x2－2x－3   B．y＝x2＋2x－3 C．y＝x2－2x＋3   D．y＝2x2－3x－3 A 返回目录 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表，则当x＝1时，y的值为( )   A.5   B．－3   C．－13   D．－27 x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y －27 －13 －3 3 5 3 D 返回目录 4．已知抛物线y＝x2＋(3m－1)x－3m(m＞0)的最低点的纵坐标为－4，则抛物线的解析式是( ) A．y＝x2－6x＋5   B．y＝x2＋2x－3 C．y＝x2＋5x－6   D．y＝x2＋4x－5 B 返回目录 5．【开放性问题】一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______ ________________． 6．将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． y＝－x2 ＋1(答案不唯一) (1，2) 返回目录 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3，0)，若点C(2，3)在拋物线上，则AB的长为 . 4 返回目录 8．如图，一条抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点M，∠AMB＝90°， ∠MBA＝30°，若AM＝2，则这条抛物线的解析式为 . y＝－x2＋x＋ 返回目录 9．已知抛物线C1：y＝ax2＋x－4的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点A，点B. (1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到拋物线C2，求抛物线C2的解析式，并判断点D是否在拋物线C2上． 返回目录 解：(1)把D(1，－1)代入y＝ax2＋x－4，得a＋－4＝－1，解得a＝. ∴抛物线C1的解析式为y＝x2＋x－4. 返回目录 (2)∵y＝x2＋x－4＝2－， 将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线C2， ∴抛物线C2的解析式为y＝2－. 把x＝1代入C2：y＝2－，得 y＝×2－＝－1， ∴点D(1，－1)在抛物线C2上． 返回目录 $