精品解析：吉林省长春市博硕学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

长春博硕学校2025-2026学年度上学期 高二年级阶段性考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵雪梅 审题人：刘艳秋 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角． 【详解】直线的斜率为，因此倾斜角为， 故选：D． 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 4. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 6. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线平行， 则有，解得或， 当时，直线即为， 直线，即为，两直线平行，符合题意； 当时，直线即为直线， 直线，即为，两直线平行，符合题意； 故两直线平行时，或， 所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件， 故选；C. 7. 已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 8. 如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 9. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 10. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过判断向量是否共面来判断向量是否能构成空间基底，逐项分析即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在实数，使得，即， 则，解得，，说明这三个向量共面，不能构成空间基底，故A符合题意； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，即， 则，解得，，说明这三个向量共面，不能构成空间基底，故B符合题意； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得，即， 因为是空间基底，不能由、线性表示，所以方程组无解，也即这三个向量不共面，能构成空间基底，故C不合题意； 对于D，假设，，共面，则存在实数，使得，即， 则，解得，，说明这三个向量共面，不能构成空间基底，故D符合题意． 故选：ABD． 12. 在正方体中，若棱长为1，分别为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为定值 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出对应直线的方向向量和平面的法向量，根据空间中证明线面垂直的向量方法，求线面夹角正弦值的向量方法，证明面面平行的向量方法，以及点到面的距离的向量方法，逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于选项A，如下图所示： ， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，即面的一个法向量为， 此时，即，所以平面，所以A正确； 对于选项B，如下图所示： 设，且， 可知， 可得，解得， 可得，； 可知， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，即面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，不为定值，所以B错误； 对于选项C，如下图所示： 可知 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，即面的一个法向量为， 因为面的一个法向量为， 所以，即，可知平面平面，所以C正确； 对于选项D，如下图所示： 由正方体的性质可知， 因为面，面，所以面， 所以直线上所有的点到平面的距离都相等， 由面的一个法向量为，， 则点到平面的距离为， 所以点到平面的距离也为定值，所以D正确； 故选：ACD. 13. 在平面直角坐标系中，设为不同的两点，直线的方程为，设，其中均为实数，下列四个说法中正确的是（ ） A. 存在实数，使点在直线上 B. 若，则过两点的直线与直线重合 C. 若，则直线经过线段的中点 D. 若，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据点在直线上可以推导出分母为零，从而判断选项正确性；对于B，根据得，进一步分析经过M、N两点的直线与l在斜率或倾斜角上的关系，从而得到两者之间的位置关系，判断选项的正确性；对于C，根据，得，再结合线段中点的坐标公式即可判断选项正确性；对于D，根据，得或，并据此进一步判断点在直线的位置及直线与经过M、N两点直线的位置关系． 【详解】对于A，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A错误； 对于B，若，则， 若，直线的方程为，且可得，也即， 此时过、两点的直线与直线均垂直于x轴，结合A可得两者平行， 若，则，即，则， 结合A可得此时过、两点的直线与直线平行， 综上所述，过、两点的直线与直线平行，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以直线经过线段MN的中点，故C正确； 对于D，若，则或， 即点、在直线的同侧，且，即直线与线段MN不平行，故D正确． 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 14. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据直线经过点和两坐标轴上的截距互为相反数列出方程组求解，求解时根据b是否为零得到两种结果，相加后即得到答案． 【详解】直线过，故，而在轴上的截距为，在轴上的截距为， 依题意，若，则；若，则，得，此时， 所以的可能值为和，所有可能取值之和为 9． 故答案为：9． 15. 已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 16. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 17. 已知向量. （1）求； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义及坐标表示，求出向量的模和向量的数量积，进而求出向量夹角的余弦值. （2）根据向量减法的坐标表示，和向量模的坐标表示，再根据二次函数最值情况，求出结果即可. 【小问1详解】 由题意得， 则. 【小问2详解】 由题意得，则， ，则，当时取等号， 即时，取得最小值. 18. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求直线的斜率； （2）求中线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式直接求出斜率. （2）求出及直线的斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【小问1详解】 直线的斜率. 【小问2详解】 依题意，边的中点，则直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 19. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 20. 一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 【答案】水电站建在P(90，0)处电线用料最省． 【解析】 【分析】如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解. 【详解】解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系， 则点A(0，300)，B(x，700)． 设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300， 故点B(300，700)． 设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)， 则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300. 令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)， 故水电站建在P(90，0)处电线用料最省． 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置. 21. 已知的三个顶点是，，． （1）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程（一般式表示）； （2）若直线过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线的方程（一般式表示）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，确定直线的位置，再利用直线点斜式方程求解. （2）利用直线斜截式方程，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由点A，B到直线的距离相等，得直线与直线AB平行或经过线段AB的中点， 当直线与直线AB平行时，直线的斜率，而过点， 因此方程为，即； 当直线过AB的中点，直线的斜率， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 设，设直线的方程为， 由直线过点，得，则， 即，，当且仅当，即时取等号， 因此面积，即当．时，面积最小， 此时直线的方程为，即. 22. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校2025-2026学年度上学期 高二年级阶段性考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵雪梅 审题人：刘艳秋 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 6. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 12. 在正方体中，若棱长为1，分别为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为定值 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为定值 13. 在平面直角坐标系中，设为不同的两点，直线的方程为，设，其中均为实数，下列四个说法中正确的是（ ） A. 存在实数，使点在直线上 B. 若，则过两点的直线与直线重合 C. 若，则直线经过线段的中点 D. 若，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 14. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为__________． 15. 已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围____________ 16. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 四、解答题：本题共6小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 17. 已知向量. （1）求； （2）求的最小值. 18. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求直线的斜率； （2）求中线的方程. 19. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 20. 一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 21. 已知的三个顶点是，，． （1）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程（一般式表示）； （2）若直线过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线的方程（一般式表示）． 22. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $