2.2 简单的轴对称图形（第2课时）（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

2.2 简单的轴对称图形 第2课时 第二章 轴对称 鲁教版五四制2024·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 探究并证明角平分线的性质. 会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据. 会用角平分线的性质解决实际问题. 1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. O B C A 1 2 ） ） 知识回顾 2.什么是点到直线的距离？ 线段 PC 的长 P l A B C D 3.下图中能表示点P 到直线l 的距离的是 . 过点作直线的垂线，垂线段的长度就是点到直线的距离 知识回顾 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么呢？ 你发现了什么图形？ 新知探究 知识点1：角的轴对称性 O A B 对称轴：角平分线所在的直线 结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD’。 （1）你认为线段CD和CD’之间有什么关系？说说你的理由。 新知探究 知识点2：角平分线的性质 解：（1）相等 ∵点D和点D’关于OP所在直线对称点C在OP上， ∴线段CD与线段CD’关于OP所在直线对称， ∴CD＝ CD’ ， （2）特别地，当CD OA时（如图），CD’和OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD’之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到什么结论？ 新知探究 知识点2：角平分线的性质 解：（2）当CD OA时， CD’ OB ∵点D和点D’关于OP所在直线对称，点O，C在OP上， ∴△OCD与△OCD’关于OP所在直线对称， ∵ CD OA，∴∠ODC=90° ∴∠OC=∠ODC=90°，即CD’ OB 此时，CD＝ CD’ ，还有（1）中的关系。 角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 新知生成 注意事项 知识点2：角平分线的性质 E D O A B P C 符号语言： 性质应用要具备的条件： 点在角平分线上； 过该点做角两边的垂线段。 例2:利用尺规，作∠AOB的角平分线. 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC. 典例分析 你能说明这样做的道理吗？ O B A C E D 知识点3：利用尺规做已知角的角平分线 作法： 1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE. 2.分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. OC就是∠AOB的平分线 1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ A B C D E 课堂练习 解：相等，理由如下： ∵ Rt△ABC ∴∠C=90°，即DC⊥BC 又∵BD是∠ABC的平分线， DE⊥AB ， DC⊥BC ∴ DE= DC 角平分线的性质应用 题型一 题型探究 C 【例1】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 由条件可知：PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4， 即点P到BC的距离是4． 角平分线的性质应用 题型一 题型探究 2 【例2】如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是 　　 ． 【解答】解：如图，作PM⊥OA，垂足为M， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PM⊥OA， ∴PD＝PM， ∵PD＝2， ∴PM＝2， 题型探究 【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示： B 【例3】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 ∴OP＝OQ，OQ＝OR， ∴OP＝OQ＝OR， ∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置， ∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上． 角平分线的性质应用 题型一 题型探究 解题感悟 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 例1和例3主要考查了角平分线的性质，解决问题的关键是理解角平分线上的点到角两边的距离相等． 例2考查了角平分线的性质定理，熟练掌握该知识点是关键． 角平分线的性质应用 题型一 题型探究 利用角平分线作图解决问题 题型二 【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15. 15 题型探究 利用角平分线作图解决问题 题型二 【例5】校园一角的形状如图所示，其中AB，BC，CD表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点并解释这样做的道理．（保留作图痕迹） 【解答】解：如图，点P即为所求； 过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥CD于G， ∵PB，PC分别是∠ABC，∠BCD的角平分线， ∴PE＝PF，PF＝PG， ∴PE＝PF＝PG， 故点P到三面墙的距离都相等． 题型探究 解题感悟 例4考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 例5主要考查作图、应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 利用角平分线作图解决问题 题型二 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °， BE = . 60 BF E B D F A C G 课堂达标 3.如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：2：4，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） B 课堂达标 方法技巧 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出PD＝PF＝PE． A．2：3：4 B．3：2：4 C．4：9：16 D．9：4：16 解：过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， ∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P， ∴PD＝PF，PD＝PE， ∵△PAB的面积AB•PD，△PBC的面积BC•PE，△PAC的面积AC•PF， ∴△PAB、△PBC、△PAC的面积之比＝AB：BC：AC＝3：2：4， 4.综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地ABC的道路AB上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．下列方案能满足项目要求的是（　　） 课堂达标 方法技巧 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． A． B． C． D． 【解答】解：∵点M到AC和BC两边的距离相等，且点M在AB上 ∴点M是∠ACB的平分线与AB的交点， ∴C选项中的方案能满足项目要求， C 能力提升 1.把两个同样大小的含30度角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，小明在图1的基础上抽象出图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠BAD＝30°，BC与AD交于点M． （1）求∠CAM的度数； （2）已知CM＝4，则点M到AB的距离为 　　 ， 依据的结论是 　 　 ． 4 角平分线上的点到角两边的距离相等 能力提升 【解答】解：（1）∵∠CBA＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， ∵∠BAD＝30°， ∴∠CAM＝∠CAB﹣∠BAD＝30°； （2）过M作MN⊥AB于N， ∵∠CAM＝∠BAM， ∴AM平分∠CAB， ∵MC⊥AC， ∴MN＝MC＝4， ∴点M到AB的距离为4，依据的结论是角平分线上的点到角两边的距离相等． 角 对称性 角平分线的性质 尺规作角的平分线 角是轴对称图形： 角平分线所在的直线是它的对称轴 一个点：角平分线上的点 二距离：点到角两边的距离 三弧一射线 两相等：两条垂线段（距离）相等 课堂小结 简单的轴对称图形 感谢聆听! $$