3.2基本不等式【十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

3.2基本不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【题型归纳】 题型一：由基本不等式比较不等式的大小 【例1】．（24-25高一上·广东佛山）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·天津·开学考试）设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：基本不等式求积的最大值 【例2】．．（2023高一·江苏·专题练习）若，则的最大值是 . 【跟踪训练1】．．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，则的最大值为 ． 【跟踪训练2】．．（22-23高一·全国·课堂例题）函数的最大值是 ． 题型三：基本不等式求和的最小值 【例3】．．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 . 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·重庆永川·阶段练习）若，则函数的最小值 . 题型四：二次商式的最值问题（分离常数法） 【例4】．．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【跟踪训练1】．．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【跟踪训练2】．（24-25高一上·上海）若，则的最小值为 . 题型五：条件等式求最值 【例5】．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若，，，则的最小值为 . 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【跟踪训练2】．．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 题型六：基本不等式“1”的妙用 【例6】．．（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）已知，且，则的最小值是 . 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知，则 的最小值为 . 题型七：基本不等式的恒成立求参数问题 【例7】．．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】．．（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 题型八：对勾函数最值问题 【例8】．．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【跟踪训练1】．．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【跟踪训练2】．．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 题型九：基本不等式的实际问题的应用 【例9】．（25-26高一上·山东青岛·阶段练习）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·河南平顶山·阶段练习）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·湖北·阶段练习）居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为.    (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； (2)若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 题型十：基本不等式证明不等式问题 【例10】．．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数，满足，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 4．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 8．（24-25高一上·江苏无锡·期末）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．4 D．4 9．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）下列不等式成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 12．（24-25高二下·江西·期末）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，，，则 13．（2025高一上·全国·专题练习）[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 14．（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 15．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 三、填空题 16．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 17．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 19．（25-26高一上·江苏南京·开学考试）（1）已知实数满足，则的取值范围是 ． （2）已知，，求x的最大值是 ． 四、解答题 20．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 21．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 22．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 24．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 25．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2基本不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【题型归纳】 题型一：由基本不等式比较不等式的大小 【例1】．（24-25高一上·广东佛山）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式比较的大小即可. 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·天津·开学考试）设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式可判断各项的正误. 【详解】对于①，，，， 当且仅当且，即时取等号，故①成立； 对于②，，， 当且仅当时取等号，不一定成立，故②不一定成立； 对于③，，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号，，，故③一定成立； 对于④，，当且仅当时取等号，故④一定成立. 故不等式一定成立的有3个， 故选：C 题型二：基本不等式求积的最大值 【例2】．．（2023高一·江苏·专题练习）若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】先求的取值范围，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由得，，， 因为，，所以利用基本不等式可得， 整理得，即，即，当且仅当即时，等号成立， 所以.故当时，的最大值为. 故答案为. 【跟踪训练1】．．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最大值为. 故答案为：. 【跟踪训练2】．．（22-23高一·全国·课堂例题）函数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】方法一：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值，方法二：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值. 【详解】方法一：， ∵，∴，， ∴，当且仅当，即时取等号． 故当时，． 方法二：由知，∴， 当且仅当，即时取等号． 故当时，． 故答案为： 题型三：基本不等式求和的最小值 【例3】．．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·重庆永川·阶段练习）若，则函数的最小值 . 【答案】5 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 题型四：二次商式的最值问题（分离常数法） 【例4】．．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【跟踪训练1】．．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 【跟踪训练2】．（24-25高一上·上海）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型五：条件等式求最值 【例5】．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若，，，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【跟踪训练1】．．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】利用条件等式变形，结合基本不等式计算最值即可. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为： 【跟踪训练2】．．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据基本不等式列出与的关系，结合，得到关于的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 题型六：基本不等式“1”的妙用 【例6】．．（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由乘1法即可求解. 【详解】由得：， ， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值是， 故答案为： 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合对进行化简，再利用基本不等式求最小值． 【详解】， ， 又，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 故答案为：． 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案为： 题型七：基本不等式的恒成立求参数问题 【例7】．．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 【跟踪训练1】．．（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 题型八：对勾函数最值问题 【例8】．．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【跟踪训练1】．．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 【跟踪训练2】．．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可； 对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可； 对于C，D由对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以， 所以，当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为， 所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 即，故错误. 故选：B. 题型九：基本不等式的实际问题的应用 【例9】．（25-26高一上·山东青岛·阶段练习）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·河南平顶山·阶段练习）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】(1)4； (2)，面积最大值为. 【分析】（1）根据已知，证得，进而有，即可得； （2）由已知及（1）有、，在应用勾股定理得，结合已知得，再由并应用基本不等式求其最大值，并确定取值条件，即可得. 【详解】（1）依题意，， 则，于是， 因此， 所以的周长为定值4； （2）由折叠知，则，即， 由（1）知，即，则， 在中，即，化简得， 而，，则且，即，所以，（）. 在中，，且， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值为. 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·湖北·阶段练习）居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为.    (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； (2)若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】(1) (2),，（元） 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【详解】（1）设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 （2）两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 题型十：基本不等式证明不等式问题 【例10】．．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 【跟踪训练2】．．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数，满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D. 【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确； 对于B，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，故C不正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 4．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】由可得：，代入，得，令 ，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】由方程 ，可得： ， 代入所求表达式得： ， 令 ，则： ， 由 ，所以， 因为，所以，所以 . 由基本不等式得： ， 当且仅当“”，即“”，即时取等号. 所以最小值为 8. 故选：D 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】 如图所示，在直角中，两直角边长为，斜边长为，则. 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，则， 所以直角的周长， 即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 8．（24-25高一上·江苏无锡·期末）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．4 D．4 【答案】B 【分析】求出，得到，由基本不等式求出面积最大值. 【详解】由题意得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故此三角形面积最大值为12. 故选：B 9．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）下列不等式成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式的性质，结合题设条件，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：，当且仅当，即，无实数解， 时，取得最小值，最小值为，故A成立； 选项B：，， ，当且仅当，即取等号，故B成立； 选项C：， 若，则，当且仅当，即时取等号， 若，则，当且仅当，即时取等号， 当时，原不等式成立；当时，原不等式不成立，故C不成立； 选项D：， 异号，且， ， ，当且仅当，即时取等号，故选项D成立． 故选：． 11．（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 12．（24-25高二下·江西·期末）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BD：根据基本不等式运算求解即可；对于C：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：若，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于选项D：若，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 13．（2025高一上·全国·专题练习）[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】CD 【详解】令，则，所以又，当且仅当，即时取等号，而不满足错误；因为，当且公当，即时取等号，故的最大值为错误；若，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，C正确；因为正实数满足，所以，当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 故选：CD. 14．（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 15．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 16．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 【答案】16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可； 法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 17．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式的应用求解即可. 【详解】 ， ，当且仅当时，等号成立， 可得， 时取最大值， 故的最大值为. 故答案为：. 18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 19．（25-26高一上·江苏南京·开学考试）（1）已知实数满足，则的取值范围是 ． （2）已知，，求x的最大值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据，，，得到，由完全平方公式可得，由此可得结论； （2）由条件可得，结合基本不等式证明，由此可得，解不等式可得的范围，由此可得结论. 【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当或时等号成立， 又， 所以，当且仅当，且时等号成立（例如时等号成立）， 所以的取值范围为， （2）因为，， 所以， 所以， 因为，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当或时等号成立， 所以， 所以，故， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：；. 四、解答题 20．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 21．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 22．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 24．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 25．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $